第七讲 导数与方程（零点）
问题层级图
目标层级图
课前检测（20mins）
1. 设函数,.
已知函数,若在区间内有零点,求的取值范围;
【解析】
,
,令,得或;
当时,在单调递增,,显然不存在零点;
当时,在内存在零点,只需令,即解得;
综上,.
2. 已知函数
设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.
【解析】
,
因为
所以令,只需
设,
若在区间上有两个极值点,则在区间上有两个零点
要使在区间上有两个零点,的唯一根必须在区间
所以令,得,且
解得:
3. 已知函数,其中.
（Ⅰ）当时,证明:;
（Ⅱ）试判断方程是否有实数解,并说明理由.
【解析】
解:函数定义域,.
（Ⅰ）当时,,.
令,得.
令,得,所以函数在单调递增.
令,得,所以函数在单调递减.
所以,.
所以成立.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,所以.
设所以.
令,得.
令,得,所以函数在单调递增,
令,得,所以函数在单调递减.
所以,,即.
所以,即.
方程没有实数解.
课中讲解
一.利用导数讨论函数的零点个数LV.5
例1．
已知函数
若直线与曲线没有公共点,求实数的取值范围。
【解析】
因为直线与曲线没有公共点,
所以方程无实根,即无实根,等价于无实根
设,即无零点。
当时,,显然无零点,符合题意;
当时,令
极小值
,显然不符合题意;
当时,令
极大值
,所以时,符合题意
综上所述:
例2．
已知函数.设直线分别与曲线和射线交于两点,
求的最小值及此时的值.
【解析】
过作轴的垂线,与射线交于点,
所以是等腰直角三角形. 三角形符号不显示
所以.
设,,
所以.
令,则,
所以在上单调递增,
所以,
从而在上单调递增,
所以,此时,.
所以的最小值为,此时.
例3．
设函数.
证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.
【解析】
由
所以的定义域为
令解得
与在区间上的情况如下:
减 增
所以,的单调减区间为,单调增区间为;
在处取得极小值.
因为存在零点,所以,所以.
当时,在区间上单调递减,且.
所以是在区间上的唯一的零点.
当时,在区间上单调递减,且
所以在区间上仅有一个零点.
综上可知:若存在零点,则在区间上仅有一个零点。
例4．
已知函数.
若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;
【解析】
设过点的直线与曲线相切于点
则且切线斜率为
所以切线方程为,
因此
整理得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的情况如下:
0 1
0 0
所以,是的极大值,是的极小值.
当,即时,
此时在区间和上分别至多有1个零点,
所以至多有2个零点.
当,即时,
此时在区间和上分别至多有1个零点,
所以至多有2个零点.
当且,即时,
因为,
所以分别在区间,和上恰有个零点.
由于在区间和上单调,
所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是.
过关检测（40mins）
1. 已知函数
（Ⅰ）当时,求证:函数有且仅有一个零点;
（Ⅱ）当时,写出函数的零点的个数.（只需写出结论）
【解析】
（Ⅰ）当时,令,则
故是上的增函数.
由,故当时,,当时,.
即当时,,当时,.
故在单调递减,在单调递增.
函数的最小值为
由,故有且仅有一个零点.
（Ⅱ）当时,有一个零点;当且时,有两个零点.
2. 已知函数.
若曲线与直线没有公共点，求的取值范围.
【解析】
法一、因为与无公共点
只需证无零点
即无根，即无交点，由数形结合知
当时无交点
当时有一个交点
当时，相切时，有一个交点
设切点，，所以，所以切点为（1，e）
所以k-1=e，所以
综上所述
法二、因为与无公共点
只需证无零点
(1)当时，，无零点
(2)当时，，单调递增，
所以有一个零点
(3)当时，令
解得
- 0 +
极小
当，即，，有一个零点
当，即，，无零点
当，即，， ，一定有零点
综上所述：
3. 已知函数.
若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.
【解析】
令,解得:（显然）
问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点.
