第三讲 导数单调性
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1．已知函数,求的单调区间.
2.已知函数.当时,讨论的单调性.
3.已知函数．若,函数在上是单调函数,求的取值范围．
课中讲解
会判断不含参函数单调性LV.3
函数的单调性：在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内容单调递增；如果,那么函数在这个区间内单调递减。如果,那么函数在这个区间上是常数函数。
注：函数在内单调递增,则,且不恒等于零。是在内单调递增的充分不必要条件。
例1：
求函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
例2：
求函数的单调区间.
例3：
求函数的单调区间.
例4：
求函数的单调区间.
例5：
已知函数.判断在上的单调性,并说明理由;
例6：
求函数单调区间
过关检测（10mins）
1.已知函数,求函数的单调区间;
会判断不含参函数单调性LV.3
例1：
设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为 ( )
例2：
已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则的图象大致是 ( )
过关检测（5mins）
1.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ( )
A． B．
C． D．
2.函数已知定义在上的函数如图,则的解集为
A.
B.
C.
D.
二.会讨论含参一次型函数单调性LV.4
例1:
已知函数,（其中常数）,求函数的定义域及单调区间;
例2:
已知函数,,,求的单调区间.
例3：
已知函数(),求的单调区间.
例4：
设函数．求函数的单调区间.
过关检测（10mins）
1.已知函数求的单调区间.
2.设函数,讨论函数的单调性；
三.会讨论含参二次型函数单调性LV.4
例1:
已知函数,.求函数的单调区间.
例2：
已知函数（）,求的单调区间。
例3：
设函数.时,试求函数的单调区间.
例4：
已知函数．讨论的单调性；
例5：
求的单调性.
例6：
已知函数.当时,判断在上的单调性,并说明理由.
例7：
已知函数,．当时,求证：函数在上单调递减.
过关检测（10mins）
1.求函数,的单调区间
2.（理）已知函数．求函数的单调区间
四.给单调性会求参数取值范围LV.4
例1：
已知函数.若在上是增函数,求实数的取值范围.
例2：
（理）已知函数．若在单调递增,求范围.
例3：
已知函数.若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围．
例4：
已知函数.若函数在定义域内不单调,求的取值范围.
例5：
设函数,若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围
过关检测（10mins）
1.已知函数．若函数在定义域内是单调函数,求的取值范围;
2.已知函数.当时,若在区间上不单调,求的取值范围.
3.设函数,若函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.
课后练习
补救练习（10mins）
1.已知函数.求函数的单调区间;
巩固练习（30mins）
1.已知,若,求的单调区间.
2.已知函数.求函数的单调区间;
3.已知函数.当时,试求的单调区间;
4.已知函数.若在上为单调递减,求的取值范围;
5.已知函数如果函数在上单调递减,求的取值范围;
拔高练习（30mins）
1.设函数.当时,试求函数的单调区间.
2.已知函数.求函数在区间上的单调性
3.已知函数,,其中．若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围．
4.设函数,.若,求证：是函数在时单调递增的充分不必要条件.第三讲 导数单调性
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）
1．已知函数,求的单调区间.
【答案】的单增区间为,单减区间为
【解析】的定义域为,
令,解得
令,解得
所以,的单增区间为,单减区间为
2.已知函数.当时,讨论的单调性.
【答案】当时,函数在上单调递减,在上单调递增；
当时,函数在上单调递减,在上单调递增；
在上单调递减.
【解析】因为,
所以,.
令,,
①当时,,，
当时,,此时,函数单调递减；
当时,,此时,函数单调递增.
②当时,由即解得,.
此时,
所以当时,,此时,函数单调递减；
时,,此时,函数单调递增；
时,,函数单调递减.
综上所述：
当时,函数在上单调递减,在上单调递增；
当时,函数在上单调递减,在上单调递增；
在上单调递减.
3.已知函数．若,函数在上是单调函数,求的取值范围．
【答案】
【解析】函数的定义域是,
所以,
要使在上是单调函数,只要或在上恒成立．
当时,恒成立,所以在上是单调函数；
当时,令,得,,
此时在上不是单调函数；
当时,要使在上是单调函数,只要,即
课中讲解
会判断不含参函数单调性LV.3
函数的单调性：在某个区间内,如果,那么函数在这个区间内容单调递增；如果,那么函数在这个区间内单调递减。如果,那么函数在这个区间上是常数函数。
注：函数在内单调递增,则,且不恒等于零。是在内单调递增的充分不必要条件。
例1：
求函数在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。
【答案】函数在区间内是增函数；在区间内是减函数.
