第五讲 导数最值问题
问题层级图
目标层级图
课前检测（15mins）
1. 已知函数,求函数的最小值.
2. ,求函数的最小值;
3. 已知函数.当时，求函数在区间上的最大值.
课中讲解
一.会求不含参函数的最值LV.3
1. 函数最大值
一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：
①对于任意都有.②存在，使得.那么，称是函数的最大值.
2. 函数最小值
一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：①对于任意都有.②存在，使得.那么，称是函数的最小值.
注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
例1:
求函数在区间内的最大值.
例2:
已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.
例3：
已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.
（Ⅰ）求直线的方程
（Ⅱ）设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,求的面积的最小值.
过关检测（15mins）
1. 设函数,求的最小值;
2. 已知函数，求在区间上的最大值和最小值.
二.会求解含参函数的最值LV.4
例1:
已知函数.当时,求函数在区间上的最小值.
例2:
设函数,.求函数在上的最小值.
例3：
已知函数与函数，设,求函数在上的最小值.
例4：
已知函数设,求在区间上的最大值和最小值.
例5：
已知函数,其中.当时,证明:存在最小值.
过关检测（10mins）
1. 已知函数,求在区间上的最小值;
三.已知最值会求原函数参数值LV.5
例1:
已知函数是否存在实数,使的最小值是 若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
例2：
已知函数（其中）,函数的导函数为,且.若函数在区间上的最小值为,求的值.
例3：
已知函数.当时,若函数的最大值为,求的值.
过关检测（10mins）
1. 已知函数（其中是常数,,）,函数的导函数为,且.当时,若函数在区间上的最大值为,试求的值
2、已知函数,其中.证明:是函数存在最小值的充分而不必要条件.
课后练习
补救练习（10mins）
1.已知函数,其中是自然对数的底数,.当时,求函数的最小值.
巩固练习（10mins）
1.已知函数,其中.求在区间上的最小值.（其中是自然对数的底数）
拔高练习（20mins）
1. 已知函数,.若函数的最小值为,试求的值.
2. 已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.设直线分别与曲线和射线交于两点,求的最小值.第五讲 导数最值问题
问题层级图
目标层级图
课前检测（15mins）
1. 已知函数,求函数的最小值.
【答案】最小值.
【解析】定义域为
令,解得.则在上为减函数,在上为增函数
所以在时取得最小值.
2. ,求函数的最小值;
【答案】最小值为.
【解析】,令,得,
所以,,的变化情况如下表所示：
极小值
所以的最小值为.
3. 已知函数.当时，求函数在区间上的最大值.
【答案】①当时，最大值为.
②当时，最大值为.
③当时，最大值为.
【解析】
i当时，最大值为.
ii当时，
极小值
②当时，最大值为.
课中讲解
一.会求不含参函数的最值LV.3
1. 函数最大值
一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：
①对于任意都有.②存在，使得.那么，称是函数的最大值.
2. 函数最小值
一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：①对于任意都有.②存在，使得.那么，称是函数的最小值.
注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
例1:
例1、求函数在区间内的最大值.
【答案】最大值.
【解析】
与、之间的关系如下表:
1
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
函数在区间内只有一个极大值点,且这个极值点也是最大值点
最大值.
例2:
已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】最大值为，最小值为
【解析】,设
在上单调递减,
在上单调递减,
例3：
已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.
（Ⅰ）求直线的方程
（Ⅱ）设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,求的面积的最小值.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）的面积的最小值为1
【解析】（Ⅰ）对求导数,得,所以切线的斜率为,
由此得切线的方程为:,
即.
（Ⅱ）依题意,切线方程中令,得.
所以,.所以,.
设,.
则.
令,得或.
,的变化情况如下表:
↘ ↗
所以在单调递减;在单调递增,所以,
从而的面积的最小值为1
过关检测（15mins）
1. 设函数,求的最小值;
【答案】最小值为.
【解析】,定义域为
令得,当变化时,和的变化如下表
由上表可知的单调递减区间为,单调递增区间为,
最小值为.
2. 已知函数，求在区间上的最大值和最小值.
【答案】最大值为,最小值为
【解析】,
设,
在上单调递减,所以,则在上单调递增
,.
所以最大值为,最小值为
二.会求解含参函数的最值LV.4
例1:
已知函数.当时,求函数在区间上的最小值.
【答案】当时,;当时,.
【解析】由得:,.
令,因为,解得.
①当时,即时,对恒成立,
所以在上单调递增,
所以;
②当时,即时,在上的情况如下:
极小值
所以,
综上,当时,;当时,.
例2:
设函数,.求函数在上的最小值.
【答案】当时，.
当时，
当时，
【解析】定义域
令得.
所以当,即时,时恒成立,单调递增,
此时.
所以当,即时,
此时.
所以当,即时,时恒成立,单调递减,
此时.
综上所述：
当时，.
当时，
当时，
例3：
已知函数与函数，设,求函数在上的最小值.
【答案】当时,的最小值为,
当时,的最小值为,
当时,的最小值为.
【解析】令,,
则.
(1)当时,,,所以在[1,2]上是增函数,
故的最小值为;
(2)当时,由得,,
①若,即,则,,所以在[1,2]上是增函数,
故的最小值为.
②若,即,则,,,,
所以在上是减函数,在上是增函数,
故的最小值为;
③若,即,则,,所以在上是减函数,
故的最小值为.
综上所述,当时,的最小值为,
当时,的最小值为,
当时,的最小值为.
例4：
已知函数设,求在区间上的最大值和最小值.
【答案】的最大值为,的最小值为.
