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重庆市2022-2023学年度下学期期中检测数学卷2
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果一个有理数的绝对值是2023，那么这个数一定是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．﹣2023或2023 D．无法确定
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
4. 若am＝5，an＝2，则a2m﹣n的值为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，AB为⊙O的直径，，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝BD B．AC＝OD
C．∠ABC＝∠D D．∠ABC∠AOD
6. 如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1，B1的坐标分别为（a，4），（3，b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y＝cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8. 如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2，则MF的长是（ ）
A． B． C．1 D．
9.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是
A． B．
C． D．
10.利用函数知识对关于代数式的以下说法作出判断，则正确的有
①如果存在两个实数，使得，则；
②存在三个实数，使得；
③如果，则一定存在两个实数，使；
④如果，则一定存在两个实数，使．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在的横线上.
11. 计算： ．
12. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速（单位：千米/时）情况，则该时段内来往车辆的平均速度是 千米/时．
13. 我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 ．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC、CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为 ．
15. 抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝4，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．
17. ．边长相同的小正方体如图摆放，最上面是第一层，第一层有一个小正方体，第二层有三个小正方体，第三层有六个小正方体，按此规律摆放下去，第六层有 个小正方体，第n层有 个小正方体．
18. ．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，点M为AB的中点，点N为AD边上的一动点，将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD的对角线上时，AN的长度为 ．
三、解答题（本大题共8小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的相应位置.
19.（1）计算：；
（2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
20.如图，AB＝CD，CE＝BF，DF＝AE．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）AB∥CD．
21.为弘扬中国传统文化，今年在北京园博园举行了“北京戏曲文化周”活动，活动期间开展了多种戏曲文化活动，主办方统计了4月30日至5月3日这四天观看各种戏剧情况的部分相关数据，绘制统计图表如下：
4月30日至5月3日每天接待的观众人数统计表
日期 观众人数（人
4月30日 697
5月1日 720
5月2日 760
5月3日
（1）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，则 ；
（2）请计算4月30日至5月3日接待观众人数的日平均增长量；
（3）根据（2）估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 人．
22. 图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当时，可稳定放置在水平地面上，经测量，，．
（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得，求距离；
（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为，若保持身体不动，通过旋转支架以及抬高桌面，则点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？
（参考数据：，，
23. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点的坐标为，其中，若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求的值．
24.小王计划批发“山东美早大樱桃”和“泰国榴莲”两个品种的水果共120斤，樱桃和榴莲的批发价分别为32元/斤和40元/斤．设购买了樱桃x斤（x≥0）．
（Ⅰ）若小王批发这两种水果正好花费了4400元，那么小王分别购买了多少斤樱桃和榴莲？填写下表，并列方程求解；
品种 批发价（元） 购买斤数 小王应付的钱数（元）
樱桃 32 x
榴莲 40
（Ⅱ）设小王购买两种水果的总花费为y元，试写出y与x之间的函数表达式．
（Ⅲ）若要求所批发的榴莲的斤数不少于樱桃斤数的2倍，那么购买樱桃的数量为多少时，可使小王的总花费最少？这个最少花费是多少？
25. 已知二次函数的图象经过点．．
