高三：圆锥曲线小题讲义
目录
1.1椭圆的定义及性质 2
1.2双曲线的定义及性质 14
1.3抛物线的定义及性质 25
1.1椭圆的定义与性质
【课前测】
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
1．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A． B． C． D．
2．点到直线的距离的取值范围为
A． B． C． D．
3．若圆上存在点，直线上存在点
，使得，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【知识点一：椭圆的定义与标准方程】
椭圆的定义
平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
若，则的轨迹为线段．
依椭圆的定义，设是椭圆上一点，则有，（为常数且
椭圆的标准方程
①
焦点在轴上，，，且
②
焦点在轴上，，，且
【典型例题】
考点一：椭圆的定义与标准方程
例1．设定点，动点满足条件，则点的轨迹是
（A）椭圆 （B）线段
（C）不存在 （D）椭圆或线段
例2．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，则
（A）2 （B）10 （C）12 （D）14
例3. “”是“方程表示椭圆”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不是充分条件又不是必要条件
例4．已知表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
（A）或 （B）
（C） （D）或
例5．求焦点的坐标分别为和，且过点的椭圆的方程．
练1．到两定点，的距离之和的绝对值等于6的点的轨迹
（A）椭圆 （B）线段 （C）双曲线 （D）两条射线
练2．在棱长为1的正方体中，点在底面内运动，使得的面积为，则动点的轨迹为
（A）椭圆一部分 （B）双曲线一部分
（C）一段圆弧 （D）一条直线
练3．“”是“曲线方程表示焦点在轴上的椭圆”的
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件
（C）充要条件 （D）既不是充分条件又不是必要条件
练4. 已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为，为的中点，则的值等于
（A） （B） （C） （D）
练5．是椭圆上的一点，，分别是椭圆的左右焦点，则的周长是．
练6．已知椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，且，求椭圆的方程．
【知识点二：椭圆的性质及离心率】
一、椭圆的简单几何性质：
1．范围：，；
2．对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；
3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；
4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段．
5．椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于1，椭圆越扁；
反之，越趋近于0，椭圆越趋近于圆
【典型例题】
考点一：椭圆的焦点与轴长
例1．已知椭圆的一个焦点为，则的值为
（A） （B） （C）6 （D）8
例2．已知三点、，那么以、为焦点且过点的椭圆的短轴长为
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
例3．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为，求椭圆的方程．
练1．椭圆的一个焦点坐标为
（A） （B） （C） （D）
考点二：椭圆的离心率
例1．椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
例2．已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，则的值为
（A） （B） （C） （D）或
例3．已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上一点，且，，那么椭圆的离心率是
（A） （B） （C）1 （D）
例4．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
练1．椭圆的焦距和离心率分别为
（A）和 （B）和 （C）和 （D）和
练2．已知椭圆的长轴长是焦距的倍，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
练3．椭圆的两焦点分别为，以为边作正三角形，若正三角形的第三个顶点恰好是椭圆短轴的一个端点，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
练4．椭圆的左右焦点分别为，抛物线的准线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，，则椭圆的离心率等于
（A） （B） （C） （D）
【知识点三：椭圆的综合问题】
【典型例题】
1．若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且．给出如下四个结论：
①椭圆和椭圆一定没有公共点； ②；
③； ④．
其中，所有正确结论的序号是
（A）②③④ （B）①③④ （C）①②④ （D）①②③
2．已知点是椭圆的两个焦点，点是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）
3．椭圆上的点若满足为椭圆的两个焦点，称这样的点为椭圆的“焦垂点”．椭圆有个“焦垂点”
4． 如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中．和分别是“果圆”与轴，轴的交点．给出下列三个结论：
① ；
② 若，则；
③ 若在“果圆”轴右侧部分上存在点，
使得，则.
