2023届高考数学复习专题★★导数中分类讨论“界点”的确定 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
2023届高考数学复习专题★★
导数中分类讨论“界点”的确定
类型1 由导函数的零点引发的分类讨论
一般地，当 有不止一个零点且零点大小关系无法确定时，就无法确定 或 的解集，进而无法确定函数 的单调区间，此时必须对零点的大小关系分类讨论.若 有两个零点 ， ，往往分成 ， ， 三类讨论，由此实现解题目标.
例1 已知函数 ， ，讨论 的单调性.
【解】 函数 的定义域是 .

.
由 ， 得，
， .
①当 ，即 时，
，
在 上单调递增.
②当 ，即 时，
在 ， 上单调递增，
在 上单调递减.
③当 ，即 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 ，
上单调递增，在 上单调递减.
已知函数 ， .讨论 的单调性.
解： ，
令 ，得 或 ，
当 时，由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 时，由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.
综上，当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
类型2 由二次型函数引发的分类讨论
若导函数 解析式的局部可构造成二次项系数含有参数的二次型函数，则必讨论二次项系数，往往分为系数为零、系数为正、系数为负三类，再判断 的符号确定 的零点，从而实现解题目标.
例2 设函数 ，且 .若函数 在定义域上是
单调函数，则实数 的取值范围是_ __________________.

解析：由 得， ，即 ，所以
， .于是 .
①当 时， ， 在 上单调递增，满足题意.
②当 时， ， 在 上也单调递增，满足题意.
③当 时，若 在 上单调递增，则 在
上恒成立，显然不可能；
若 在 上单调递减，则 在 上恒成立，
而 的图象的对称轴为直线 ，且 ，所以
的根的判别式 ， ，所以 .
综上可知，实数 的取值范围是 .
已知函数 ，求函数 的单调递增区间.
解：因为 ，所以 ， .
当 时，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 或 ，所以 在
和 上单调递增；
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 或 ，
所以 在 和 上单调递增.
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ；当 时， 的单调递增区间为 和 ； 当 时， 的单调递增区间为 ；当 时， 的单调递增区间为 和
.
类型3 由判别式的符号引发的分类讨论
若导函数 解析式中影响其函数值符号的局部代数式可构造成二次型函数 ，且 的解析式不能因式分解时，就要考虑分类讨论
的根的判别式 的符号，以确定 的实根；当二次型函数 的二次项系数含有参数时，事先还要对二次项系数分类讨论.
例3 已知函数 ，其中 是自然对数的底数， .求 的极值.
【解】 由题意得， .令
， .
①当 时， ， ，此
时 在 上单调递增，没有极大值和极小值.
②当 时， ， ，所以 ，此时 在 内单调递增，没有极大值和极小值.
③当 时， ， 有两个不相等的实数根，分别为 ， ，不妨令 ， .
此时 在 和 内单调递增，在 内单调递减.
故 的极大值是 ，极小值是 .
综上，当 时， 无极值；当 时， 的极大值为 ，极小值为 .
已知函数 ，讨论 的极值点个数.
解：当 时， 的定义域为 ，当 时， 的定义域为 .
，
令 ，则 .
当 时， ，此时 的定义域为 ，所以 ，
在 上单调递增，故 无极值点.
当 时，方程 有两个不等实根，记为 ， .
当 时， ，则 ， .
又此时 的定义域为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 有一个极小值点 .
当 时， ，此时 的定义域为 ，
所以 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 有一个极大值点 和一个极小值点 .
综上，当 时， 无极值点；
当 时， 有两个极值点；
当 时， 有一个极值点.
类型4 由含有参数的函数值引发的分类讨论
一般地，确定函数 在区间 上的零点个数时，要涉及函数的单调性和区间端点的函数值，即要考虑 和 的符号，当
的符号无法确定时，必须对其分类讨论，往往分成
， ， 三类.
例4 设函数 ， .试判断 在
上的零点个数.
【解】 的定义域为 ， .
， .
①若 ，则 ， .
而 ， 在 上单调递增，
所以 在 上只有一个零点 .
②若 ，则 ， .
而 ， 在 上单调递增.
所以 在 上只有一个零点 且 .
③若 ，则 ， ，
当 时， ，
，所以 在 上单调递增.
而 ， ，故此时 在 上没有零点.
综上可知，当 时， 在 上无零点；当 时， 在 上只有一个零点.
已知函数 ，若函数 只有一个零点 ，且
，则实数 的取值范围为_ __________.

解析：因为 ，所以 .又 .①当 时， 有两个零点，不符合题意；②当 时，令 ，得 或 ，当 时， 或 ，所以 在 上单调递增， ， 时，
， 在 存在一个零点，不符合题意；③当
时， 的单调递减区间是 ， ，单调递增区间是 ， ， 时， ，所以 在 存在唯一零点，当 时， 在 上取得最小值，而
在 上不能有零点，故 ，解得 .