（1）若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点，，，当时，如终有．求的取值范围．
26.如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．
（1）在线段上取一点，使，求证：；
（2）图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点．若点不能落在的内部（不含边界），求的取值范围．
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重庆市2022-2023学年度下学期期中检测数学卷2
注意事项：
本试卷满分150分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果一个有理数的绝对值是2023，那么这个数一定是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．﹣2023或2023 D．无法确定
【分析】根据绝对值的性质，即可求出这个数．
【解析】如果一个有理数的绝对值是2023，那么这个数一定是﹣2023或2023．
故选：C．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解析】A、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
3．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
4. 若am＝5，an＝2，则a2m﹣n的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】将原式变形为a2m﹣n＝a2m÷an＝（am）2÷an，再代入计算可得．
【解析】当am＝5，an＝2时，
a2m﹣n
＝a2m÷an
＝（am）2÷an
＝52÷2
，
故选：B．
5. 如图，AB为⊙O的直径，，则下列结论错误的是（ ）
A．BC＝BD B．AC＝OD
C．∠ABC＝∠D D．∠ABC∠AOD
【分析】由，AB为直径得到，则根据圆心角、弧、弦的关系可对A选项进行判断；根据圆周角定理德∠ACB＝90°，则当∠ABC＝30°，ACAB＝OD，于是可对B选项进行判断；根据圆周角定理，由得到∠ABC＝∠ABD，加上∴OBD＝∠D，则可对C选项进行判断；根据圆周角定理得∠ABD∠AOD，加上∠ABC＝∠ABD，则可对D选项进行判断．
【解析】∵，AB为直径，
∴，
∴BC＝BD，所以A选项的结论正确；
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴只有当∠ABC＝30°，ACAB＝OD，所以B选项的结论错误；
∵，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠D，
∴∠ABC＝∠D，所以C选项的结论正确；
∵∠ABD∠AOD，
而∠ABC＝∠ABD，
∴∠ABC∠AOD，所以D选项的结论正确．
故选：B．
6. 如图，点A，B的坐标分别为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，点A1，B1的坐标分别为（a，4），（3，b），则a+b的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由已知得出线段AB向右平移了4个单位，向上平移了3个单位，即可得出结果；
【解析】∵点A、B的坐标分别是为（﹣3，1），（﹣1，﹣2），若将线段AB平移至A1B1的位置，A1（a，4），B1（3，b），
∴线段AB向右平移了4个单位，向上平移了3个单位，
∴a＝1，b＝1，
∴a+b＝2，
故选：A．
7. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数与一次函数y＝cx+a在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【解析】根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数的图象在第一、三象限，
一次函数y＝cx+a在第一、三、四象限，
故选：B．
8. 如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2，则MF的长是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】设MD＝a，MF＝x，利用△ADM∽△DFM，得到∴，利用△DMF∽△DCE，∴．得到a与x的关系式，化简可得x的值，得到D选项答案．
【解析】∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B＝90°，
∴AB＝AM，BE＝EM＝3，
又∵AE＝2，
∴，
设MD＝a，MF＝x，在△ADM和△DFM中，，
∴△ADM∽△DFM，，
∴DM2＝AM MF，
∴，
在△DMF和△DCE中，，
∴△DMF∽△DCE，
∴．
∴，
∴，
解之得：，
故选：D．
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用图2圆的内接正十二边形计算圆周率，首先要计算它的周长，下列结果正确的是
A． B．
C． D．
【分析】先求出圆内接正十二边形的中心角，然后利用等腰三角形的性质可得，，从而在△中，利用锐角三角函数的定义求出，进而求出，最后进行计算即可解答．
【解答】解：十二边形是圆内接正十二边形，
，
，，
，，
在△中，，
，
，
圆内接正十二边形的周长，
故选：．
10.利用函数知识对关于代数式的以下说法作出判断，则正确的有
①如果存在两个实数，使得，则；
②存在三个实数，使得；
③如果，则一定存在两个实数，使；
④如果，则一定存在两个实数，使．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的性质，根的判别式一一判断即可．
【解答】解：①或时，与不一定等于0，
①错误；
②最多存在两个实数，使得，
②错误；
③，则△，抛物线与轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数，使，
③正确；
④，则△不一定大于0，抛物线与轴没有交点，
④错误；
故选：．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在的横线上.
