2023届高考数学复习专题★★ 二级结论 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
2023届高考数学复习专题★★
二级结论
结论（一） 函数周期性问题
对 定义域内任一自变量
（1）如果 ，那么 是周期函数，其中的一个周期 ；
（2）如果 ，那么 是周期函数，其中的一个周期 ；
（3）如果 ，那么 是周期函数，其中的一个周期 .
1.（2022·河北石家庄模拟）定义在 上的函数 满足
，且 其中 . 若
,则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选C. 由 ，
得 ，
所以 是周期为2的周期函数.
又 ,
所以 ,
即 ，解得 .
2.已知 是定义在 上的偶函数，并且 ，当 时，
，则 ___.
1
解析：由已知可得 ，
故函数 的周期为6，
所以 .
因为 ，
所以 .
结论（二） 奇函数的最值性质
已知函数 是定义在集合 上的奇函数，则对任意的 ，都有
. 特别地，若奇函数 在 上有最值，则 ，且若 ，则 .
1.已知函数 ，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选A. 构建 ，则 在 上为奇函数，则 ，即 ，则 ，故选A.
√
2.设函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 ___.
2
解析：显然函数 的定义域为 ， .
设 ,则 ，
所以 为奇函数，由奇函数图象的对称性知 . 所以 .
结论（三） 函数的对称性
已知函数 是定义在 上的函数：
（1）若 恒成立，则 的图象关于直线 对称. 特别地，若 恒成立，则 的图象关于直线 对称；
（2）若 ，则 的图象关于点 中心对称. 特别地，若 恒成立，则 的图象关于点 中心对称.
1.定义在 上的奇函数 满足 ，且在 上是增函
数，则有( )
A. B.
C. D.
√
解析：选B. 由题设知 ，所以函数 的图象关于直线 对称. 又函数 是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称，由于函数 在 上是增函数，故 在 上也是增函数. 综上，函数 在 上是增函数，在 上是减函数. 又
，所以 .
2.（2022·高考全国卷乙）已知函数 , 的定义域均为 ，且
, .若 的图象关于直线
对称， ，则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选 D.由 的图象关于直线 对称，可得
，在 中，用 替换 ，可得 ,可得 ①， 为偶函数.在 中，用 替换 ，得 ，代入 中，得 ②,所以 的图象关于点 中心对称，所以 .由①②可得 ，所以 ,所以 ，所以函数 是以4为周期的周期函数.由 可得
,又 ,所以可得 ,又 ,所以 ,得 ,又 ,
,所以 .故选 D.
结论（四） 两个经典不等式的应用
（1）对数形式： ，当且仅当 时，等号成立.
（2）指数形式： ，当且仅当 时，等号成立.
进一步可得到一组不等式链： （ ，且 ）.
1.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
( )
A. B. C. D.
解析：选C. 由结论可得 ，
.
√
2.已知函数 ，求证：当 时， .
证明：由对数形式经典不等式 ，得 .
因为 ，故 .
结合指数形式经典不等式 ,得 ，不等式中前两个等号成立的条件分别是 和 ，不能同时取得，故得 ，即当 时， .
结论（五） 基本不等式的变形及推论
（1）变形： （ ， ，当且仅当 时，等号成立）.
（2）推论：如果 ， ， ，那么 （当且仅当 时等号成立）.
1.已知 ， 为正数， ，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为 ，则 ，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立. 故选D.
√
2.已知 为锐角，则 的最大值为_ ___.

解析： ，当且仅当 ，即 时取等号， .
结论（六） 与三角函数的奇偶性有关的结论
（1）若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
（2）若 为偶函数，则有 ；若为奇函数，则有 .
（3）若 为奇函数，则有 .
1.（2022·湖北八市联考）将函数 的图象沿 轴向右平移
个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 的取值可能为( )
A. B. C. D.
解析：选B. 将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度后得到 的图象. 依题意可得 ，所以 ，取 ，可得 ，故选B.
√
2.已知函数 是定义在
上的奇函数，则 _____

解析： ，因为 为 上的奇函数，由结论可知 ，解得 ，又 ，所以 ，所以 ，所以
.
结论（七） 与解三角形有关的结论
（1）在 中， ， ， ，其中角 , , 所对的边分别为 , , .
（2）在 中， 是 边上的中线，则有
.
（3）在 中， 是 的平分线，则 .
（4）奔弛定理：
如图，已知 为 内一点，则有 .
由于这个定理对应的图象和奔弛车的标志很相似，我们把它称为“奔弛定理”.
1.在 中，内角 , , 所对的边分别是 , , . 若
， 边上的高为 ，则角 的最大值为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B. 由 得 . 因为 边上的高为 ，所以 ，即 ，又 ，当且仅当 时取等号，所以 ，即 ，即 . 因为 ，所以 ，则 ，所以 ，故角 的最大值为 .故选B.
2. 是 内一点，且 ，则 的面积与 的
面积之比是( )
A. B. C. D.
解析：选 C. ，即 .
利用奔弛定理得 ，所以 . 故选C.
√
3.在 中，角 , , 所对的边分别为 ， ， . 若 ，角
的平分线交 于点 ， ， ，则 __.

