高中数学解析几何二轮培优微专题20讲 解析几何中的设点技巧 讲义

解析几何中的设点法与应用
1．两点式方程
若，是直线上两定点，则过这两点的直线方程为：.
为使其更具有一般性，若将其化简为①.
①式的特征是右端出现了这两点的交叉轮换式，即二阶行列式，若①式表示过定点的直线，则只需证明恒成立即可.
这样的话，在处理斜率问题时的关键就是构造出上述的轮换关系，单纯的斜率定义：不重合的两点，则是难以直接构造的，所以我们需要利用斜率的点差法来构造，下面通过例子予以说明.
2.如何利用点差法构造轮换式
例1.（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
解析：（1）设，由点都在双曲线上，得
，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，
由得. ②
由得. ③
由②-③，得，从而，即的斜率为.
例2.（2020山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．
解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.
（2）设，依题意知，
因为，所以，
整理得
同理得
相减可得即直线恒过定点.
又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．
3．一般性推广
设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
（1）若，则有，
（2）若，则直线过定点，
（3）若，则有，
（4）若，则直线过定点.
证明：此处用点代法证明结论（3），其余的类似证明，请读者自行尝试.
已知椭圆在第一象限内有一点，过点作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆于另一点，则有.
解析 设，其中.
所以
依题意得，所以，
从而
同理，有
两式相减，得所以，证毕.