11. 计算： 2023 ．
【分析】根据负整数指数幂的意义进行实数的运算即可．
【解析】原式＝（7﹣1﹣2）×505+3
＝4×505+3
＝2023．
故答案为2023．
12. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速（单位：千米/时）情况，则该时段内来往车辆的平均速度是 60 千米/时．
【分析】根据平均数的计算公式列式计算即可；
【解析】这些车的平均速度是：（40×2+50×3+60×4+70×5+80×1）÷15＝60（千米/时）；
故答案为：60．
13. 我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 3（x﹣1） ．
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解析】依题意，得：3（x﹣1）．
故答案是：3（x﹣1）．
14. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边BC、CD的延长线上的动点，且CE＝DF，连接AE、BF，交于点G，连接DG，则DG的最小值为 1 ．
【分析】先由图形确定：当O、G、D共线时，DG最小；根据正方形的性质证明△ABE≌△BCF（SAS），可得∠AGB＝90°，利用勾股定理可得OD的长，从而得DG的最小值．
【解析】∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，且CE＝DF，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°
∴∠BAE+∠ABF＝90°
∴∠AGB＝90°
∴点G在以AB为直径的圆上，
由图形可知：当O、G、D在同一直线上时，DG有最小值，如图所示：
∵正方形ABCD，BC＝2，
∴AO＝1＝OG
∴OD
∴DG1
故答案为：1
15. 抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 k且k≠1 ．
【分析】直接利用根的判别式得到△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，再利用二次函数的意义得到k﹣1≠0，然后解两不等式得到k的范围．
【解析】∵抛物线y＝（k﹣1）x2﹣x+1与x轴有交点，
∴△＝（﹣1）2﹣4×（k﹣1）×1≥0，解得k，
又∵k﹣1≠0，
∴k≠1，
∴k的取值范围是k且k≠1；
故答案为：k且k≠1．
16. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝4，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．
【分析】根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．
【解析】连接AD，
∵⊙A与BC相切于点D，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°，BD＝CD2，
∴AB＝2AD，由勾股定理知BD2+AD2＝AB2，
即AD2＝（2AD）2
解得AD＝2，
∴△ABC的面积4，
扇形MAN得面积，
∴阴影部分的面积＝4．
故答案为：4．
17. ．边长相同的小正方体如图摆放，最上面是第一层，第一层有一个小正方体，第二层有三个小正方体，第三层有六个小正方体，按此规律摆放下去，第六层有 21 个小正方体，第n层有 个小正方体．
【分析】由第1层有1个小正方体，第2层有1+2＝3个小正方体，第3层有1+2+3＝6个小正方体，知第n层小正方体是连续n个正整数的和，据此求解可得．
【解析】∵第1层有1个小正方体，
第2层有1+2＝3个小正方体，
第3层有1+2+3＝6个小正方体，
……
∴第6层有1+2+3+4+5+6＝21个小正方体，
第n层有1+2+3+…+n个小正方体，
故答案为：21，．
18. ．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD，点M为AB的中点，点N为AD边上的一动点，将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD的对角线上时，AN的长度为 或 ．
【分析】分两种情况讨论，当点P落在BD上时，由折叠的性质可得AM＝MP＝BM，AN＝NP，可证∠APB＝90°，由余角的性质可得∠NPD＝∠ADP，可得AN＝NP＝DNAD；当点P在AC上时，通过证明△MAN∽△CBA，可得，即可求解．
【解析】如图，当点P落在BD上时，
∵点M为AB的中点，
∴AM＝BMAB＝1，
∵将△AMN沿MN折叠，点A落在点P处，
∴AM＝MP，AN＝NP，
∴AM＝MP＝BM，∠NAP＝∠NPA，
∴∠APB＝90°，
∴∠NAP+∠ADP＝90°，∠APN+∠NPD＝90°，
∴∠NPD＝∠ADP，
∴AN＝ND，
∴AN＝NP＝DNAD；
若点P落在AC上时，连接AC交MN于点H，
∵将△AMN沿MN折叠，
∴AC⊥MN，
∵∠ABC+∠BCH+∠CHM+∠BMH＝360°，
∴∠BMH+∠BCH＝180°，
又∵∠AMN+∠BCH＝180°，
∴∠AMN＝∠BCH，
又∵∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△MAN∽△CBA，
∴，
∴AN，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，19、20题每小题8分，21-25题每小题10分，26题12分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中的相应位置.