【解析】定义域为
.
当时,,所以,故单调递增;
当时,,所以,故单调递减.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
因为,所以的最大值为,
设,其中,
则,故在区间上单调递增.
所以即,
故的最小值为.
例5：
已知函数,其中.当时,证明:存在最小值.
【答案】存在最小值.
【解析】定义域为
由及知,
与同号.
令,
则.
所以对于任意,有,
故在单调递增.
因为,所以,
故存在,使得.
与在区间上的情况如下:
极小值
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以存在最小值.
过关检测（10mins）
1. 已知函数,求在区间上的最小值;
【答案】当时,在的最小值为1;
当时,在的最小值为.
【解析】定义域为
1）当时, 恒成立
在单调递增,所以该区间上的最小值为
2）当时, 恒成立
在单调递增,所以该区间上的最小值为
3）当时,
极小值
所以在该区间的最小值为
综上所述,当时,在的最小值为1;
当时,在的最小值为.
三.已知最值会求原函数参数值LV.5
例1:
已知函数是否存在实数,使的最小值是 若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
【答案】存在实数,使得在的最小值是
【解析】假设存在实数,使的最小值是.
因为,
①当时,,在单调递增,此时无最小值;
②当时,当时,,故在区间上单调递减;
当时,,故在区间上单调递增,
所以,得,满足条件;
③当时,因为,所以,故在区间上单调递减.
,得（舍去）;
综上,存在实数,使得在的最小值是
例2：
已知函数（其中）,函数的导函数为,且.若函数在区间上的最小值为,求的值.
【答案】或
【解析】由已知得,
所以.
（1）当,即时,
令得,或;
令得,.
所以函数在和上单调递增,在上单调递减.
所以函数在区间上单调递增.
所以函数在区间上的最小值为.
解得.显然合题意.
（2）当时,即时,
恒成立,所以函数在上单调递增.
所以函数在区间上单调递增.
所以函数在区间上的最小值为.
解得.显然不符合题意.
（3）当时,即时,
令得,或;
令得,.
所以函数在和上单调递增,在上单调递减.
①若,即时,函数在区间上单调递减.
所以函数在区间上的最小值为.
解得.显然合题意.
②若,即时,
函数在在上单调递减,在 上单调递增.
此时,函数在区间上的最小值为.
解得.显然不合题意.
综上所述,或为所求
例3：
已知函数.当时,若函数的最大值为,求的值.
【答案】
【解析】定义域为
当时,.
设,则,
所以在上单调递减,
且,,
所以在区间内必存在唯一的零点,设为,
此时,,.
当时,,即,单调递增;
当时,,即,单调递减.
所以.
又因为,即
所以,即.
所以.
例4：
已知函数,其中.证明:是函数存在最小值的充分而不必要条件.
【答案】是函数存在最小值的充分而不必要条件.
【解析】①当时,恒成立,此时函数在上单调递减,
所以,函数无极值.
②当时,,的变化情况如下表:
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以,时,的极小值为.
又时,,
所以,当时,恒成立.
所以,为的最小值.
故是函数存在最小值的充分条件.
③当时,,的变化情况如下表:
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
因为当时,,
又,
所以,当时,函数也存在最小值.
所以,不是函数存在最小值的必要条件.
综上,是函数存在最小值的充分而不必要条件.
过关检测（10mins）
1. 已知函数（其中是常数,,）,函数的导函数为,且.当时,若函数在区间上的最大值为,试求的值
【答案】综上所述,,
【解析】由已知得.
所以.
因为,.
因为,所以.
令,得:;
令,得:或.
所以函数在上单调递增,在和上单调递减.
①若,即时,函数在区间上单调递增.
所以函数在区间上的最大值为.
解得.显然符合题意.此时,.
②若,即时,
函数在上单调递增,在上单调递减.
所以函数在区间上的最大值为.
又因为,所以,.
所以.
所以.
不满足函数在区间上的最大值为
综上所述,,为所求.
课后练习
补救练习（10mins）
1.已知函数,其中是自然对数的底数,.当时,求函数的最小值.
【答案】函数在上的最小值为:
.
【解析】∵,∴,
令,得,
令,则,
令,则,
故的单调减区间是,单调增区间是.
当,即时,在上单调递增,
故在上的最小值;
当,即,在上单调递减,在上单调递增,
故在上的最小值;
当,即时,在上单调递减,
故在上的最小值;
综上所述,函数在上的最小值为:
.
巩固练习（10mins）
1.已知函数,其中.求在区间上的最小值.（其中是自然对数的底数）
【答案】
【解析】的定义域为
令得,或
当时,对任意的,,在上单调递增
当时
0
极小值
当时,对任意的,,在上单调递减
综上可知,
拔高练习（20mins）
1. 已知函数,.若函数的最小值为,试求的值.
【答案】
【解析】设,则.
①当,即时,,所以.
所以函数在单增,所以函数没有最小值.
②当,即时,令得,
解得
随着变化时,和的变化情况如下:
＋ － 0 ＋
极大值 极小值
当时,.
所以.
所以.
又因为函数的最小值为,
所以函数的最小值只能在处取得.
所以.
所以.
易得.
解得.
2. 已知函数.设为曲线在点处的切线,其中.设直线分别与曲线和射线交于两点,求的最小值.
【答案】在区间上的最小值为
【解析】过作轴的垂线,与射线交于点,
所以是等腰直角三角形.
所以.
设,,
所以.
令,则,
所以在上单调递增,
所以,
从而在上单调递增,
所以,此时,.
所以的最小值为,此时.
因为,,
所以在区间上的最小值为