其中，所有正确结论的序号是
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
5．曲线是平面内与两个定点 ，的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线关于坐标轴对称；
②△周长的最小值为；
③点到轴距离的最大值为；
④点到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是_______．
6．两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足．当变化时，给出下列三个命题：
①点的轨迹关于轴对称；
②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；
③的最小值为．
其中，所有正确命题的序号是______．
1.2双曲线的定义及性质
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
1．椭圆的焦距和离心率分别为
（A）2和 （B）1和 （C）2和 （D）1和
2．已知椭圆的一个焦点为，则的值为
（A） （B） （C）6 （D）8
3．在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆C的方程为
（A） （B） （C） （D）
【知识点一：双曲线的定义和标准方程】
一、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．
依定义，设是双曲线上一点，则有且
当时，的轨迹是以为端点的射线
二、双曲线的标准方程
①
焦点在轴上，，，且
②
焦点在轴上，，，且
【典型例题】
考点一、双曲线定义和性质
例1． “”是“方程表示双曲线”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
例2．已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐
近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为．
例3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，则该双曲线的渐近线方程为；．
练1． “”是“曲线是焦点在轴上的双曲线”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
练2．能说明“若，则方程表示的曲线为
椭圆或双曲线”是错误的一组的值是
练3．对于双曲线，给出下列三个条件：
①离心率为；
②一条渐近线的倾斜角为；
③实轴长为，且焦点在轴上．
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程__________．
【知识点二：双曲线的简单几何性质】
双曲线的简单几何性质
1．范围：或；
2．对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．
3．顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点．
4．实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，为顶点，线段为双曲线的实轴，在轴上作点，线段叫做双曲线的虚轴．
5．渐近线：直线（焦点在轴）或（焦点在轴）；
6．离心率：叫做双曲线的离心率，．双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．
【典型例题】
考点一：离心率与渐近线
例1．曲线与曲线的
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
例2．双曲线（）的离心率是；渐近线方程是．
例3．已知点A，点，分别为双曲线的左、右顶点．若△ABC为正三角形，则该双曲线的离心率为_________．
例4．已知双曲线，则的渐近线方程是；过的左焦点且与轴垂直的直线交其渐近线于两点，为坐标原点，则的面积是．
例5．已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（,），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C,该条件的序号是______；满足该条件的双曲线C的标准方程是_________.
条件①:双曲线C的离心率e＝2；
条件②:双曲线C的渐近线方程为y＝；
条件⑧:双曲线C的实轴长为2.
练1．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为．
练2．在中，，．若以，为焦点
的双曲线经过点，则该双曲线的离心率为
A． B. C. D.
练3．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的
倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
练4.已知双曲线（，）的左焦点为
，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则
的离心率为
A． B． C． D．
练5．设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，则△的面积为
A． B． C． D．
考点二：双曲线小题综合
例1．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且，则的面积为
（A） （B） （C） （D）
例2．如果方程所对应的曲线与函数的图象完全重合，那么对于函数有如下结论：
①函数在上单调递减；
②的图象上的点到坐标原点距离的最小值为；
③函数的值域为；
④函数有且只有一个零点．
其中正确结论的序号是．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
例3.已知椭圆,双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆的离心率为;双曲线的离心率为.