设,函数定义域为:
,
故的极小值为,无极大值.
又,,,解得:
故实数的取值范围是.
4. 设函数
（Ⅰ）设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;
（Ⅱ）求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.
【解析】
（Ⅰ）当时,,
所以.
令,得,解得或.
与在区间上的情况如下:
所以,当且时,存在,,
,使得.
由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同的零点
（Ⅱ）当时,（应为判别式小于零）
函数在上单调递增,所以不可能有三个不同的零点
当时,只有一个零点,记作
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递减;
所以不可能有三个不同的零点
综上所述,若函数有三个不同的零点,则必须有
故是有三个不同零点的必要条件
当时,,此时仅有两个不同零点,
所以不是有三个不同零点的充分条件
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件
二.利用二分法解决函数零点问题LV.6
例1．
已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
【解析】
（Ⅰ） 解：．
① 当时，．
所以在单调递增，在单调递减．
当，．
② 当时，令，得，，与的情况如下：
↘ ↗ ↘
故的单调减区间是，；单调增区间是．
③ 当时，与的情况如下：
↗ ↘ ↗
所以的单调增区间是和；单调减区间是
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得， 时不合题意．
当时，由（Ⅰ）得，在单调递增，在单调递减，
所以在上存在最大值．
设为的零点，易知，且．
从而时，；时，．
若在上存在最小值，必有，解得．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
当时，由（Ⅰ）得，在单调递减，在单调递增，
所以在上存在最小值．
若在上存在最大值，必有，解得，或．
所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是．
综上，的取值范围是．
例2．
已知函数,.
当时,讨论的零点个数.
【解析】
任取,
,
所以是偶函数.
.
当时,在恒成立,所以时,.
所以在上单调递增.
又因为,所以在上有0个零点.
又因为是偶函数,所以在上有0个零点.
当时,令,得.
由可知存在唯一使得.
所以当时,,单调递增.
因为,,.
①当,即时,在上有0个零点.
由是偶函数知在上有0个零点.
②当,即时,在上有1个零点.
由是偶函数知在上有2个零点.
综上,当时,有两个零点;
当时,有0个零点.
例3．
已知函数，若关于的方程存在两个不相等的正实数根,
证明:.
【解析】
解:方程,即为,
设函数.
求导,得.
由,解得,或.
所以当变化时,与的变化情况如下表所示:
- 0 +
极小值
所以函数在单调递减,在上单调递增.
由,得.
又因为,
所以.
不妨设（其中为的两个正实数根）,
因为函数在单调递减,且,,
所以.
同理根据函数在上单调递增,且,
可得.
所以,
即.
例4．
设,函数.若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.
【解析】
解:“对于定义域内的任意,总存在使得”等价于“不存在最小值”.
①当时,
由,得无最小值,符合题意.
②当时,
令,得或.
随着x的变化时,与的变化情况如下:
不存在 0
↘ 不存在 ↗ 极大 ↘
所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.
因为当时,,当时,,
所以只要考虑,且即可.
当时,
由在上单调递减,且,
得,
所以存在,使得,符合题意;
同理,当时,令,
得,也符合题意;
故当时,对于定义域内的任意,总存在使得成立.
③当时,
随着x的变化时,与的变化情况如下表:
0 不存在
↘ 极小 ↗ 不存在 ↘
所以函数的单调递减区间为,,单调递增区间为.
因为当时,,当时,,
所以.
所以当时,不存在使得.
综上所述,a的取值范围为.
过关检测（40mins）
1. 已知函数,
设,其中,证明:函数仅有一个零点
【解析】
,定义域为
又
(1)当时,恒成立,即在上单调递增
又
即
可知函数仅有一个零点
(2)时,
令,解得或
令,解得
所以,在,上单调递增,在上单调递减
又
又,可知在有一个零点,即函数仅有一个零点
综上所诉,函数仅有一个零点
2. 已知函数.当时,讨论函数的零点个数.
【解析】
当时,令
得或.
(1)当即时,
当变化时,的变化情况如下表:
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数在上单调递减,在和上单调递增.