【解析】
令
解此不等式,得
因此,函数在区间内是增函数.
令.
解此不等式,得
因此,函数在区间内是减函数.
例2：
求函数的单调区间.
【答案】的单调递增区间为,；单调递减区间为.
【解析】
令
解此不等式,得或.
因此,的单调递增区间为和.
令
解此不等式,得.
因此,的单调递减区间为.
例3：
求函数的单调区间.
【答案】的单调递增区间为，的单调递增区间为
【解析】
令
解此不等式，得.
因此，的单调递增区间为.
令
解此不等式，得.
因此，的单调递减区间为.
例4：
求函数的单调区间.
【答案】的单调递增区间为，单调递减区间为
【解析】
令
解此不等式,得.
因此,的单调递增区间为.
令
解此不等式,得.
因此,的单调递减区间为.
例5：
已知函数.判断在上的单调性,并说明理由;
【答案】在区间单调递增.
【解析】因为,
所以
因为,所以.
所以.
所以在区间单调递增.
例6：
求函数单调区间
【答案】单调递减区间为，单调递增区间为
【解析】，
令，
恒成立，即恒单调递增，即恒单调递增
只有一个零点，且
当时，，则的单调递增区间为
当时，，则的单调递增区间为
例7：
求函数的单调区间.
【答案】函数在上单调递增.
【解析】,,令,
令,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
,
恒成立,即恒成立,
函数在上单调递增.
过关检测（10mins）
1.已知函数,求函数的单调区间;
【答案】的增区间为,减区间为。
【解析】,定义域为
,令得
极小值
的增区间为,减区间为
会判断不含参函数单调性LV.3
例1：
设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为 ( )
【答案】D
例2：
已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数)，则的图象大致是 ( )
【答案】C
过关检测（5mins）
1.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
2.函数已知定义在上的函数如图,则的解集为
A.
B.
C.
D.
【答案】
二.会讨论含参一次型函数单调性LV.4
例1:
已知函数,（其中常数）,求函数的定义域及单调区间;
【答案】函数的定义域为．
的单调递增区间为,单调递减区间为,．
【解析】函数的定义域为．
.
由,解得.
由,解得且．
∴的单调递增区间为,单调递减区间为,．
例2:
已知函数,,,求的单调区间.
【答案】当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.
【解析】.
因为,所以.
由得.
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
当时,,,的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
综上所述,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递增;
当时,以的单调递增区间是,单调递减区间是.
例3：
已知函数(),求的单调区间.
【答案】函数的单调递增区间为,单调递减区间为
【解析】由已知得,.
（ⅰ）当时,恒成立,则函数在为增函数;
（ⅱ）当时,由,得;由,得;
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
例4：
设函数．求函数的单调区间.
【答案】当时,的单调递增区间为
当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为
【解析】
①若,则在区间上,单调递增.所以当时,的单调递增区间为
②若,令,即,解得,
因为函数在区间是递增函数,
所以在区间内,单调递减;在区间内,单调递增.
所以当时,的单调递减区间为,的单调递增区间为.
过关检测（10mins）
1.已知函数求的单调区间.
【答案】当时,所以在上是减函数.
当时,当时,,在上是减函数；
【解析】因为函数的定义域是,且,
当时,,
所以在上是减函数.
当时,令,
所以当时,,在上是减函数；
2.设函数,讨论函数的单调性；
【答案】当时,函数在上单调递减；
当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
【解析】.
①当时,因为,所以,,
所以,函数在上单调递减.
②当时,
若,则,,函数在上单调递减；
若,则,,函数在上单调递增.
综上所述,当时,函数在上单调递减；
当时,函数在上单调递减,在上单调递增.
三.会讨论含参二次型函数单调性LV.4
例1:
已知函数,.求函数的单调区间.
【答案】当时,的单调递减区间为;单调递增区间为;
当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递减区间为;单调递增区间为
【解析】函数的定义域为..
当时,令,解得:或,为减函数;
令,解得:,为增函数.
当时,恒成立,函数为减函数;
当时,令,解得:或,函数为减函数;
令,解得:,函数为增函数.
综上,当时,的单调递减区间为;单调递增区间为;
当时,的单调递减区间为;
当时,的单调递减区间为;单调递增区间为.
