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贵阳市2022-2023学年度下学期九年级期中检测数学卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．的相反数为（ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
【详解】解：的相反数为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．
2．一个由5个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图的概念求解可得．
【详解】解：该几何体的主视图如下：
故选C．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题时注意：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形
3．国家卫健委每日都会公布全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗剂次．至2021年12月15日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗26.4亿剂次．其中26.4亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1≤＜10，n为正整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】26.4亿＝2640000000＝2.64109
故选D
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a10n，其中1≤＜10，n可以用整数位数减去1来确定，用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4．下列说法正确的是（ ）
A．“山川异域，风月同天”是随机事件
B．买中奖率为的奖券张，一定会中奖
C．“同旁内角互补”是必然事件
D．一枚硬币连抛次，可能次正面朝上
【答案】D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念结合选项可得答案．
【详解】解：A. “山川异域，风月同天”是必然事件，故此选项不符题意；
B. 买中奖率为的奖券张，可能会中奖，也可能不中奖，故此选项不符题意；
C. “两直线平行，同旁内角互补”是必然事件，故此选项不符题意；
D. 一枚硬币连抛次，可能次正面朝上，正确
故选：D
【点睛】此题考查的知识点是随机事件，解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．
5．如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60
【答案】D
【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，然后根据三角形内角和为即可求出∠BAC的度数.
【详解】如图
由题意可知
∵BD//CE∴∠CBD+∠BCE=(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠ABC+∠ACB=∠CBD+∠BCE
∵∠ABC+∠ACB=-∠BAC(三角形内角和)
∴∠BAC，
故选D
【点睛】本题考查了方位角及三角形的内角和定理，正确理解方位角的含义是解题的关键.
6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意图2中，红色的有三根，黑色的有六根可得答案．
【详解】解：由题知， 图2红色的有三根，黑色的有六根，故图2表示的算式是（+3）+ (-6) ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正负数的含义，解题的关键是理解正负数的含义．
7．数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”分别判断出各选项的解集，同时还需要注意在数轴上表示解集时：有等于号取实心，无等于号取空心.
【详解】A：大大小小无解，与图像不符，故选项A错误；
B：大小小大取中间，与图像一致，故选项B正确；
C：大小小大取中间，但是-2处应该是实心，3处应该是空心，与图像不符，故选项C错误；
D：大大小小无解，与图像不符，故选项D错误；
故答案选择B.
【点睛】本题考查的是将不等式组的解集表示在数轴上，注意在数轴上表示解集时：有等于号取实心，无等于号取空心.
8．据统计，观山湖区4月4日至10日每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．众数是 B．中位数是
C．平均数约是 D．8日至9日最高气温下降幅度最大
【答案】D
【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、7个数据中出现次数最多的为20，所以众数为20℃，正确，不符合题意；
B、7个数排序后为16，20，20，21，22，23，24，位于中间位置的数为21，所以中位数为21℃，正确，不符合题意；
C、平均数为℃，正确，不符合题意；
D、观察统计图知：4日至5日最高气温下降幅度较大，符合题意，
故选：D．
【点睛】考查了数据的分析，解题的关键是了解如何确定一组数据的中位数、众数及平均数，难度不大．
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点E，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣8 B．8π﹣8 C．8π﹣16 D．16π﹣16
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC交于点D，根据图形和等腰三角形的性质，可以得到∠B、∠C的度数，AD和BD的长，再根图形可知阴影部分的面积=，然后代入数据计算即可．
【详解】过点A作AD⊥BC交于点D，如图所示，
∵∠BAC=90°，AB=AC=，
∴点D为BC中点，，∠B=∠C=45°，
∴AD=BD=4，
∴= = ，
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出∠B的度数，熟知扇形面积公式．
10．已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小．
【详解】解：∵，
∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限，
如图所示：
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小．
11．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，
，
，
，，
，
阴影部分的面积
．
故选：．
【点睛】本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积．
12．如图，点P是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，先求出，然后根据∠APB=90°，得到点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，则当D、P、G三点共线时，DP有最小值，由此求解即可．
【详解】解：取AB中点G，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，则BG=2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠APB=90°，
∴点P在以G为圆心，AB为直径的圆上运动，
∴当D、P、G三点共线时，DP有最小值，
在Rt△BDG中，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆外一点到圆上一点的最值问题，确定当D、P、G三点共线时，DP有最小值是解题的关键．
填空题：每小题4分，共16分.
