2023届高考数学复习专题★★解客观题的六大技法 课件（共52张PPT）

(共52张PPT)
2023届高考数学复习专题★★
解客观题的六大技法
技法（一） 直接法——算后有底
直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定选项.其基本求解策略是由因导果，直接求解是解题中最常用的方法.
例1.（1）（2022·江苏南京调研）已知 , 为单位向量，且
，则 ， 夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析：因为 ，所以 ，则 ，又 ， 为单位向量，所以 ，
即 . 设 ， 的夹角为 ，则 ，故选B.
√
（2）（2022·四川绵阳南山中学模拟）已知等比数列 的前 项和为 ，且
， ，则 ______.
2或8
解析：设数列 的公比为 .
若 ，则 ，符合题意.
此时， ， .
若 ，则由等比数列的前 项和公式得 ，
解得 . 此时， .
所以 或 .
直接法适用范围及注意事项
（1）涉及概念、性质的辨析或简单的运算题目多采用直接法.
（2）直接法解题一定要注意概念的内涵与外延，再注意运算推理的准确性.
1.（2022·湖南长沙六校联考）若 ,则 的值为
( )
A. B. C. D.
解析：选B. 由 ，得 ，则
.
√
2.（2022·四川南充适应性考试）函数 的图象在点
处的切线方程为( )
A. B. C. D.
解析：选C. 因为 ，所以 ，切点坐标为 ，因为 ，故 ,所以函数的图象在点 处的切线方程为 ，整理得 ，故选C.
√
技法（二） 巧取特例（值）——实现秒杀
解有些选择题和填空题时，抓住特殊值、特殊点、特殊角、特殊函数、特殊数列、特殊模型、特殊位置关系等，对各选项进行检验或推理，可实现秒杀.
例2.（1）（2022·山东济南2月联考）已知数列 的前 项和为 ，则“
为递增数列”是“ 为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：秒解：（特例法）对于递增数列 ，如 ， ， ， ， ，即 不为递增数列；对于通项公式为 的递增数列 ，其对应的 为常数列 ， ， ， ， 不是递增数列. 从而选D.
√
通解：一方面，若 为递增数列，则 对任意的 都成立，但 的符号不能确定，
又 ，
所以 ， ， 均有可能，
所以不能确定 为递增数列，所以“ 为递增数列”不是“ 为递增数列”的充分条件.
另一方面，若 为递增数列，则 对任意的 ， 都成立，但 的符号不确定，又 ，
所以 的符号也不确定，
所以“ 为递增数列”不是“ 为递增数列”的必要条件. 故选D.
（2）（2022·湖北武汉2月调研）已知双曲线
与双曲线 有
相同的渐近线，若 的离心率 为2，则 的离心率 为_ ___.

解析：秒解：（特例法） 的离心率 为2，不妨设双曲线 ，则其渐近线方程为 ，同时它也是 的渐近线方程，因而
可设 ，那么 .
通解： 的渐近线方程为 ， 的渐近线方程为 ，
由已知得 ，从而 ，所以 ，
所以 ，从而 .
使用特值法应注意的问题
（1）取特值尽可能简单，有利于计算和推理；
（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.
1.已知 为 的重心, 为 边上的中线,令 , .若过
点 的直线分别交 , 于 , 两点,且 , ,则
( )
A. B. C. D.
√
解析：选A.由于题中直线 的条件是过点 ,所以该直线是一条“动”直线,
所以最后的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.
方法一：如图1, ,则 , ,此时 ,故
.故选A.
方法二：如图2,取直线 作为直线 ,显然,此时 , ,故
, ,所以 .
2.在 中，内角 , , 所对的边分别是 , , ，若
， ，则 的面积是_ ___.

解析：秒解：（特值法）当 为等边三角形时，满足题设条件，则 ， 且 .
所以 的面积 .
通解：因为 ，
所以 .①
因为 ，所以 .②
由①②得 ，即 .
所以 .
技法（三） 数形巧结合——天堑变通途
数形结合包括两方面，一是“以形助数”，根据函数图象或挖掘其几何意义，利用图象的直观性求解与数有关的问题（如函数的零点、范围问题等）；二是“以数辅形”，对平面向量、解析几何、立体几何等问题，用建系法、向量法等辅以计算，从而求解问题.
例3.（1）已知单位向量 ， ， 满足 ，则 与 的夹角为
( )
A. B. C. D.
√
解析：秒解：根据题意，可将单位向量 , , 放入等边三角形
设 ， ， ，如图，则向量 , 的夹角为 ，故选C.
通解：由 ，得 ，所以 ，两边同时平方，得 ，即 ，所以 ，又 ，所以 ，故选C.
中，
（2）（2022·高考浙江卷改编）已知函数 若当
时， ，则 的最大值是_______.