19.（1）计算：；
（2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依此计算可得．
【解答】解：（1）原式，
，
；
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
在数轴上表示不等式的解集，如图所示：
20.如图，AB＝CD，CE＝BF，DF＝AE．
求证：（1）△ABE≌△DCF；
（2）AB∥CD．
【分析】（1）由SSS可证明△ABE≌△DCF；
（2）由全等三角形的性质得出∠B＝∠C，则可得出结论．
【详解】证明：（1）∵CE＝BF，
∴CE﹣FE＝BF﹣FE，
即CF＝BE，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SSS）；
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠B＝∠C，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，由“SSS”证△ABE≌△DCF是解题的关键．
21.为弘扬中国传统文化，今年在北京园博园举行了“北京戏曲文化周”活动，活动期间开展了多种戏曲文化活动，主办方统计了4月30日至5月3日这四天观看各种戏剧情况的部分相关数据，绘制统计图表如下：
4月30日至5月3日每天接待的观众人数统计表
日期 观众人数（人
4月30日 697
5月1日 720
5月2日 760
5月3日
（1）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，则 775 ；
（2）请计算4月30日至5月3日接待观众人数的日平均增长量；
（3）根据（2）估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 人．
【分析】（1）用当天看豫剧的人数除以看豫剧人数占当天总人数的百分比即可得；
（2）用4月30日至5月3日增加的人数除以天数即可得；
（3）根据（2）中日均增加的人数，估计5月4日在5月3日基础上也大约增加26人，即可得答案．
【解答】解：（1）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，则（人，
故答案为：775；
（2）4月30日至5月3日接待观众人数的日平均增长量为；
（3）由（2）知，接待观众人数的日平均增长量为26人，
估计该活动在5月4日接待观众约为人，
故答案为：801．
22. 图1是淘宝上常见的“懒人桌”，其主体由一张桌面以及两根长度相等的支架组成，支架可以通过旋转收拢或打开，图2是其打开示意图，经操作发现，当时，可稳定放置在水平地面上，经测量，，．
（1）当其完全打开且置于水平地面上时，测得，求距离；
（2）在（1）的基础上，若要在该桌上办公，已知眼睛与桌面的垂直距离以为佳，实际办公时，眼睛与桌面的垂直距离为，若保持身体不动，通过旋转支架以及抬高桌面，则点应向内移动多少厘米，才能达到最佳距离？
（参考数据：，，
【分析】（1）通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出即可；
（2）求出抬高后的的长，根据勾股定理求出，进而求出向内移动的距离即可．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，
，
，
答：的距离约为；
（2）由题意得，桌子要抬高，
即要变为，
，
即点要向内移动，
答：向内移动．
23. 反比例函数在第一象限的图象如图所示，过点作轴的垂线，交反比例函数的图象于点，的面积为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）设点的坐标为，其中，若以为一边的正方形有一个顶点在反比例函数的图象上，求的值．
【分析】（1）根据点、的面积为3，可求出点的坐标，即可求解．
（2）分情况讨论即可．
【解答】解：（1）点、的面积为3．
，．
．
．
将坐标代入反比例函数解析式得：．
反比例函数的解析式．
（2）分类讨论：
①如图：
此时顶点在反比例函数上时．
，．
．．
．
．
将点坐标代入．
．
，或（舍去）．
②如图：
此时顶点与重合时，．
．
．
综上：或7．
24.小王计划批发“山东美早大樱桃”和“泰国榴莲”两个品种的水果共120斤，樱桃和榴莲的批发价分别为32元/斤和40元/斤．设购买了樱桃x斤（x≥0）．
（Ⅰ）若小王批发这两种水果正好花费了4400元，那么小王分别购买了多少斤樱桃和榴莲？填写下表，并列方程求解；