例2：
已知函数（）,求的单调区间。
【答案】当时,的单调递增区间是,单调递减区间是
当时,的单调递增区间是和,单调递减区间是
当时,的单调递增区间是
当时,的单调递增区间是和,单调递减区间是
【解析】,
当时,,所以,在区间上,；在区间上,
故的单调递增区间是,单调递减区间是
当时,由,得,
所以,在区间和上,；,在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是。
当时,,故的单调递增区间是
当时,由,得,
所以,在区间和上,；在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.
例3：
设函数.时,试求函数的单调区间.
【答案】当时,函数在区间上单调递减；
当时,函数在区间上单调递增；
当时,函数在区间上单调递增；在
上单调递减,单调递增.
【解析】.
当时,因为,所以函数在区间上单调递减；…7分
当时,⑴当时,即时,,所以函数在区间上单调递增；
⑵当时,即时,由解得,
,或.
由解得；
所以当时,函数在区间上单调递增；在
上单调递减,单调递增.
例4：
已知函数．讨论的单调性；
【答案】当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
【解析】（1）由于
故
当时，，．从而恒成立．
在上单调递减
当时，令，从而，得．
单调减 极小值 单调增
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
例5：
求的单调性.
【答案】当时, 在上单调递减,在上单调递增.
当,函数在上单调递减,在上单调递增.
【解析】函数的定义域为,由已知得.
①当时,
，,单调递增，
，,单调递减
②当,令,
时,，单调递增
时,，单调递减
所以当时, 在上单调递减,在上单调递增.
当,函数在上单调递减,在上单调递增.
例6：
已知函数.当时,判断在上的单调性,并说明理由.
【答案】当时,在区间单调递增.
【解析】因为,
所以
因为,所以.
所以.
所以当时,,
所以在区间单调递增.
例7：
已知函数,．当时,求证：函数在上单调递减.
【答案】函数在上单调递减.
【解析】由题意可知.
设,则．注意到,．
由,即,解得．
由,即,解得．
所以在单调递减,单调递增．
所以当,,所以在单调递减,
当,,所以在单调递减,
所以当时,函数在上单调递减.
过关检测（10mins）
1.求函数,的单调区间
【答案】,单调递增；
当时,在上是单调减,在是单调增。
【解析】
当时,,单调递增；
当时,在上是单调减,在是单调增.
2.（理）已知函数．求函数的单调区间
【答案】当时,可知的单调减区间是,增区间是(-1,0)和；
当时,的单调减区间是,增区间是和；
当时,,可知函数在上单增。
【解析】函数的定义域为令,得
解得：
当时,列表：
(-1,0)
极大值 极小值
可知的单调减区间是,增区间是(-1,0)和；
当时,列表：
极大值 极小值
可知的单调减区间是,增区间是和；
当时,,可知函数在上单增.
四.给单调性会求参数取值范围LV.4
例1：
已知函数.若在上是增函数,求实数的取值范围.
【答案】的取值范围是.
【解析】由已知,得.
因为函数在上是增函数,
所以恒成立,即不等式恒成立.
整理得.
令
的变化情况如下表：
+
极小值
由此得即的取值范围是.
例2：
（理）已知函数．若在单调递增,求范围.
【答案】
【解析】
（1）当时,,当时,,当时,,
单调增区间为,单调减区间为
当时,令,得或
（2）当时,,
当时,,当时,,当时,,
单调增区间为,,单调减区间为
（3）当时,,当时, ,当时, ,当时, ,的单调增区间是 ,单调减区间是
综上：当时,单调增区间为,单调减区间为
当时,单调增区间为,,单调减区间为
当时,f(x)的单调增区间是,单调减区间是
所以当时,在单调递增,满足条件；
当时,单调增区间为与在单调递增不符
综上：
例3：
已知函数.若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围．
【答案】实数的取值范围
【解析】.
令,得.
由于,,的变化情况如下表：
+ 0 — 0 +
极大值 极小值
所以函数的单调递增区间是和.
要使在区间上单调递增,
应有≤或≥,
解得≤或≥．
又且,
所以≤．
即实数的取值范围．
例4：
已知函数.若函数在定义域内不单调,求的取值范围.
【答案】取值范围为
【解析】
设函数在定义域内不单调时,的取值范围是集合
函数在定义域内单调时,的取值范围是集合,则
所以函数在定义域内单调,等价于恒成立,或恒成立
即恒成立,或恒成立
等价于恒成立或恒成立
令,则
由得,所以在上单调递增
由得,所以在上单调递减
因为,,且时,，时,
所以
所以
所以
例5：
设函数,若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围
【答案】实数的取值范围是.