例4． 是双曲线上的一点，， ，设，△的面积为S，则的值为_______．
练1．已知点是双曲线的一条渐近线上一点，是双曲线的右焦点，若△的面积为，则点的横坐标为
A. B. C. D.
练2.设双曲线的左焦点为，右顶点为．若在双曲线上，有且只有2个不同的点P使得成立，则实数的取值范围是____．
练3．已知椭圆和双曲线
．经过的左顶点和上顶点的直线与的渐近线在第一象限的
交点为，且，则椭圆的离心率，双曲线的离心率．
练4．若直线与双曲线无公共点，则双曲线
的离心率可能是
A． B． C． D．
1.3抛物线的定义及性质
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况：优/中/差
1．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于
（A） （B） （C）4 （D）
2．双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线，交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
（A） （B） （C） （D）
3．点在双曲线的右支上，若点到右焦点的距离等于，则．
4．在平面直角坐标系中，方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为．
5．已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．
【知识点一：抛物线的定义及标准方程】
一、抛物线定义
1．平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
2．对高档耐用品需求量的影响比较大（需求弹性大）。
二、抛物线的标准方程的四种形式：
标准方程 图形 对称轴 焦点坐标 准线方程
轴
轴
【典型例题】
考点一：抛物线的定义及标准方程
轨迹问题
例1．到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是
（A）圆 （B）抛物线 （C）线段 （D）直线
练1．若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线
练2．已知点，直线，点是上的动点，过点垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹是
抛物线 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）直线
焦点问题
例2．抛物线的焦点坐标是
（A） （B） （C） （D）
练3．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
（A） （B） （C） （D）
距离问题
例3．已知抛物线的焦点为，是上一点，，则
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
练4．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，若，则的中点到轴的距离等于
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
练5．已知点在抛物线上，抛物线的焦点为，那么．
练6．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么__．
练7．抛物线上的点到其焦点的最短距离为
（A）4 （B）2 （C）1 （D）
【知识点二：抛物线的几何性质】
（根据抛物线的标准方程研究性质）：
1．范围：抛物线在轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．此处为原点．
4．离心率：抛物线上的点与焦点和准线距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，．
【典型例题】
考点一：抛物线的几何性质
例1．直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于不同
的两点，．若，则弦的长是
（A） （B） （C） （D）
例2．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为，是抛物线上异于
的一点，过作于，则线段的垂直平分线
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
例3．已知抛物线C:y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐
标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝
A．1 B．2 C．9 D．18
例4．已知抛物线的焦点为，过点作
轴的垂线交抛物线于点，且满足，则抛物线的方程为；设直
线交抛物线于另一点，则点的纵坐标为．
例5．（202104西城一模08）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射
后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图，从抛物线的
焦点发出的两条光线分别经抛物线上的两点反射，已知两条入射光线与轴所
成锐角均为，则两条反射光线和之间的距离为
A． B．
C． D．
练1．若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标
为，则等于
（A） （B）
（C） （D）
练2．若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于
1，则的取值范围是
练3．抛物线上到其焦点的距离为1的点的个数为
．
练4．过抛物线的焦点作倾斜角为60°的直
线与抛物线交于两个不同的点（点在轴上方），则的值为
（A） （B） （C） （D）
练5．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过
焦点的直线与抛物线交于两点，且，则点到轴的距离为
A．5 B．4 C．3 D．2
【知识点三：抛物线的综合问题】
例1．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线上相交于，两点，且，两点在准线上的投影分别为，两点，则△的面积为
A． B． C． D．
例2．已知抛物线与椭圆有一个公共焦点，则点的坐标是________; 若抛物线的准线与椭圆交于两点，是坐标原点，且△是直角三角形，则椭圆的离心率________.
例3．在平面直角坐标系中，直线过抛物线
的焦点，且与该抛物线相交于两点．若直线的倾斜角为，则△的面积
为 ．
例4．抛物线的焦点为.对于上一点，若的准线上只存在一个点，使得为等腰三角形，则点的横坐标为
A． B． C． D．
例5．已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为
A． B． C． D．
练1．椭圆的右焦点与抛物线
的焦点重合，点为椭圆与抛物线的公共点，且轴．那
么椭圆的离心率为
A． B． C． D．
练2.已知直线过点且垂直于轴.若被抛物线截得的
线段长为,则抛物线的焦点坐标为_____.
练3．设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，点，则
的取值范围是．
练4.已知点，点在曲线上运动，点为抛物
线的焦点，则的最小值为
（A） （B） （C） （D）
练5．已知斜率为的直线与抛物线交于两点，线段的中点为，则斜率的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
练6．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，
其中点在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是
（A） （B）
（C） （D）
练7．曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论：
①曲线关于轴对称；
②若点在曲线上，则满足；
③若点在曲线上，则；
其中，正确结论的序号是_____________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
【巩固练习——基础篇】
1．已知椭圆的离心率为，则
A． B．
C． D．
2. 若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于
1，则的取值范围是
A． B.
C. D.
3.已知点及抛物线上一动点，则
的最小值是
A． B. C. D.
4. 设双曲线经过点,且与具有相同渐近线,则的方
程为;渐近线方程为.
5．已知双曲线的两个焦点为，一个顶点是
，则的标准方程为__________；的焦点到其渐近线的距离是__________．
6.设抛物线的焦点为，准线为．则以为圆心，且与相
切的圆的方程为________
7．已知抛物线过点，那么抛物线的
准线方程为，为平面直角坐标系内一点，若线段的垂直平分线过
抛物线的焦点，那么线段的长度为.