又因为,
所以函数有一个零点.
(2)当,即时,
当变化时,的变化情况如下表:
↗ ↗
所以函数在上单调递增.
又因为,所以函数有一个零点.
(1)当,即时,
当变化时,的变化情况如下表:
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数在上单调递减,在和上单调递增.
又因为,
.
所以当时,此时,函数有一个零点;
当时,此时,函数有两个零点;
当时,此时,函数有三个零点.
(2)当即时,显然函数有两个零点.
综上所述,（1）时,函数有一个零点;
（2）时,函数有两个零点; 区间写法不对
（3）时,函数有三个零点.
3. 已知函数其中证明:在区间上恰有个零点.
【解析】
由得
因为所以
当时,由得
所以存在唯一的使得
与在区间上的情况如下:
增 极大值 减
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
因为且
所以在区间上恰有个零点.
4. 已知函数,其中.
若在区间上仅有一个零点,求的取值范围
【解析】
①当时,
在上,在上
所以在上单调递增,在上单调递减
所以在区间上的最大值为,而
所以函数在上没有零点,不符合
当时令,得
②当时,即时,
在上,在上
所以在上单调递增,在上单调递减
所以在区间上的最大值为,
因为所以
所以要使函数在上仅有一个零点,只需
解得（满足）
③当时,即时
在上,在上,在上
所以在区间上单调递增,上单调递减,上单调递增而
所以要使函数在上仅有一个零点,只需
即,解得
与矛盾
④当时,即时
在上,在上
所以在区间上单调递增,在单调递减,
所以在区间上的最大值为,
而,所以函数无零点
综上所述,.
三.利用隐零点求函数的最值极值问题LV.6
例1．
已知函数.当时,若函数的最大值为,求的值.
【解析】
当时,,.
设,则,
所以在上单调递减,
且,,
所以在区间内必存在唯一的零点,设为,
此时,,.
当时,,即,单调递增;
当时,,即,单调递减.
所以.
又因为,即
所以,即.
所以.
例2．
已知函数.
求证:当时,曲线总在曲线的上方.
【解析】
由题可知要证的图像总在曲线上方,
即证恒成立,即要证明恒成立,
构造函数，,令,故,
则在单调递增,则单调递增.
因为,,由零点存在性定理可知,
在存在唯一零点,设该零点为,
令,即,且
当变化时,和变化情况如下
减 极小值 增
则,
因为,所以,所以,
当且仅当时取等,因为,故,
即恒成立,曲线总在曲线的上方.
例3．
已知函数.若,求证:.
【解析】
,即
设
设
所以在小于零恒成立
即在上单调递减
因为
所以,
所以在上必存在一个使得
即
所以当时,,单调递增
当时,,单调递减
所以
因为
所以
令得
因为,所以,
因为,所以恒成立
即恒成立
综上所述,当时,
过关检测（40mins）
1. 已知函数,其中．
记的导函数为．当时,证明:存在极小值点,且．
【解析】
由题得,
所以．
因为,
所以与同号．
设,则．
所以对任意,有,
故在单调递增．
因为,所以 ,,
故存在,使得．
与在区间上的情况如下:
↘ 极小值 ↗
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增．
所以若,存在,使得是的极小值点．
令,得,所以．
2. 已知函数.
（Ⅰ）当时,判断在上的单调性,并说明理由;
（Ⅱ）当时,求证:,都有.
【解析】
（Ⅰ）方法1:
因为,
所以
因为,所以.
所以.
所以当时,,
所以在区间单调递增.
方法2:
因为,所以.
令,
则,
随的变化情况如下表:
+ +
增 极大值 减
当时,.
所以时,,即,
所以在区间单调递增.
（Ⅱ）方法1:
由（Ⅰ）可知,当时,在区间单调递增,
所以时,.
当时,设,
则,
随的变化情况如下表:
+ +
增 极大值 减
所以在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
所以存在唯一的实数,使得,
且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
又,,
所以当时,对于任意的,.
