第一讲：导数的基本概念与运算
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）：
1. 求函数在处的导数
【答案】
【解析】 ，
2.求的导数
【答案】
【解析】根据基本函数求导公式得出结果
3.求函数的导数
【答案】
【解析】
4.已知函数的导函数为，且满足，则
【答案】
【解析】 ，，
课中讲解：
一．理解导数的概念LV.1
导数的概念
例1．
设函数在处的瞬时 是，我们称它为在处的 ，记为，则
【答案】 变化率，切线斜率
例2．
求函数在的瞬时变化率
【答案】
【解析】在的瞬时变化率为,
例3．
如图，函数的图象是折线段，其中,,的坐标分别为，,,则 = ；函数在处的导数 。
【答案】2，-2
【解析】由图像可得，，由图像可得
是指处切线斜率，
例4．
已知函数在处可导，则 .
【答案】
【解析】 ，且
过关检测（6min）：
1.设函数的图像上一点以及邻近一点，则等于 。
【答案】4
【解析】
2. 求函数在的导数.
【答案】12
【解析】
3.已知函数在处可导，则
【答案】
【解析】
二．熟记导数的运算公式LV.2
初等函数的导数公式表
，为正整数
，为有理数
注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数
注意．
例1．
求下列函数的导数：
，，
【答案】：；；
【解析】根据基本函数求导公式得出结果
例2．
求下列函数的导数：
，，
【答案】： ；；
【解析】根据基本函数求导公式得出结果
例3．
下列结论不正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D. 若，则
【答案】B
【解析】B选项中导函数应为，所以B项不正确。
过关检测（6min）：
1．求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
【答案】： ；；
【解析】根据基本函数求导公式得出结果
2．求下列函数导数值：
（1），求,
（2），求
（3），求
【答案】： （1），；（2）；（3）
【解析】 （1），
（2），
（3），
三．导数的运算法则LV.3
导数的四则运算法则：
⑴函数和（或差）的求导法则：
设，是可导的，则，即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．
⑵函数积的求导法则：
设，是可导的，则，即两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．
⑶函数的商的求导法则：
设，是可导的，，则．特别是当时，有．
例1．求下列函数的导数
（1）; （2）;
（3）; （4）.
【答案】(1) ; (2)
（3）; (4)
【解析】根据基本函数求导公式与导数运算法则得出结果
例2．求下列函数的导数：，，
【答案】：，，.
【解析】根据基本函数求导公式与导数运算法则得出结果
例3．的导数为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
例4．若函数满足,则 .
【答案】0
【解析】 ，，
过关检测（8min）：
1．求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）; （4）.
【答案】：（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）
（2）
（3）
（4）
四．复合函数的求导LV.3
一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数，记。复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数）
例1．函数的导数是________．
【答案】
【解析】设，
例2 .函数
【答案】
【解析】设，
例3．函数的导数是________．
【答案】
【解析】设，
例4. 设，则________．
【答案】
【解析】原式可转化，设，
过关检测（8min）：
1.求下列复合函数的导数
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）； （2）；（3）
【解析】（1）设，
或先将原式转化为，设，
（2）设，
（3）针对求导而言，原式可转化为，设，，
课后练习
补救练习（6min）：
求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）； （2）；（3） （4）
【解析】根据基本函数求导公式得出结果
巩固练习（8min）：
求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3）; （4）
【答案】（1）；（2）；
（3） （4）
【解析】（1）
（2） ；
（3) 设，
（4）可将函数转化为，设，
拔高练习（10min）：
1.求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】（1）
（2）设，
（3）
2.已知，记，，…，，
则
【答案】0
【解析】由题意可知，，，，
按此规律，，…… ，为周期为4的函数，第一讲：导数的基本概念与运算
问题层级图
目标层级图
课前检测（10mins）：
1 求函数在处的导数
2.求的导数
3.求函数的导数
4.已知函数的导函数为，且满足，则
课中讲解：
一．理解导数的概念LV.1
导数的概念
例1．
设函数在处的瞬时 是，我们称它为在处的 ，记为，则
例2．
求函数在的瞬时变化率
例3．
如图，函数的图象是折线段，其中,,的坐标分别为，,,则 = ；函数在处的导数 。
例4．
已知函数在处可导，则 .
过关检测（6min）：
1.设函数的图像上一点以及邻近一点，则等于 。
2. 求函数在的导数.
3.已知函数在处可导，则
二．熟记导数的运算公式LV.2
初等函数的导数公式表
，为正整数
，为有理数
注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数
注意．
例1．
求下列函数的导数：
，，
例2．
求下列函数的导数：
，，
例3．
下列结论不正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D. 若，则
过关检测（6min）：
1．求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
2．求下列函数导数值：
（1），求,
（2），求
（3），求
三．导数的运算法则LV.3
导数的四则运算法则：
⑴函数和（或差）的求导法则：
设，是可导的，则，即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．
⑵函数积的求导法则：
设，是可导的，则，即两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．
⑶函数的商的求导法则：
设，是可导的，，则．特别是当时，有．
例1．求下列函数的导数
（1）; （2）;
（3）; （4）.
例2．求下列函数的导数：，，
例3．的导数为
A. B. C. D.
例4．若函数满足,则 .
过关检测（8min）：
1．求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）; （4）.
四．复合函数的求导LV.3
一般地，对于两个函数和，如果通过变量可以表示成的函数。那么称这个函数为函数和的复合函数，记。复合函数的导数和函数的导数间的关系为（注：表示对的导数，表示对的导数）
例1．函数的导数是________．
例2 .函数
例3．函数的导数是________．
例4. 设，则________．
过关检测（8min）：
1.求下列复合函数的导数
（1）
（2）
（3）
课后练习
补救练习（6min）：
求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
（4）
巩固练习（8min）：
求下列函数的导数
（1）； （2）；
（3）; （4）
拔高练习（10min）：
1.求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
2.已知，记，，…，，
则