8．已知点在抛物线上，若以点为圆心的圆与轴和
其准线都相切，则点到其顶点的距离为．
9．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，
，则点的横坐标是，△（为坐标原点）的面积为．
10．对于抛物线，给出下列三个条件：
①对称轴为轴；②过点；③焦点到准线的距离为.
写出符合其中两个条件的一个抛物线的标准方程_____ .
【巩固练习——提高篇】
1.已知，分别是双曲线
的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线
的离心率为
A． B． C．2 D．
2．已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为60°的直线l与抛物线C
在第一、四象限分别交于，两点，则的值等于
2 B. 3 C. 4 D. 5
3. 已知点是抛物线上的动点，且点在轴上的射影是，点，则
的最小值是
A. B. C. D.
4. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的
最小值是
A. B. C. D.
5. 已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，
（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是
A. B. C. D.
6. 设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，|为
半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最
大值为．
8.已知双曲线， 为等边三角
形．若点在轴上，点在双曲线上，且双曲线的实轴为的中位线，则
双曲线的离心率为__________．
9.双曲线（,）的渐近线为正方形的边
,所在的直线,点为该双曲线的焦点．若正方形的边长为,则=_______．
10．已知双曲线的左焦点为F1，A，B为双曲线M
上的两点，为坐标原点若四边形为菱形，则双曲线M的离心率为 .
11．曲线是平面内与两个定点 ，的距离的积等
于的点的轨迹，给出下列四个结论：
①曲线关于坐标轴对称；
②△周长的最小值为；
③点到轴距离的最大值为；
④点到原点距离的最小值为．
其中所有正确结论的序号是_______．
20
会当凌绝顶，一览众山小。
21高三：圆锥曲线专题讲义
11.3 定值定点问题
【知识点一：定值问题】
1.定值问题
基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式
2.椭圆常用结论
1.过椭圆 (上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.
2.已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.
1）;
2）的最大值为;
3）的最小值是.
【知识点二：定点问题】
1.直线过定点问题
方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.
确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.
【典型例题】
考点一：斜率之积或和为定值
例1.已知椭圆的离心率为,点 在椭圆上, 为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与圆的相交于不在坐标轴上的两点,记直线的斜率分别为,求证:为定值.
练1.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
练2. 已知椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点(在下方)，且．过点的直线与椭圆交于两点（不与重合）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值．
考点二： 线段或者面积为定值
例2.已知点在椭圆：上，是椭圆的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆C上不与点重合的两点，关于原点O对称，直线，分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被直线截得的弦长是定值．
1、已知椭圆过点，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，.求的值.
例3.已知椭圆C:0)的两个焦点是在椭圆C上,且O为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)求证:为定值.
练1.已知椭圆的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点A（1，0），B（4，0），过点A的任意一条直线l与椭圆C交于M，N两点，求证：|MB| |NA|＝|MA| |NB|．
考点三： 其它定值
例4 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
例5． 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，点M是椭圆C上异于的一点，直线AM与y轴交于点.
（Ⅰ）若点在椭圆的内部，求直线AM的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆的右焦点为，点在轴上，且，求证：为定值.
练1.已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线 交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由．
例6 已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点 的直线与椭圆交于不同的两点与直线交于点 ， 设 ，，求证：为定值.
【知识点二：定点问题】
1.直线过定点问题
方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.
确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.
【典型例题】
考点一： 直线过定点问题
例1已知椭圆的离心率为,且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设,是椭圆上不同于点的两点,且直线,的斜率之积等于,试问直线是否过定点？若是,求出该点的坐标;若不是,请说明理由.
练1已知椭圆过点，离心率为.过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过定点 若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由.
例2已知椭圆的焦距和长半轴长都为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.
求证：以为直径的圆恒过点.
练2 已知椭圆
（1）求椭圆的离心率
（2）设分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上，直线分别与相交于点，当点运动时，以为直径的圆是否经过轴上的定点？试证明你的结论
考点二： 定点存在性问题
1.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与椭圆交于不同的两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线，分别交轴于两点，问：轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2.已知椭圆C：的离心率为，点A(0，1)在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆 C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问： y轴上是否存在定点G，使得∠OGE=∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．
【小试牛刀】
已知椭圆：的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程以及离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【巩固练习——基础篇】
1. ★★已知椭圆经过点，离心率为.是椭圆上两点，且直线的斜率之积为为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值.
2.已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点.
（Ⅰ）当时，求面积的最大值；
（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点.证明:为定值.
3.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证:为定值.
【巩固练习——提高篇】
1..已知椭圆过点,且满足.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆于两个不同点,点的坐标为,设直线与的斜率分别为.
若直线过椭圆的左顶点,求此时的值;
②试探究是否为定值？并说明理由.
20
会当凌绝顶，一览众山小。
21高三：圆锥曲线专题讲义
11.4 平面向量问题
【课前测】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1．椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值.
2.已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
(ⅰ)若直线垂直于轴,求的大小;
(ⅱ)若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形 如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
【知识点一：向量相关知识点问题】
1. 三点共线：
①；
②存在实数，使；
③若存在实数，且，使．
2.给出，等于已知，即是直角；
给出，等于已知是钝角，
给出，等于已知是锐角．
3.给出，等于已知是的平分线．
4.在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．
5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．
【知识点二：垂直问题】
1.垂直
以为直径的圆过原点
故
两边同时乘以，整体处理得
消去高次项得
即找了的关系式.
推广：以为直径的圆过焦点
可以看得出，同样可以采用整体法处理.
2.角度问题
成锐角或钝角
原点在以为直径的圆内
易得
原点在以为直径的圆外
易得
【典型例题】
考点一：：垂直问题之矩形问题
例1-已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长为,离心率，过右焦点的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线的斜率为1时，求的面积；
（Ⅲ）若以为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线的方程.
练1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，是否存在实数，使 成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
例2已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程．
例3.已知椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.
练3.已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交于两点.
（Ⅰ）求的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
练4已知椭圆，
（1）求椭圆的离心率.
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
考点二：：垂直问题之三角形问题
例1.椭圆的离心率为，且过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求的值.
练1.已知是椭圆上两点，点的坐标为.
（Ⅰ）当关于点对称时，求证：；
（Ⅱ）当直线经过点 时，求证：不可能为等边三角形.
例2.已知椭圆（）过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.
考点三： 角度问题
例1.设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为，且点在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：△为钝角三角形．
练1.已知椭圆：的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为
（1）求椭圆C的方程
（2）设过点B（0，m）（m>0）的直线l与椭圆C相交于E,F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围
练2.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。
【知识点二：共线比例问题】
【典型例题】
考点一：共线问题
例1在平面直角坐标系xOy中，经过点（0, ）且斜率为k的直线l与椭圆 有两个不同的交点P和Q.
(Ⅰ)求k的取值范围；
(Ⅱ)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.
练1已知椭圆的焦距为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为，过点的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围.
例2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为2，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线经过点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程.
练2已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．
例3设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.
例4．已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线．
练4.在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线的方程为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值；
（Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线．
考点二：比例问题
例1．设椭圆Ｃ：的左焦点分别为是椭圆Ｃ上的一点，且，坐标原点Ｏ到直线的距离为。
（1）求椭圆的方程；
（2）设Ｑ是椭圆Ｃ上的一点，过点Ｑ的直线交轴于点，交轴于点Ｍ，若，求直线的斜率
练1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上且过点，离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线过点且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程.
【小试牛刀】
例1．已知焦点在轴上的椭圆过点,且离心率为,为椭圆的左顶点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知过点的直线与椭圆交于,两点.
(ⅰ)若直线垂直于轴,求的大小;
(ⅱ)若直线与轴不垂直,是否存在直线使得为等腰三角形 如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
2. 已知椭圆的离心率，点为椭圆的右点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，若在轴上存在着动点，使得以为邻边的菱形，试求出的取值范围.
3.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.
【巩固练习——基础篇】
1.已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标；
（Ⅱ）求证：，，三点共线．
2.已知椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线分别交轴于不同的两点. 如果为锐角，求的取值范围．
3.已知椭圆：的右焦点为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程以及离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
4.已知椭圆,椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,与有相同的离心率,且过椭圆的长轴端点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）设为坐标原点,点分别在椭圆,上,若,求直线的方程.
5.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右顶点,且交椭圆于另一点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程;
（Ⅱ）若以为直径的圆经过椭圆的上顶点,求直线的方程.
6.已知圆的切线与椭圆相交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率;
（Ⅱ）求证:;
（Ⅲ）求面积的最大值
7.已知椭圆经过点，离心率为.是椭圆上两点，且直线的斜率之积为为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值.
【巩固练习——提高篇】
已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于两点,点为椭圆的左焦点.
（Ⅰ）求椭圆的离心率及左焦点的坐标;
（Ⅱ）求证:直线与椭圆相切;
（Ⅲ）判断是否为定值,并说明理由.
2. 已知椭圆: 的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
（Ⅰ）当,且直线轴时,求四边形的面积;
（Ⅱ）设,直线与直线相交于点,求证:三点共线.
3.已知椭圆：的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点作轴于，线段的中点为．直线与直线交于点，为线段的中点，设为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系．
4.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率．
5.已知椭圆的焦距和长半轴长都为．过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点是椭圆的左顶点，直线分别与直线相交于点.
求证：以为直径的圆恒过点.
6.已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，，求的大小．
7. 已知椭圆E：经过点,离心率为，O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程;
(Ⅱ)设A,B 分别为椭圆E 的左、右顶点,D 为椭圆E 上一点 (不在坐标轴上),直线CD
交x 轴于点P,Q 为直线AD 上一点,且,求证C,B,D三点共线
8. 已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，点，求证：点不在以为直径的圆上．
9. 已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程和离心率；
（Ⅱ）过点作不与轴垂直的直线交椭圆于，（异于点）两点，试判断 的大小是否为定值，并说明理由．
20
会当凌绝顶，一览众山小。
21高三：圆锥曲线专题讲义
11.5 取值范围问题
【课前测】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知椭圆的中心在原点，短半轴的端点到其右焦点的距离为，过焦点F作直线，交椭圆于两点．
（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点，使四边形恰好为平行四边形，求直线的斜率．
2．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线在y轴上的截距m的取值范围．
【知识点一：求范围常用的方法】
圆锥曲线中的确定参变量（参数）的取值范围是高考命题的热点，也是我们掌握的一个难点。要想求出圆锥曲线中的参数的取值范围，就必须寻找确定参数的取值范围的不等量关系，这可以说是解决这类问题的难点和关键所在。
有以下几种形式：
1.利用判别式，建立起含参数的不等式；圆锥曲线中的含参数问题往往都转化为直线和圆锥曲线的相交问题－－有两个交点，因此，这类问题可首先考虑。
2.利用题设中的不等关系，建立起含参的不等式；有些题目中含有已知量的不等关系，可以借助它去确定题目中所要求的参数的取值范围。
3.根据圆锥曲线的变化范围，借助点的位置，建立含参数的不等式；根据曲线的范围，借助点的位置―――比如在椭圆上，则等建立含参数的不等式。
4.借助图形直观挖掘不等关系，建立含参数的不等式。常用到的有三角形中的边的关系，多与圆锥曲线的定义相结合。
【知识点二：双曲线经典结论】
1.双曲线（）的两个顶点为,，与轴平行的直线交双曲线于时交点的轨迹方程是.
2.过双曲线（）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于两点，则直线有定向且（常数）.
3.若为双曲线（）右（或左）支上除顶点外的任一点, 是焦点, , ，则（或）.
4.为双曲线（）上任一点, 为二焦点，为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在轴同侧时，等号成立.
5.双曲线（）与直线有公共点的充要条件是.
6.已知双曲线（），为坐标原点，为双曲线上两动点，且.
1）;
2）的最小值为;
3）的最小值是.
7.过双曲线（）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.
8.已知双曲线（）, 是双曲线上的两点，线段的垂直平分线与轴相交于点, 则或.
9.设点是双曲线（）上异于实轴端点的任一点, 为其焦点记，则(1).(2) .
【典型例题】
【例1】已知椭圆C:的左焦点为（-1，0），离心率为，过点的直线与椭圆C交于两点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、 B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.