13．分解因式：a4－1=______________
【答案】（a2＋1）（a＋1）（a－1）
【详解】略
14．从﹣4、﹣3、﹣1、﹣、0、1这6个数中随机抽取一个数a，则关于x的分式方程+的解为整数，且二次函数y＝ax2+3x﹣1的图象顶点在第一象限的概率是____．
【答案】.
【分析】先把分式方程化简，再把对应的值带入结合二次函数的图象计算.
【详解】解：对于分式方程+
去分母：（a+2）x＝3，
所以x＝，
当a＝﹣3、﹣1、1时，x为整数，
因为x≠2，即≠2，解得a≠﹣，
二次函数y＝ax2+3x﹣1的图象顶点坐标为（﹣，），则﹣＞0且＞0，解得﹣＜a＜0，则a＝﹣1，
所以满足条件的a的值为﹣1，
所以随机抽取一个数a，满足条件的概率＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了分式方程的解、二次函数的性质．.
15．如图，二次函数的图象经过点，．有下列结论：①图象的对称轴为直线：；②；③若，则；④一元二次方程的两个根分别为-1和，其中正确的结论有_______（填序号）．
【答案】①②④
【分析】由点、的坐标得到二次函数图象的对称轴，即可判断①；利用交点式写出抛物线解析式为，则可对②进行判断；配成顶点式得，计算时，，则根据二次函数的性质可对③进行判断；由于，，则方程化为，然后解方程可对④进行判断．
【详解】解：由点、的坐标知，二次函数图象的对称轴是直线，故①正确；
二次函数的图象经过点，点，
抛物线解析式为，即，
，，
，故②正确；
当时，，，
当时，则，所以③错误；
，，
方程化为，
整理得，解得，，所以④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质的关系，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE=BF，则BG的最小值为 ___________．
【答案】##
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF
∴△DEA≌△AFB，
∵∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，
∴ ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°，
取AD的中点O，则有，
∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
在Rt△AOB中，∠OAB=90°
∴OB
∵
∴当且仅当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,17-21每题10分，22-25每题12分.
17．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于且小于0，k为整数，求k的值.
【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）根据根的判别式可以得出答案；
（2）先由求根公式得出，再结合题意列不等式算出答案.
【详解】（1）证明：依题意，得
.
∵.
∴此方程总有两个实数根.
（2）解：解方程得，
∴方程的两个根为.
由题意可知，，即.
∵为整数，
∴.
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别和求根公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的判别和求根公式.
18．为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级 人数 百分比
A 17 18.9%
B 38 42.2%
C 28 31.1%
D 7 7.8%
合计 90 100%
若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约 人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
【答案】（1）二，922；（2）见解析
【分析】（1）根据样本要具有代表性可知第二小组的调查结果比较合理；用这个结果估计总体，1000人的（1-7.8%）就是“合格及以上”的人数；
（2）从抽样的代表性、普遍性和可操作性方面提出意见和建议．
【详解】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；
1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），
故答案为：二，922；
（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；
对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．
【点睛】本题考查样本估计总体，样本的抽取要具有代表性和普遍性，才能够准确地反映总体．
19．如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)120
【分析】（1）先证△ABE≌△CBF（AAS），即有AB＝CB，则有平行四边形ABCD是菱形；
（2）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质有AC⊥BD，BO＝BD＝5，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12，则菱形的面积可求．
（1）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵邻边AD，CD上的高相等，
∴BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）
解：连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝BD＝5，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO＝＝12
∴AC＝2AO＝24，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC×BD＝120．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
20．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天、180天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元
【分析】（1）首先表示出甲、乙两队需要的天数，进而利用由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成得出等式求出答案；
（2）首先求出两队合作需要的天数，进而求出答案．
【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．
根据题意，得，解得：x=180．
经检验，x=180是原方程的根，
∴=×180=120，
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需120天和180天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有，
解得 y=72．
需要施工费用：72×（8.6+5.4）=1008（万元）．
∵1008＞1000，
∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算8万元．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
21．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
(1)求此时小区楼房的高度；
(2)在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
【答案】(1)此时小区楼房的高度为米
(2)经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
【分析】（1）过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，可知四边形为矩形，再根据平行线的性质可证，可得，设米，则根据题意列方程即可求解；
（2）当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，先利用特殊角的三角函数值求出的度数，接着求出的度数，再通过三角函数求得和，进而得到的值，最后除以无人机的速度即可．
【详解】（1）如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
（2）如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由（1）知，米，
∴（米），
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为（秒），
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、三角函数的问题、矩形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
22．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足分别Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．
（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
（2）当点D的纵坐标为9时，求：点E的坐标．
【答案】（1）y=;（2）E（，1）
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）把y=9代入反比例函数的解析式即可求得A的坐标，把A点的横坐标代入正比例函数的解析式即可求得E的坐标．
【详解】（1）设正比例函数解析式为y=mx，反比例函数解析式y=（m≠0，k≠0），
把P（2，3）代入y=mx得3=2m，解得m=，
∴正比例函数解析式为y=x，
把P（2，3）代入y=得，3=，解得k=6，
∴反比例函数解析式为y=；
（2）把y=9代入y=，得9=，解得x=，
∴A（，9），
把x=代入y=x，得y=×=1，
∴E（，1）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法和二者的性质是解题的关键.