【解析】
设,
依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.
注意到抛物线开口向上,所以只要,或即可
由，即，得
由,即,得,
所以,
所以实数的取值范围是.
过关检测（10mins）
1.已知函数．若函数在定义域内是单调函数,求的取值范围;
【答案】．
【解析】①当时,,
所以在上单调递减,符合题意．
②当时, 设,该抛物线开口向上,且,过点,所以该抛物线与轴相交,交点位于原点两侧,不单调,不符合题意,舍去．
综上．
2.已知函数.当时,若在区间上不单调,求的取值范围.
【答案】.
【解析】
,解得，
因函数在区间上不单调,
极大值 极小值
所以区间上存在极值点,
所以，或
即，或
所以，或
.
3.设函数,若函数在上存在单调递增区间,求的取值范围.
【答案】
【解析】
对称轴为,又,则当时,单调递减
则
令即,解得.
课后练习
补救练习（10mins）
1.已知函数.求函数的单调区间;
【答案】当时,的单调递减区间是,没有单调递增区间.
当时,的单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,的单调递增区间是,单调递减区间是
【解析】函数的定义域为,
.
由得或.
当时,在上恒成立,所以的单调递减区间是,没有单调递增区间.
当时,,,的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,,,的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以的单调递增区间是,单调递减区间是.
巩固练习（30mins）
1.已知,若,求的单调区间.
【答案】函数的单调递减区间为；函数单调递增区间为
【解析】函数定义域为
因为,所以
当时,,函数的单调递减区间为；
当时,,函数单调递增区间为
2.已知函数.求函数的单调区间;
【答案】当时,函数的单调减区间为,,
单调增区间为,.
当时,函数的单调减区间为,.
当时,函数的单调减区间为,,,
函数的单调增区间为.
【解析】函数的定义域为,.
当时,由,且此时,可得.
令,解得或,函数为减函数;
令,解得,但,
所以当,时,函数也为增函数.
所以函数的单调减区间为,,
单调增区间为,.
当时,函数的单调减区间为,.
当时,函数的单调减区间为,.
当时,由,所以函数的单调减区间为,.
即当时,函数的单调减区间为,.
当时,此时.
令,解得或,但,所以当,,时,函数为减函数;
令,解得,函数为增函数.
所以函数的单调减区间为,,,
函数的单调增区间为.
3.已知函数.当时,试求的单调区间;
【答案】单调增区间为,单调减区间为.
【解析】.
当时,对于,恒成立,
所以; .
所以单调增区间为,单调减区间为.
4.已知函数.若在上为单调递减,求的取值范围;
【答案】的取值范围为
【解析】若函数在上为单调递减,
则在上恒成立.
即在上恒成立.
即在上恒成立.
设,
则.
因为,
所以当时,有最大值.
所以的取值范围为.
5.已知函数如果函数在上单调递减,求的取值范围;
【答案】
【解析】由在上单调递减,
等价于在恒成立,
变形得恒成立,
而,
(当且仅当,即时,等号成立).
则有
拔高练习（30mins）
1.设函数.当时,试求函数的单调区间.
【答案】当时,函数在区间上单调递减；
时,函数在区间上单调递增；
当时,函数在区间上单调递增；在
上单调递减,单调递增.
【解析】.
当时,因为,所以函数在区间上单调递减；
当时,
当时,即时,,所以函数在区间上单调递增；
当时,即时,由解得,
,或.
由解得；
所以当时,函数在区间上单调递增；在
上单调递减,单调递增.
2.已知函数.求函数在区间上的单调性
【答案】在上单调递减
【解析】设
在上单调递减,
在上单调递减.
3.已知函数,,其中．若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围．
【答案】的取值范围是．
【解析】的定义域为,且．
当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意．
当时,,在上单调递减．
当时,,此时在上单调递增,
由于在上单调递减,不合题意．
当时,,此时在上单调递减,
由于在上单调递减,符合题意．
综上,的取值范围是．
4.设函数,.若,求证：是函数在时单调递增的充分不必要条件.
【答案】是函数在时单调递增的充分不必要条件.
【解析】.
当时，时，，恒成立,
函数在时单调递增,充分条件成立；
又当时,代入.
设，则恒成立
当时，单调递增.
又,当时，恒成立.
而，
当时，恒成立,函数单调递增.
必要条件不成立
综上，是函数在时单调递增的充分不必要条件.