综上所述,当时,对任意的,均有.
方法2:由（Ⅰ）可知,当时,在区间单调递增,
所以时,.
当时,由（Ⅰ）可知,在上单调递增,在上单调递减,
因为,,
所以存在唯一的实数,使得,
且当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
又,,
所以当时,对于任意的,.
综上所述,当时,对任意的,均有.
3. 已知函数，
当时,若方程在区间上有唯一解,求的取值范围
【解析】
时,
设 ,
设,
.
在上单调递减,.
设.
+ 0 -
增 极大值 减
,,所以在无零点,在上有一个零点.
因为在单调递增
所以,
所以,即的范围.
课后练习
补救练习（30mins）
1. 设函数．
若函数在区间上存在唯一零点,求的取值范围.
【解析】
（1）当时,由（Ⅰ）可知,在上单调递增,
因为,
令,得.
所以当时,在区间上上存在唯一零点.
（2）当时,由（Ⅰ）可知,为函数的最小值点
因为,若函数在区间上上存在唯一零点,则只能是:
,或②.
由①得;由②得.
综上所述,函数在区间上上存在唯一零点,
则或.
2. 已知．判断在上零点的个数，说明理由．
【解析】
函数定义域为
令，得或
与的变化情况如下：
+ － +
↗ 0 ↘ 0 ↗
因为极大值，极小值，，
所以在内有一个零点，在内有一个零点.
3. 已知函数.当时,若在上有零点,求实数的取值范围.
【解析】
当时,的单调递增区间是,单调递减区间是,
所以在上有零点的必要条件是,即,
所以.而,所以.
若,在上是减函数,,在上没有零点.
若,,在上是增函数,在上是减函数,
所以在上有零点等价于,
即,解得.
综上所述,实数的取值范围是.
4. 已知函数,,.求证:有且仅有一个零点.
【解析】
证明:当时,在上单调递减.
因为,,所以有且仅有一个零点.
当,即时,,即,在上单调递增.
因为,,所以有且仅有一个零点.
当时,,,
所以存在,使得.
,,的变化情况如下表:
+ 0 -
增 极大值 减
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,且,
所以,所以有且仅有一个零点.
综上所述,有且仅有一个零点.
巩固练习（35mins）
1. 已知函数.
（Ⅰ）若对于任意都有成立,求实数的取值范围;
（Ⅱ）若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）由,得.
因为对于任意都有成立,
即对于任意都有成立,
即对于任意都有成立,
设,,
则
等号成立当且仅当即.
所以实数的取值范围为
（Ⅱ）设点是函数图象上的切点,
则过点的切线的斜率为,
所以过点的切线方程为.
因为点在切线上,
即.
若过点可作函数图象的三条不同切线,
则方程有三个不同的实数解.
令,则函数与轴有三个不同的交点.
令,解得或.
因为,,
所以必须,即.
所以实数的取值范围为
2.设函数.
若函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围.
【解析】
（1）当时,,显然在区间内没有两个零点,不合题意.
（2）当时,,.
①当且时,,函数区间上是增函数,所以函
数区间上不可能有两个零点,所以不合题意;
②当时,在区间上与、之间的关系如下表:
+ 0 -
增 极大值 减
因为,若函数区间上有两个零点,
则,所以,化简.
因为,
,
所以.
综上所述,当时,函数在区间内有两个零点.
3. 已知函数．
当时, 在x=1处的切线方程l与曲线有且只有一个公共点,求的取值范围.
【解析】
因为直线l与有且只有一个公共点,
所以方程,
即有且只有一个根．
设,
则,
①当时,
因为,所以,令,解得;
令,解得;
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以符合条件．
②当时,则
令,解得;
令,解得或;
所以在上单调递增,在,上单调递减,
因为,所以,．又,所以,
即,所以．
所以在上有一个零点,且,所以有两个零点,不符合题意．
综上．
4. 已知函数.
（Ⅰ）判断方程(为的导函数)在区间内的根的个数,并说明理由.
（Ⅱ）若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）
设
当时,则函数为减函数.
又因为
所以有且只有一个使成立.
所以函数在区间内有且只有一个零点.
即方程在区间内有且只有一个实数根.
（Ⅱ）若函数在区间内有且只有一个极值点,由于即在区间内有且只有一个零点且在两侧异号.
因为当时,函数为减函数,所以在上
即成立,函数为增函数;
在上,即成立,函数为减函数,
则函数在处取得极大值
当时,虽然函数在区间内有且只有一个零点但在两侧同号,不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.
由于显然
若函数在区间内有且只有一个零点且在两侧异号,则只需满足:
即
解得
拔高练习（40mins）
1. 已知函数,其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）设函数,若在区间内存在唯一的极值点,求的值;
（Ⅱ）用表示m,n中的较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）因为,
则.设,则.
令,得.
则由,得,为增函数;由,得,为减函数;
而,.
则在上有且只有一个零点,且在上,为减函数;
在上,为增函数.所以为极值点,此时.
又,,则在上有且只有一个零点,
且在上,为增函数;在上,为减函数.
所以为极值点,此时.
综上或.
（Ⅱ）（1）当时,,依题意,,不满足条件;
（2）当时,,,
①若,即,则是的一个零点;
②若,即,则不是的零点;
（3）当时,,所以此时只需考虑函数在上零点的情况,所以
①当时,,在上单调递增.
又,所以
（i）当时,,在上无零点;
（ii）当时,,
又,所以此时在上恰有一个零点;
②当时,令,得.
由,得;由,得;
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为,
,
所以此时在上恰有一个零点;
综上,.
2. 已知函数.
（Ⅰ）若方程在上恰有两个不同的实数根,求的取值范围;
（Ⅱ）若对任意,总存在唯一的,使得,求的取值范围.
【解析】
（Ⅰ）,即.
设,则.
设,则,
所以在上单调递增.
设,即,
则当时,单调递减;当时,单调递增.
所以
,
又因为在上有两个不同的零点,
所以,即.
所以,即的取值范围是.
（Ⅱ）,,,
令得,
随的变化情况如下表:
↘ 极小值 ↗
所以在单调递减,在单调递增,
且当时,
当时,,
其大致图象如右图.
设在的值域为,
因为对任意,总存在唯一的,使得,
则,
①当时,,符合题意;
②当时,在单调递增,值域为,
则,解得,
③当时,在单调递减,值域为,
则,解得,
综上所述,的取值范围是.
3. 已知函数.试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.
【解析】
设切点为,则切线斜率,
切线方程为.
因为切线过点,则.
即.①
令,则.
（1）当时,在区间上,,单调递增;
在区间上,,单调递减,
所以函数的最大值为.
故方程无解,即不存在满足①式.
因此当时,切线的条数为.
（2）当时,在区间上,,单调递减,
在区间上,,单调递增,
所以函数的最小值为.
取,则.
故在上存在唯一零点.
取,则.
设,,则.
当时,恒成立.
所以在单调递增,恒成立.所以.
故在上存在唯一零点.
因此当时,过点P存在两条切线.
（3）当时,,显然不存在过点P的切线.
综上所述,当时,过点P存在两条切线;
当时,不存在过点P的切线.
4. 已知函数
求证“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件.
【解析】
先证不必要性：
当时,,令,解得.
此时,有且只有一个零点,故“有且只有一个零点则”不成立.
再证充分性：
方法一:
当时,.
令,解得.
（i）当,即时,,
所以在上单调增.
又,
所以有且只有一个零点
（ii）当,即时,
,随的变化情况如下:
0
0 0
增 极大值 减 极小值 增
当时,,,所以
又
所以有且只有一个零点
（iii）当,即时,,随的变化情况如下:
0
0 0
增 极大值 减 极小值 增
因为,所以时,
令,则.
下面证明当时,.
设,则.
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减
所以当时,取得极大值.
所以当时,,即.
所以.