解析：秒解：作出函数 的图象，如图所示，结合图象，
令 ，解得 ；令 ，解得
，又 ，所以 ，所以 .
通解：当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
综上，由 得 ，所以 ,
所以 的最大值为 .
图解法实质上就是数形结合的思想方法，在解决问题的过程中，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点. 准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.
1.（2022·陕西西安五校高三联考）已知集合 ，
，则集合 的元素个数为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.秒解：分别作出 ， 的图
象如图所示，观察图象可知，集合 的元素个数为1.
通解：由 得 ，解得
，又 ，即 ，
所以 ，故集合 的元素个数为1. 故选B.
2.（2022·陕西西安工业大学附属中学第七次模拟）已知圆
，点 ，从坐标原点 向圆 引两条
切线，切点分别为 ， ，若切线 ， 的斜率分别为 ， ，且
，则 的取值范围为______.

解析：秒解：由题知切线 , 互相垂直，连接 ， ，
则四边形 为正方形，如图所示.
连接 ，由于圆 的半径 ，所以
，
所以点 在以原点为圆心、4为半径的圆上，易知 到原点 的距离为5，因而由数形结合知， .
通解：由已知得 ，因为原点 在圆 外，所以 .
由题意知，过原点 的圆的切线的斜率存在，设其方程为 ，则 ，即 ，则 ，所以 .
所以点 在以原点为圆心、4为半径的圆上，易知 到原点 的距离为5，因而由数形结合知， .
技法（四） 排除法（筛选法）——无中生有
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论.
例4.（1）函数 在 的图象大致为( )
A.&1& B.&2&
C.&3& D.&4&
√
解析：令 ,则 ,所以 , 是偶函数,排除D；当 时， ,所以 ,排除C；当 时， ,排除A.故选B.
（2）已知实数 ， 满足 ，则下列关系式恒成立的是
( )
A. B.
C. D.
√
解析：因为 ， ，所以 . 当 ， 时， , ,A不成立；当 ， 时， ,
， ，B不成立；当 ， 时， ，C不成立；因为函数 在 上是增函数，所以 恒成立. 故选D.
排除法解题策略
（1）逻辑排除：通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定.
（2）逐一验证：将选项逐一代入条件验证排除.
1.方程 至少有一个负根的充要条件是( )
A. B.
C. D. 或
解析：选C.当 时， ,故排除A，D.当 时， ,排除B.故选C.
√
2.设 若 ,则 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.取 ,则 ,故 ，排除B,D；取 ,则 ,故 ,排除A.故选C.
√
技法（五） 构造法——蹊径可现
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助新的构造求解问题，常见的有构造函数、构造方程、构造图形等.
例5.（1）已知 , ,且 ,则( )
A. B.
C. D. , 的大小关系不确定
√
解析：由不等式可得 ,
即 .
设 ,
则 .
因为 ,所以 ,
故函数 在 上单调递增.
因为 ,所以 .故选A.
（2）如图,已知点 , , , 在球 的球面上, 平面 ,
, ,则球 的体积为_____.

解析：如图,以 , , 为棱长构造正方体,设正方体的外接球球 的半
径为 ,则正方体的体对角线长即为球 的直径,所以
,所以 ,故球 的体积
.
构造法的解题策略
（1）认真阅读题设条件；
（2）联想、类比已学知识；
（3）构造一个数学模型来解决问题.
如（1）题构造函数，而（2）题巧妙地构造出正方体，问题都很容易地解决了.
1.若 ， ，则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选C. 易知函数 是其定义域上的增函数，所以当 时， ，即 ，反之也成立. 所以
“ ”是“ ”的充要条件，故选C.
√
2.在数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
____________.

解析：由 ，可得 ，
又 ，所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
技法（六） 极端值法——特殊到一般
选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，因此是一种较高层次的思维方法.从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程.
例6 若 对 恒成立，则实数 的
取值范围为_ _______.

解析：设 .
秒解：（端点效应法）由题意知 ,
解得 ,
当 时，要使 ，只有 ，
即 ,所以 .
通解：（分类讨论法） .
（1）当 时，当 时， ，不合题意.
（2）当 时， ，故当 时，恒有 ，
单调递减，
所以 ，解得 ，
所以 .
端点效应法的使用条件
此法适用于不易直接求解的选择题. 当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直接得到正确的选项.
1.若 , , ,则( )
A. B. C. D.
解析：选 A.若 ,则 .若 ,则 ,此时 ,结合选项分析，应选A.
√
2.如图，在棱柱的侧棱 和 上各有一动点 ， ，满
足 ,过 ， ， 三点的截面把棱柱分成两部分，则
上、下两部分的体积之比为( )
A. B. C. D.
解析：选B. 将 ， 置于特殊位置： , ,此时仍满足条件
,则有 ,故过 ， , 三点的截面把棱柱分成上、下两部分的体积之比为 .
√