23．如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，，以O为圆心，OC 为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求的值．
（3）若⊙O的半径为4，求的值．
【答案】(1)见解析;(2) ;(3) .
【详解】分析：（1）作垂直，证半径，先根据AAS证明△OGA≌△OCA，可得OC=OG，可知OG为为⊙O的半径，可得结论；（2）设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，根据等角的三角函数可得tan∠CAO=tan∠GAO=；（3）先根据勾股定理求得AO=，则求得AD=OA-OD=．证明△DFA∽△CDA，列比例式DA：AC=AF：AD，代入可得AF的长，代入可得结论．
详解：（1）证明：作OG⊥AB于点G．
∵∠ACB=∠OGA=90°，∠GAO=∠CAO，AO=AO，
∴△OGA≌△OCA，
∴OC=OG，
∵OC为⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：设AC=4x，BC=3x，则AB=5x，
由切线长定理知，AC=AG=4x，故BG=x．
∵tan∠B=OG：BG=AC：BC=4：3，
∴OG=，
∴tan∠CAO=tan∠GAO===；
（3）解：由（2）可知 在Rt△OCA中，AO=
∴AD=OA﹣OD=
连接CD，则∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF，
∴∠DCF=∠CEF，
又∠CEF=∠EDO=∠FDA，
∴∠DCF=∠ADF，又∠FAD=∠DAC，
∴△DFA∽△CDA，
∴DA：AC=AF：AD，
即：12=AF：
∴AF=，CF=12-=
∴
点睛：本题考查了切线的判定、三角形相似、全等三角形性质和判定、三角函数、勾股定理等知识，根据已知的线段比设未知数，列方程解决问题，是几何中常用的方法，要熟练掌握.
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），顶点坐标为，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在直线上，抛物线上存在点，使得点是的外心．
直接写出的取值范围；
已知点在轴的负半轴上，且，点在直线上，当取得最小值时，求周长的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②11
【分析】（1）根据顶点在轴上，设抛物线解析式是：，根据对称性求出点的坐标，将其代入求得结果；
（2）①确定点在的垂直平分线上，从而确定点的坐标，进而根据，从而确定点在以为圆心，为半径的圆上，进一步求得结果；
②先求出的函数关系式，从而求得点的坐标，设点的坐标，从而得出，进而得出的取最小值的条件，进一步求得结果．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵与y轴交于点，
可设的解析式是：，
，
，
抛物线的解析式是：；
（2）解：①如图，
外心在的垂直平分线与抛物线的交点，
点到点的距离等于点点到点的距离，，
即点在以为圆心，为半径的圆上，
当时，，
，
，
；
②如图，
作于，作直线，作垂直于，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
直线的关系式是：，
当时，，
，
，
设点，则点P到直线的距离为，
，
∴的长等于点到直线的距离，
即，
，
当、、共线时，最小，
的周长最小值是：
【点睛】本题考查了三角形外心确定方法，求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，求一次函数的关系式，勾股定理等知识，解决问题的关键是将线段进行转化为点到直线的距离．
25．【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
【答案】【问题提出】证明见解析；【类比探究】（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．
【问题提出】根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．
（1）先画出图形证明△DEB≌△EFA，方法类似于【问题提出】；
（2）画出图形根据图形直接写出结论即可．
【详解】证明：DE=CE=CF，△BCE
由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，
∵∠DBE=120°，
∴∠EAF=∠DBE，
又∵A，E，C，F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACF，
又∵ED=DC，
∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，
∴∠D=∠AEF，
∴△EDB≌FEA，
∴BD=AF，AB=AE+BF，
∴AB=BD+AF．
类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=CE，
∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，
∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，
∴∠FCG=∠FEA，
又∠FCG=∠EAD
∠D=∠EAD，
∴∠D=∠FEA，
由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，
∴∠DBE=∠FAE=60°
∴△DEB≌△EFA，
∴BD=AE，EB=AF，
∴BD=FA+AB．
即AB=BD-AF．
（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）
如图③，
ED=EC=CF，
∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF=EC，
又∵ED=EC，
∴ED=EF，
∵AB=AC，BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
又∵∠CBE=∠CAF，
∴∠CAF=60°，
∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC
=180°-60°-60°
=60°
∴∠DBE=∠EAF,
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，
又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，
∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，
∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，
∴∠BDE=∠AEF，
在△EDB和△FEA中，
∴△EDB≌△FEA（AAS），
∴BD=AE，EB=AF，
∵BE=AB+AE，
∴AF=AB+BD，
即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．