品种 批发价（元） 购买斤数 小王应付的钱数（元）
樱桃 32 x 32x
榴莲 40 （120﹣x） 40（120﹣x）
（Ⅱ）设小王购买两种水果的总花费为y元，试写出y与x之间的函数表达式．
（Ⅲ）若要求所批发的榴莲的斤数不少于樱桃斤数的2倍，那么购买樱桃的数量为多少时，可使小王的总花费最少？这个最少花费是多少？
【分析】（Ⅰ）根据题意可以求得表格应填写的式子，然后列出相应的方程即可解答本题；
（Ⅱ）由总花费＝x斤樱桃的花费+（120﹣x）斤榴莲的花费，即可求解；
（Ⅲ）根据题意求得x的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：（Ⅰ）设购买了樱桃x斤（x≥0），则榴莲购买了（120﹣x）斤，小王购买樱桃应付的钱数是32x，购买榴莲应付的钱数是40（120﹣x），
故答案为：32x，（120﹣x），40（120﹣x）；
由题意，得32x+40（120﹣x）＝4400，
解得x＝50．有120﹣x＝70．
答：小王购买了50斤樱桃和70斤榴莲；
故答案为：32x，（120﹣x），40（120﹣x）；
（Ⅱ）由题意，得y＝32x+40（120﹣x）＝﹣8x+4800，
∴y＝﹣8x+4800（x≥0）；
（Ⅲ）∵120﹣x≥2x，解得x≤40，
由题意x≥0，
∴0≤x≤40．
∵y＝﹣8x+4800（x≥0），﹣8＜0，有y随x的增大而减小，
∴当x＝40时，y取得最小值4480元．
答：购买樱桃的数量为40斤时，可使小王的总花费最少，最少花费是4480元．
【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
25. 已知二次函数的图象经过点．．
（1）若该二次函数图象与轴的一个交点是．
①求二次函数的表达式：
②当时，函数最大值为，最小值为．若，求的值；
（2）对于该二次函数图象上的两点，，，当时，如终有．求的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求二次函数解析式；
②利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再利用得，所以，根据二次函数的性质，当时，时，函数有最小值，当或时，函数有最大值，即，则，然后解方程即可；
（2）先利用二次函数的图象经过点．得到，则可求出抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，即，解得或，然后利用得到或，从而得到的范围．
【解答】解：（1）①把，分别代入得，
解得，
抛物线解析式为；
②，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
，
，
解得，
，
当时，时，函数有最小值，即，
当或时，函数有最大值，即，
，
，
解得（舍去），，
的值为；
（2）二次函数的图象经过点．，
，
解得，
，抛物线的对称轴为直线，
，，在抛物线上，且，
点到对称轴的距离大于或等于点到对称轴的距离，
，
或，
，
或，
解得或．
26.如图，四边形是菱形，其中，点在对角线上，点在射线上运动，连接，作，交直线于点．
（1）在线段上取一点，使，求证：；
（2）图中，．
①点在线段上，求周长的最大值和最小值；
②记点关于直线的轴对称点为点．若点不能落在的内部（不含边界），求的取值范围．
【分析】（1）根据证即可得证结论；
（2）①先证明点在线段上时，是等边三角形，确定周长最大时和最小时点的位置，从而可求出的长，进而求出周长即可；
②找出点落在上的位置，求出的长，当落在上时，求出的长，从而确定的取值范围即可．
【解答】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①如下图，当点与点重合时，
同（1）可得，，
，
是等边三角形，
同理可得，当点在边上时，均是等边三角形，
当时，最短，如下图，
，，
，
又，
，
，
，
等边三角形的周长最小值为：，
当点与点重合时，如下图，
过点作于，
则，，
，
在中，，
此时的周长最大，最大值为：，
的周长最小值为，最大值为；
②当点在上时，如下图，
作于，点关于的对称点在上，
，，
，
在中，，
，
；
当点在上时，如下图，
连接，
点与点关于对称，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
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