练习1.已知椭圆过点，且长轴长是焦距的倍，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，为坐标原点。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程
（Ⅱ）若直线垂直于轴，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）若点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围。
【例2】已知椭圆的离心率，点为椭圆的右焦点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，若在轴上存在着动点，使得以为邻边的菱形，试求出的取值范围
练习2.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P横坐标的取值范围及|EF|的最大值．
【例3】已知椭圆的离心率是．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于两点，直线分别交轴于不同的两点. 如果为锐角，求的取值范围．
练习3已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，焦点为，圆O的直径为．
（Ⅰ）求椭圆C及圆O的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P，且直线l与椭圆
C交于两点．记 的面积为，证明：．
【例4】已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，点P在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆 C的标准方程；
（Ⅱ）已知点M (4，0)，点N(0，n)，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的
练习5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为（，0），右顶点为（2，0）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆C恒有两个不同的交点A和B，且 (其中O为原点)，求k的取值范围.
【小试牛刀】
1．已知椭圆C：的左右焦点分别为，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点， 的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．
2．已知双曲线的左右两个顶点是，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线与交于点M，
（1）求动点M的轨迹D的方程；
（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．
3．已知双曲线的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，且e≥k．
（1）求m的取值范围；
（2）设条件p：e≥k；条件q：．若p是q的必要不充分条件，求的取值范围．
4.已知椭圆经过，两点.为坐标原点，且△的面积为. 过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点,且直线，分别与轴交于点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅲ）设求的取值范围.
5. 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，点在椭圆上，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积等于，并求的取值范围．
【巩固练习——基础篇】
1.已知椭圆的右顶点，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，过点的直线与椭圆交于两点，，直线和分别与直线交于点,．求△与△面积之和的最小值.
2．已知椭圆与抛物线有公共弦（在左边），，的顶点是的一个焦点，过点且斜率为的直线l与分别交于点（均异于点）．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若点在以线段为直径的圆外，求的取值范围．
3．已知椭圆的焦距为，离心率为，圆,是椭圆的左右顶点， 是圆的任意一条直径，面积的最大值为2；
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点求的取值范围；
4．已知椭圆：与抛物线：交于两点，点在第一象限，为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若为椭圆上的点，以为直径的圆过椭圆的左顶点A，直线的斜率为，直线的斜率为，且，,求的取值范围．
5．若双曲线的离心率等于，直线y=kx﹣1与双曲线E的右支交于A、B两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若，点c是双曲线上一点，且，求k、m的值．
【巩固练习——提高篇】
1．设双曲线Γ的方程为，过其右焦点F且斜率不为零的直线与双曲线交于A、B两点，直线的方程为x=t，A、B在直线上的射影分别为C、D．
（1）当垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；
（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；
（3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．
2．对于双曲线C（a，b）：﹣=1（a，b＞0），若点满足﹣＜1，则称P在C（a，b）的外部，若点满足﹣＞1，则称C（a，b）在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；
（2）若C（a，b）过点（2，1），圆（r＞0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
（3）若曲线（m＞0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围．
3．设O是坐标原点，F是抛物线的焦点，C是该抛物线上的任意一点，当与y轴正方向的夹角为60°时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知A（0，p），设B是该抛物线上的任意一点，M，N是x轴上的两个动点，且|MN|=2p，|BM|=|BN|，当取得最大值时，求△BMN的面积．
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会当凌绝顶，一览众山小。
21高三：圆锥曲线专题讲义
11.1 弦长面积问题
【课前测】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1.已知椭圆： 的长轴长为，为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.
【教学目标】
掌握利用直线和圆锥曲线联立的方法求出韦达定理;
理解弦长公式,并深刻理解中点弦问题的垂直角度问题转化的实质;
能够熟练对这两种方法进行计算.
【知识框架】
【知识要点】
考点分析:此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数,并以椭圆、抛物线为载体较多;通过借助解析几何的元素来考察函数方程、数形结合的思想、等价转化思想;考察分析处理问题的能力、计算能力,考察锲而不舍的精神.
一:曲线的交点与方程组
曲线的交点即为两曲线的公共点,此点的坐标既要满足的方程,又要满足的方程（因为它既在的图像上,又在的图像上）,所以可以通过解方程组来求解此点的坐标.
二:韦达定理
对于二次方程有如下的定理,称之为“韦达定理”（Viete theorem）,是韦达（Viete）发现的.
二次方程的两个根和系数由如下关系:;.这就是韦达定理.
韦达定理往往使问题能计算量大大减少.
解直线与圆锥曲线相交问题的经典套路:设线、设点, 联立、消元, 韦达、代入、化简.
第一步:讨论直线斜率的存在性,斜率存在时设直线的方程为;设直线与圆锥曲线的两个交点为,
第二步:联立方程组,消去y 得关于x的一元二次方程;
第三步:由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件,
第四步:把所要解决的问题转化为; ,然后代入、化简.
三:弦中点问题的特殊解法-----点差法:
当已知曲线方程,直线与曲线相交于两点,且弦中点坐标已知,可以利用点差法求直线方程.
设直线与椭圆相交于两点,带入曲线方程,做差以后可以得到形如（其中为常数）.即 …..①
由两点斜率公式可知: ;……②
由中点坐标公式可知: ……③
将②③带入①可得: ,由点斜式可得直线方程:
.
四:圆锥曲线中的弦长求法:
（1）设直线方程为:型.
①考虑斜率不存在时,例如直接带入曲线方程解得相应坐标,利用两点之间坐标公式求解即可;
当斜率存在时,设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立直线与曲线方程,可以得到关于 的一元二次方程.
则|AB|＝|x1－x2|＝·=
（2）设直线为: 型.
①考虑直线平行于轴时,此时不存在.例如直接带入曲线方程,解出相应的坐标,利用两点之间坐标公式求解即可;
当存在时,设出直线的方程,与圆锥曲线 相较于 两点,A（）,B（）,联立直线与曲线方程,可以得到关于 的一元二次方程.
则|AB|＝
【典型例题】
【例1】已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
练1：已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，，为坐标原点.
（Ⅰ）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；
练2：已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为为．点在椭圆上，且的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线：与椭圆交于两点，为坐标原点，求面积的最大值
例2: 已知椭圆
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点 的对称点分别为 ,求四边形 的面积的最大值.
练1:已知点其中是曲线上的两点， 两点在轴上的射影分别为点,且.
（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的斜率；
（Ⅱ）记的面积为，梯形的面积为，求证：.
练2:已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.
(I)求椭圆的方程;
(II)直线与椭圆交于,两点,且线段的垂直平分线经过点,求(为原点)面积的最大值.
【小试牛刀】
1．已知椭圆:的离心率为,且过点.直线
交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值 若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
2.已知椭圆的上顶点为,左焦点为,直线与圆相切.过点的直线与椭圆交于两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)当的面积达到最大时,求直线的方程.
3．已知直线与抛物线相切于点．
（Ⅰ）求直线的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设在抛物线上，为的中点．过作轴的垂线，分别交抛物线和直线于，．记△的面积为，△的面积为，证明：．
4.已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.
（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值.
5.已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点．
（I）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（II）若，求面积的最小值.
6.已知抛物线
（Ⅰ）写出抛物线的准线方程,并求抛物线的焦点到准线的距离;
（Ⅱ）过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点且点关于轴的对称点为,直线与轴交于点.
（i）求点的坐标;
(ii)求与面积之和的最小值.
【巩固练习——基础篇】
1. 已知椭圆 的左、右焦点为 ，， 点在椭圆上，离心率是 ， 与 轴垂直，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点 在第一象限，过点 做直线 ，与椭圆交于另一点 ，求 面积的最大值．
2.已知椭圆的离心率为,,的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设是椭圆上一点,且不与顶点重合,若直线与直线交于点,直线与直线交于点.求证:为等腰三角形.
3.已知椭圆，上顶点为，离心率为，直线交轴于点，交椭圆于 两点,直线分别交 轴于点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：。
【巩固练习——提高篇】
1. 已知椭圆的左焦点为，且经过点，分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程
2.已知椭圆C:0)的两个焦点是在椭圆C上,且O为坐标原点,直线l与直线OM平行,且与椭圆交于A,B两点.连接MA、MB与x轴交于点D，E.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)求证:为定值.
3.已知椭圆的右焦点为，离心率为. 直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅲ）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率
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