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贵阳市2022-2023学年度下学期九年级期中检测数学卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分.
1．的相反数为（ ）
A．0 B． C．2 D．1
2．一个由5个相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则从正面看到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
3．国家卫健委每日都会公布全国31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗剂次．至2021年12月15日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗26.4亿剂次．其中26.4亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．“山川异域，风月同天”是随机事件
B．买中奖率为的奖券张，一定会中奖
C．“同旁内角互补”是必然事件
D．一枚硬币连抛次，可能次正面朝上
5．如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60
6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（红色为正，黑色为负）．如图1表示的是（+2）+（-2），根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是（ ）
A． B．
C． D．
7．数轴上表示的是某不等式组的解集，那么这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
8．据统计，观山湖区4月4日至10日每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．众数是 B．中位数是
C．平均数约是 D．8日至9日最高气温下降幅度最大
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点E，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π﹣8 B．8π﹣8 C．8π﹣16 D．16π﹣16
10．已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，点P是正六边形内一点，，当时，连接，则线段的最小值是（ ）
A． B． C．6 D．
填空题：每小题4分，共16分.
13．分解因式：a4－1=______________
14．从﹣4、﹣3、﹣1、﹣、0、1这6个数中随机抽取一个数a，则关于x的分式方程+的解为整数，且二次函数y＝ax2+3x﹣1的图象顶点在第一象限的概率是____．
15．如图，二次函数的图象经过点，．有下列结论：①图象的对称轴为直线：；②；③若，则；④一元二次方程的两个根分别为-1和，其中正确的结论有_______（填序号）．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE=BF，则BG的最小值为 ___________．
【答案】##
三、解答题：本大题9小题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,17-21每题10分，22-25每题12分.
17．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个根大于且小于0，k为整数，求k的值.
18．为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．
第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表．
两个小组的调查结果如图的图表所示：
第二小组统计表
等级 人数 百分比
A 17 18.9%
B 38 42.2%
C 28 31.1%
D 7 7.8%
合计 90 100%
若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：
（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约 人；
（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．
19．如图所示，在平行四边形中，邻边上的高相等，即．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求平行四边形的面积．
20．一件工程，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 60天完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为 8.6 万元，乙队每天的施工费用为 5.4 万元，工程预算的施工费用为 1000 万元，若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？
21．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为．已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米．（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：，．计算结果保留根号）
(1)求此时小区楼房的高度；
(2)在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
22．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足分别Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．
（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．
（2）当点D的纵坐标为9时，求：点E的坐标．
23．如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB=90°，，以O为圆心，OC 为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求的值．
（3）若⊙O的半径为4，求的值．
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），顶点坐标为，点是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在直线上，抛物线上存在点，使得点是的外心．
直接写出的取值范围；
已知点在轴的负半轴上，且，点在直线上，当取得最小值时，求周长的最小值．
25．【问题提出】
如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF
试证明：AB=DB+AF
【类比探究】
（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由
（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．
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