由零点存在定理,有且只有一个零点.
综上,是函数有且只有一个零点的充分不必要条件.
（说明:如果学生写出下面过程,,时,有且只有一个零点.要扣1分）
方法二:当时,注意到时,,,,
因此只需要考察上的函数零点
（i）当,即时,时,,
单调递增.
又
有且只有一个零点.
（ii）当,即时,以下同方法一第七讲 导数与方程（零点）
问题层级图
目标层级图
课前检测（20mins）
1. 设函数,.
已知函数,若在区间内有零点,求的取值范围;
2. 已知函数
设,若在区间上有两个极值点,求实数的取值范围.
3. 已知函数,其中.
（Ⅰ）当时,证明:;
（Ⅱ）试判断方程是否有实数解,并说明理由.
课中讲解
一.利用导数讨论函数的零点个数LV.5
例1．
已知函数
若直线与曲线没有公共点,求实数的取值范围。
例2．
已知函数.设直线分别与曲线和射线交于两点,
求的最小值及此时的值.
例3．
设函数.
证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.
例4．
已知函数.
若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围;
过关检测（40mins）
1. 已知函数
（Ⅰ）当时,求证:函数有且仅有一个零点;
（Ⅱ）当时,写出函数的零点的个数.（只需写出结论）
2. 已知函数.
若曲线与直线没有公共点，求的取值范围.
3. 已知函数.
若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.
4. 设函数
（Ⅰ）设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;
（Ⅱ）求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.
二.利用二分法解决函数零点问题LV.6
例1．
已知函数，其中．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围．
例2．
已知函数,.
当时,讨论的零点个数.
例3．
已知函数，若关于的方程存在两个不相等的正实数根,
证明:.
例4．
设,函数.若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.
过关检测（40mins）
1. 已知函数,
设,其中,证明:函数仅有一个零点
2. 已知函数.当时,讨论函数的零点个数.
3. 已知函数其中证明:在区间上恰有个零点.
4. 已知函数,其中.
若在区间上仅有一个零点,求的取值范围
三.利用隐零点求函数的最值极值问题LV.6
例1．
已知函数.当时,若函数的最大值为,求的值.
例2．
已知函数.
求证:当时,曲线总在曲线的上方.
例3．
已知函数.若,求证:.
过关检测（40mins）
1. 已知函数,其中．
记的导函数为．当时,证明:存在极小值点,且．
2. 已知函数.
（Ⅰ）当时,判断在上的单调性,并说明理由;
（Ⅱ）当时,求证:,都有.
3. 已知函数，
当时,若方程在区间上有唯一解,求的取值范围
课后练习
补救练习（30mins）
1. 设函数．
若函数在区间上存在唯一零点,求的取值范围.
2. 已知．判断在上零点的个数，说明理由．
3. 已知函数.当时,若在上有零点,求实数的取值范围.
4. 已知函数,,.求证:有且仅有一个零点.
巩固练习（35mins）
1. 已知函数.
（Ⅰ）若对于任意都有成立,求实数的取值范围;
（Ⅱ）若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.
2.设函数.
若函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围.
3. 已知函数．
当时, 在x=1处的切线方程l与曲线有且只有一个公共点,求的取值范围.
4. 已知函数.
（Ⅰ）判断方程(为的导函数)在区间内的根的个数,并说明理由.
（Ⅱ）若函数在区间内有且只有一个极值点,求的取值范围.
拔高练习（40mins）
1. 已知函数,其中为自然对数的底数.
（Ⅰ）设函数,若在区间内存在唯一的极值点,求的值;
（Ⅱ）用表示m,n中的较大者,记函数.若函数在上恰有2个零点,求实数的取值范围.
2. 已知函数.
（Ⅰ）若方程在上恰有两个不同的实数根,求的取值范围;
（Ⅱ）若对任意,总存在唯一的,使得,求的取值范围.
3. 已知函数.试问过点可作多少条直线与曲线相切？并说明理由.
4. 已知函数
求证“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件.
