2023届高考数学复习专题★★立体几何中的范围（最值）问题 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
2023届高考数学复习专题★★
立体几何中的范围（最值）问题
解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特性入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法，二次函数的配方法、公式法，函数有界法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等.
技法1 几何特性法
例1 如图，在三棱锥 中， 底面 ，
为等边三角形， ，点 为 的中点，
若点 为 内一点，且有 ,则 的最小
值为( )
A. B. C. D.
√
解析：连接 （图略），因为 底面 ，
所以 ，
又 ， ，所以 .
则点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆在 内的圆弧.
连接 ，因为 为等边三角形，且 ，
点 为 的中点，所以 .
所以 的最小值为 ，故选B.
本题是利用几何性质求解，由于点 的轨迹是一段圆弧，再利用圆外一点到圆上的点的距离的最小值为点到圆心的距离减去半径可得 的最小值.
牙雕套球又称“鬼工球”，“鬼工”即鬼斧神工的意思，制作相当
繁杂，工艺要求极高.现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积
分别为 和 的同心球（球面上的镂空忽略不计，
A. B. C. D.
球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点 ，在内球表面上有一点 ，
连接 ．若线段 不穿过小球内部，则线段 长度的最大值是( )
√
解析：选C.设外球的半径为 ，内球的半径为 ,则由外球的表
面积为 ,内球的表面积为 ,得
， ,所以
，
.
如图，作过外球表面上一点 、内球表面上一点 以及球心 的截面，连接 ， .
因为线段 不穿过小球内部，所以当线段 与内球相切时线段 的长度最大，
则线段 最长为 ，故选C.
技法2 侧面展开图法
例2 图中小正方形的边长为1，实线画出的是某圆柱
的三视图，圆柱表面上的点 在俯视图上的对应点
为 ，圆柱表面上的点 在正视图和俯视图上的对应
点分别为 ， ，其中点 为劣弧 的中点，则圆
柱的侧面上从 到 的路径中，最短路径的长度为
( )
A. B. C. D.
√
解析：根据三视图作出圆柱的示意图，如图
（1）所示，其中 为点 在圆 上的射
影， 为点 在圆 上的射影，连接
， ， ， ， ， ，
则 , , ,劣弧 的长度 ,将圆柱的劣弧 所在的部分侧面展开，如图（2），连接
，可知圆柱的侧面上的从 到 的路径中，最短路径的长度为 ，故选B.
本题利用圆柱的侧面展开图，把空间问题转化为平面问题，即两点之间线段最短.
（2022·广东佛山教学质量检测（一））在长方体 中，
, , 为棱 上的动点，平面 交棱 于 ，
则四边形 周长的最小值为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.作出长方体如图1，将侧面展
开，如图2所示，当点 为 与 的
交点， 为 与 的交点时，截面
四边形 的周长最小，
最小值为 .故选B.
技法3 目标函数法
例3 （2022·新高考卷Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一
球面上.若该球的体积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值
范围是( )
A. B. C. D.
√
解析：通解：如图，设该球的球心为 ，半径为 ，正四棱锥的底边长为
，高为 ，依题意，得 ，
解得 .由题意及图可得
解得
所以正四棱锥的体积 ，所以 ，令 ，得 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在
上单调递减，又当 时， ；当 时， ；当 时， ；所以该正四棱锥的体积的取值范围是 .故选C.
光速解：如图，设该球的球心为 ，半径为 ，正四棱锥的底边长为 ，高为 ，依题意，得 ，解得 .由题意及图可得

解得 又 ,所以该正四棱锥的体积 ，所以正四棱锥的体积的最大值为 ，排除A，B，D，故选C.
优美解：如图，设该球的半径为 ，球心为 ，正四棱锥的底边长为 ，高为 ，正四棱锥的侧棱与高所成的角为 ，依题意，得 ，解得 ，所以正四棱锥的底边长 ,高 .在 中，作 ，垂足为 ，则可得 ,所以 ，
&1& 所以正四棱锥的体积 ，设 ，易得 ，则 ，则 ，令
，得 ，所以当 时， ；当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.又当 时， ；当 时， ；当 时， ；所以 ，所以 ，所以该正四棱锥的体积的取值范围是 ，故选C.
本题利用目标函数法求体积最值，其思路为：
设球心到正四棱锥底面中心的长度为 ，这样正四棱锥底面中心到底面顶点的长度可以用勾股定理得到，从而题目所求的正四棱锥的体积可以用 表示.
1.如图，是一个底面半径和高都是1的圆锥形容器，匀速给
容器注水，则容器中水的体积 是关于水面高度 的函数，
记为 ,若正数 , 满足 ,则 的
最小值为_ __.

解析：因为圆锥形容器的底面半径和高都是1，水面高度为 ，所以容器中水的体积 .因为 ,所以 ， ，易知函数 的图象的对称轴方程为 ,所以当 时， .
2.如图，四棱锥 的底面是边长为2的正方形，
底面 ， ，若在四棱锥内挖掉一个体
积最大的圆柱，则剩余几何体的表面积等于
_____________.

解析：如图，在四棱锥 内作出正四棱柱 ，
其中点 ， ， ， ， ， 分别在棱 ， ， ， ， ， 上，则要使挖掉的圆柱体积最大，则需其底面圆为正四棱柱 底面的内切圆.
连接 ，设挖掉的圆柱的底面圆半径为 ,高为 ,则 , .
连接 ，易知点 在 上， ，则 ，
即 ，即 ,
故挖掉的圆柱的体积 , ,
所以 ,
当 时， ,当 时， ,
所以当 时，挖掉的圆柱体积最大，此时 ,
即剩余几何体的表面积 .