解析：因为 ，所以 是以 为直角的直角三角形， ，由三角形内角平分线定理可得， ，设 ， ，则 ， .
在 中，由勾股定理可得 ，
解得 ，即 .
结论（八） 平面向量的重要结论
（1）等和线定理
平面内一组基底 , 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或在平行于 的直线上，则 （定值）；反之也成立. 我们把直线 以及与直线 平行的直线称为“等和线”.
（2）平面向量中的极化恒等式
或 .
几何意义：向量的数量积可以表示为以向量 , 为邻边的平行四边形的两条对角线的长的平方差的 .
1.在矩形 中， ， ，动点 在以 为圆心且与 相
切的圆上，若 ，则 的最大值为( )
A. B. C. D.
解析：选A. 如图， ，当点 在和 平行的直线
上时总有 .
由等和线定理知，当点 在和 平行且和圆 相切的直线上
时， 最大，此时 .
√
2.已知 为圆 的一条直径，点 为直线 上任意
一点，则 的最小值是___.
1
解析：如图所示，由极化恒等式易知，当 垂直于直线
时， 有最小值，即
.
结论（九） 三角形“四心”的向量形式
设 为 所在平面上一点，角 ， ， 所对的边长分别为 , , ，则：
（1） 为 的外心 ；
（2） 为 的重心 ；
（3） 为 的垂心 ；
（4） 为 的内心 .
1.已知 的内角 ， ， ， 为 所在平面上
一点，且满足 ，设 ，则 的值
为( )
A. B. C. D.
√
解析：选 A. 根据三角形“四心”的向量形式的充要条件，由 ，得点 是 的外心. 又外心是三角形三边中垂线的交点，
则有 即
又 ，所以 解得
即 ，故选A.
2.点 是 的重心，且满足 ，
则 _ _.

解析：因为点 是 的重心，所以 ，因为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，即 ，故 ，则 ， ，则由余弦定理可得 .
结论（十） 等差数列和等比数列
（1）设 为等差数列 的前 项和， 为 的公差：
①若等差数列 的项数为 ，所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和为 ，则所有项之和 ， ， ；
②若等差数列 的项数为 ，所有奇数项之和为 ，所有偶数项之和为 ，则所有项之和 ， ， ， ， ；
（2）已知等比数列 ，其公比为 ，前 项和为
①当 或 且 为奇数时， ， ， ， 仍成等比数列，其公比为 ；
② 为等比数列，若 ，则 ， ， ， 仍成等比数列.
1.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为
，则公差 ___.
5
解析：设偶数项和为 ，则奇数项和为 ，
由 可得 ，故公差 .
2.等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ，
成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ，
___，____， 成等比数列.


解析：由结论可知， ， ， ， 成等比数列.
结论（十一） 多面体的外接球和内切球
（1）长方体的体对角线长 与共点三条棱长 , , 之间的关系为 ；若长方体外接球的半径为 ，则有 .
（2）棱长为 的正四面体内切球半径 ，外接球半径 .
1.（2022· 山东烟台一模）如图，三棱锥 中， 底
面 ， ， ，则该三棱锥的内
切球和外接球的半径之比为( )
A. B. C. D.
解析：选C. 因为 底面 ， ， 底面 ，所以 ， ，又因为 ，所以 ，而 ，所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成长方体中共顶点的长、宽、高，因此该三棱锥外接球的半径 ，设该三棱
√
锥的内切球的半径为 ，因为 ，所以 ，因为 ， ， ，所以 ，由三棱锥的体积公式可得 ，所以 ，故选C.
2.已知棱长为 的正四面体的外接球表面积为 ，内切球表面积为 ，
则 ( )
A. B. C. D.
√
解析：选A. 如图所示，设点 是内切球的球心，正四面体棱
长为 ，由图形的对称性知，点 也是外接球的球心. 设内切
球半径为 ，外接球半径为R. 在 中，
，即 ，又 ，
可得 ， . 故选A.
结论（十二） 焦点三角形的面积公式
（1）在椭圆 中， ， 分别为左、右焦点， 为椭圆上一点，则 的面积 ，其中 .
（2）在双曲线 中， ， 分别为左、右焦点， 为双曲线上一点，则 的面积 ，其中
.
1.椭圆 的焦点为 ， ， 为椭圆上一点，若 ，
则 的面积是( )
A. B. C. D.
解析：选A. .
√
2.设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离
心率为 是 上一点，且 ，若 的面积为4，则
( )
A. B. C. D.
解析：选A. 由 可知 . 根据结论，得 ，则 . 又 ， ，所以 . 故选A.
√
结论（十三） 圆锥曲线的切线问题
（1）过圆 上一点 的切线方程为 .
（2）过圆锥曲线 上一点 的切线方程为 .
（3）过抛物线 上一点 的切线 的方程为 .
1.已知过圆锥曲线 上一点 的切线方程为 .
过椭圆 上的点 作椭圆的切线 ，则过 点且与直线
垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
√
解析：选B. 过椭圆 上的点 的切线 的方程为 ，即 ，切线 的斜率为1. 与直线 垂直的直线的斜率为 ，过 点且与直线 垂直的直线方程为 .
即 .
2.过双曲线 上一点 作双曲线 的切线 ，若直
线 与直线 的斜率均存在，且斜率之积为 ，则双曲线 的离心率为
( )
A. B. C. D.
解析：选C. 设 ，由于双曲线 在点 处的切线方程为 ，故切线 的斜率 . 因为 ，即 ，则 ，即双曲线 的离心率 .
√
结论（十四） 圆锥曲线的中点弦问题
若 为圆锥曲线 的弦， , ，弦中点 ，则：
（1）弦长 ；
（2）直线 的斜率 .
1.斜率为1的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，则 的最大
值为( )
A. B. C. D.
解析：选B.设 , 两点的坐标分别为 ， ，直线的方程为 ，由
√
消去 ，得 ，
由 ，得 .
因为 ， .
所以


，
因为当 时，满足 ，所以 的最大值为 ，故选B.
2.已知椭圆 ，点 为右焦点， 为上顶点，平行于
的直线 交椭圆于 ， 两点且线段 的中点为 ，则椭
圆的离心率为( )
A. B. C. D.
√
解析：选A. 设 ， ，直线 的斜率为 ，则 两式相减得 ，
所以 ，由线段 的中点为 ，所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .