参数方程
知识清单
（1）关于参数方程：
①恒过定点且倾斜角为的直线的参数方程：
其中，的几何意义是，当的系数平方和为一时，表示有向线段的数量。当点在上方时，为正；当点在下方时，为负。
如何辨别是否为直线的标准参数方程：（举例说明）
②圆心为，半径为的圆的参数方程：
③长轴为且短轴为的椭圆的参数方程：
其中，的几何意义是：（横椭圆为例）以为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与轴正半轴的夹角。
④抛物线对应的参数方程为：
；
抛物线对应的参数方程为：
；
（2）关于极坐标：化简中的常用公式：
，，。
会识别过原点的直线的极坐标方程，如：
三大方程之间的化简
（2021全国三卷）在直角坐标系中，以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程.
设，为参数，求椭圆＋
的参数方程.
已知圆的普通方程为
，则圆的参数方程为______________．
（2019年全国三卷）如图，在极坐标系
中，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
分别写出，，的极坐标方程；
（2017年全国三卷）在直角坐标系中，直线
的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．写出的普通方程；
参数方程（为参数）化成普通方
程为______；
将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)；
(3)(t为参数).
将下列参数方程化为普通方程：
（1）（为参数）；
（2）（为参数）．
的运用
1.3.1所给方程为标准形式
在直角坐标系中，直线的参数方程为
(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与交于两点，与轴交于点，且，求直线的倾斜角.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程
为(为参数，为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线交于两点，与轴交于点，若，求直线的普通方程.
在平面直角坐标系中，曲线的参数方
程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，点的极角为（极径小于1），点在圆上，过点且斜率为2的直线与曲线相交于两点.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）求的值.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程
为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为．
（1）求曲线的直角坐标方程及时的值；
（2）设点，求的最大值．
平面直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是：.
（Ⅰ）求的直角坐标方程和的普通方程；
（Ⅱ）设，与交于两点，为的中点，求.
1.3.2所给方程为非标准形式
已知点，曲线的参数方程为
(为参数)，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，若与相交于两点且.
（1）求的普通方程和的极坐标方程；
（2）求的值.
已知平面直角坐标系中，曲线的参数
方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，其中，．
（1）求曲线，的普通方程以及点的直角坐标；
（2）若曲线与曲线交于，两点，求的值．
1.3.3题干缺失直线的标准参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数).
（1）求曲线的普通方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围.
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，
以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出直线和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲C线交于P、Q两点，PQ中点为M，求的值.
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆的半径为2.
（1）求直线的参数方程(写出一个即可)和圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求的值.
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点．
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）求点到两点的距离之和．
在直角坐标系中，点为坐标原点，直
线的直角坐标方程为，直线与x轴交于点M，抛物线C的参数方程为（为参数）.
（1）以点O为极点，以轴正半轴为极轴，求直线的极坐标方程及点M的极坐标；
（2）设直线与抛物线C相交于E，F两点，若，求抛物线C的准线方程.
参数思想的运用
已知是椭圆上的动点，则
的最大值是__________，点到直线的最小距离是___________.
在平面直角坐标系中，已知圆的参数
方程为(为参数，其中为正实数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）在（1）的条件下，设直线与圆相切于点，点是圆上的一个动点，求面积的最大值.
以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
已知曲线的参数方程为（为
参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点为直线上的动点，点是曲线上的动点，求的最小值，并求出此时点坐标。
极坐标思想的运用
在直角坐标系中，直线，曲线
（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与、的公共点分别为，且，求的面积．
F在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为
（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）与交于两点，线段中点为，求.
在平面直角坐标系中，已知曲线的参
数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率．
在直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；
（2）若动直线：和：（）分别与曲线交于和，同时又分别与直线交于和，求的取值范围．
在平面直角坐标系中，直线的参数方程
为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线有且仅有一个公共点：
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设，是曲线上的两点，且，求的取值范围．
关于轨迹方程
1.6.1相关点法
（2021全国三卷）在直角坐标系中，以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
(2018年全国Ⅲ)在平面直角坐标系中，
的参数方程为(为参数)，过点 且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
设点都在曲线（为参
数）上，且点对应的参数与点对应的参数满足， 为的中点（当点与重合时，点也与点重合）。
（1）求点的轨迹的参数方程；
（2）判断点的轨迹是否过坐标原点，证明你的结论。
已知点，圆，过点
的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点．
（Ⅰ）若点与点重合，求直线的方程；
（Ⅱ）求点的轨迹方程，以及的最大值．
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，椭圆的左 右焦点分别是曲线与轴的交点.
（1）若椭圆的长轴长为，求椭圆的焦点的极坐标及椭圆的直角坐标方程；
（2）在（1）的条件下，已知动直线垂直于轴，且与椭圆交于不同的两点，，点在直线上，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
在直角坐标系中，以坐标原点为极
点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，是上的动点，是射线上一点且满足．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）求点的轨迹的极坐标方程．
1.6.2直接法
在直角坐标系中，曲线的参数方程为
(为参数且)，与坐标轴交于，两点.
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求外接圆的极坐标方程.
在平面直角坐标系中，曲线的方程为
.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设是上的动点，先将点绕点顺时针旋转得得到点，再保持极角不变，极径变为原来的倍得到点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）设是曲线、的公共点，、分别是射线与曲线、的公共点，且、、都异于点，求的面积.
在极坐标系中，已知三点，
，.
（1）若三点共线，求的值；
（2）求过三点的圆的极坐标方程.（为极点）
课后练习
曲线的参数方程为（为参数），则曲线的离心率（ ）
A． B．
C． D．
下列可以作为直线的参数方程的是（ ）
A．（为参数）
B．（为参数）
C．（为参数）
D．（为参数）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的普通方程；
（2）过点且斜率为的直线与的交点分别为点，，求的值．
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若过原点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的倾斜角.
在平面直角坐标系中，曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的参数方程与的直角坐标方程；
（2）设点分别为曲线与上的动点，求的取值范围．
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(，中的一个为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线．
（1）当为参数，时，判断曲线与直线的位置关系；
（2）当为参数，时，直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值
已知曲线（为参数），曲线（为参数）.
（1）化，的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数，点为上一动点，中点为，求点到直线（为参数）距离的最小值以及此时点的坐标.
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于、两点，求的值.
已知椭圆(是参数)，和是上的动点，且满足(是坐标原点)，以为极点 以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；
（2）利用椭圆的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.
在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为1，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设，是圆上两个动点，满足，求的取值范围.
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（2）设与曲线交于 两点，与曲线交于 两点，求四边形面积.
在直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线有两个不同的交点.
（1）写出直线的参数方程 曲线的直角坐标方程，并求的取值范围；
（2）以为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程.
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求上的点到直线距离的最大值．
如图，在极坐标系中，、、、，弧、弧、弧所在圆的圆心分别是、、，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线由、、构成．
（1）写出曲线的极坐标方程，并求曲线与直线所围成图形的面积；
（2）若点在曲线上，且，求点的极坐标．
如图是以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围城的曲边三角形，记为勒洛（勒洛三角形是德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，以x为轴正半轴为极轴建立极坐标系，（规定：极径，极角），已知点.
（1）求和的极坐标方程；
（2）已知点，Q是上的动点，求的取值范围.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求点的轨迹的普通方程；
（2）若曲线与曲线相交于，两点，点的直角坐标为，求的值．参数方程
知识清单
（1）关于参数方程：
①恒过定点且倾斜角为的直线的参数方程：
其中，的几何意义是，当的系数平方和为一时，表示有向线段的数量。当点在上方时，为正；当点在下方时，为负。
如何辨别是否为直线的标准参数方程：（举例说明）
②圆心为，半径为的圆的参数方程：
③长轴为且短轴为的椭圆的参数方程：
其中，的几何意义是：（横椭圆为例）以为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与轴正半轴的夹角。
④抛物线对应的参数方程为：
；
抛物线对应的参数方程为：
；
（2）关于极坐标：化简中的常用公式：
，，。
会识别过原点的直线的极坐标方程，如：
三大方程之间的化简
（2021全国三卷）在直角坐标系中，以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程.
【答案】.
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为
设，为参数，求椭圆＋
的参数方程.
【答案】(为参数)
【详解】
把代入椭圆方程，得到，
于是，即，
由参数的任意性，可取，
因此椭圆的参数方程为(为参数).
已知圆的普通方程为
，则圆的参数方程为______________．
【答案】(为参数)．
【解析】由，可得．
令，，所以圆的参数方程为(为参数)．
（2019年全国三卷）如图，在极坐标系
中，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
分别写出，，的极坐标方程；
【答案】,,,
【详解】
由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.
，
,.
（2017年全国三卷）在直角坐标系中，直线
的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．写出的普通方程；
【答案】
【详解】消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.
设,由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为.
参数方程（为参数）化成普通方
程为______；
【答案】.
【详解】
且
，即
故答案为：
将下列参数方程化为普通方程．
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数)；
(3)(t为参数).
【答案】
（1），其中或；
（2）；
（3）.
【详解】(1)因+=1，依题意有，而，即或，又，则，
当时，，当时，，
所以所求普通方程为，其中或；
(2)因，而，则，即，
又，即，于是，
所以所求的普通方程为；
(3)因x=，则=，
又，
所以所求的普通方程为．
将下列参数方程化为普通方程：
（1）（为参数）；
（2）（为参数）．
【答案】（1）； （2）．
【详解】解：（1）由得，，
两式相乘得，∴曲线的普通方程为；
（2）由得，代入到得，即，∴曲线的普通方程为．
的运用
1.3.1所给方程为标准形式
在直角坐标系中，直线的参数方程为
(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与交于两点，与轴交于点，且，求直线的倾斜角.
【答案】（1），；（2）或..
【详解】
（1）因为的参数方程为，所以，所以的普通方程为，
又因为，所以，所以，所以曲线的直角坐标方程为；
（2）将代入中，
得，即，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以或，
所以直线倾斜角为或.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程
为(为参数，为直线的倾斜角)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线交于两点，与轴交于点，若，求直线的普通方程.
【答案】（1）；（2）或.
【详解】
（1）由可得，
，由
，曲线的直角坐标方程是.
（2）设 两点对应的参数分别为 ，
联立直线的参数方程与曲线的普通方程，整理得
，
，
设点对应的参数为，由，可得，
由得，
即，
，
，即，
直线的斜率，
故直线的方程为或.
在平面直角坐标系中，曲线的参数方
程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，点的极角为（极径小于1），点在圆上，过点且斜率为2的直线与曲线相交于两点.
（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；
（2）求的值.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
解：（1）由曲线的参数方程可得
又由，有
所以曲线的直角坐标方程为
将代人圆的极坐标方程有，，解得或，由，可得，可得点的直角坐标
（2）直线的参数方程为（为参数）
设两点对应的参数分别为有，
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程后整理为，可得，有.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程
为（为参数，），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线的交点为．
（1）求曲线的直角坐标方程及时的值；
（2）设点，求的最大值．
【答案】（1）；；（2）2．
【详解】
解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝，
根据，转换为直角坐标方程为，
当时，直线的参数方程为（为参数，），
转换为直角坐标方程为x＝﹣1．
所以，由，解得，
所以|AB|＝3．
（2）把直线的参数方程，代入，
得到，
设点对应的参数为，点对应的参数为，
故，，故的符号相反，
由此时的几何意义可得：，
的最大值为2，
(其中).
平面直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是：.
（Ⅰ）求的直角坐标方程和的普通方程；
（Ⅱ）设，与交于两点，为的中点，求.
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【详解】
解：（Ⅰ）∵，，，
∴：
又，
∴直线的普通方程为；
（Ⅱ）把直线参数方程与椭圆联立，
设，对应的参数分别为，则，，
，
∴的长为.
1.3.2所给方程为非标准形式
已知点，曲线的参数方程为
(为参数)，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，若与相交于两点且.
（1）求的普通方程和的极坐标方程；
（2）求的值.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
解：（1）曲线的参数方程为(为参数)，消去参数得，
故曲线的普通方程为；
将曲线的参数方程 (为参数)化为普通方程得，即，其圆心为半径为.
设圆心到直线的距离为
则.
因为直线与圆相交于两点，对应弦长，
则，故，
故曲线的直角坐标方程为展开得
故曲线的极坐标方程为；
（2）曲线的参数方程可写为(为参数)，
代入曲线的直角坐标方程，
得设两点对应的参数分别为，
则，
故.
已知平面直角坐标系中，曲线的参数
方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为，其中，．
（1）求曲线，的普通方程以及点的直角坐标；
（2）若曲线与曲线交于，两点，求的值．
【答案】（1）；；；（2）4．
【详解】
（1）由，消去参数，得曲线的普通方程为；
由，消去参数，得曲线的普通方程为．
由，，得，，
所以点的直角坐标为，即．
（2）由（1）知点在曲线上，
设曲线的参数方程为（为参数），
代入：，化简得，
，
设，对应的参数分别为，，则，，
所以．
1.3.3题干缺失直线的标准参数方程
已知曲线的参数方程为(为参数).
（1）求曲线的普通方程；
（2）过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）曲线的参数方程为，消去参数，
可得.
（2）直线
代入曲线得：.
设两根为，，
故.
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，
以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出直线和曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，若直线与曲C线交于P、Q两点，PQ中点为M，求的值
【答案】（1）；；（2）8．
【详解】
（1）因为直线，故，
即直线的直角坐标方程为
因为曲线：，则曲线的直角坐标方程为，
即
（2）设直线的参数方程为（为参数），代入曲线的直角坐标系方程得．
设，对应的参数分别为，，则，，
所以M对应的参数，
故
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆的半径为2.
（1）求直线的参数方程(写出一个即可)和圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求的值
【答案】（1）（为参数），圆的极坐标方程为．（2）
【详解】
解：（1）的倾斜角为，所以斜率，又直线过点，所以直线的直角坐标方程为，则直线的参数方程为（为参数）；因为的极坐标为，所以的直角坐标为，又圆的半径为，所以圆的方程为，圆的极坐标方程为．
（2）由（1）可知，圆的直角坐标方程为，且，所以在圆内，因为直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程得，所以，
所以
在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点．
（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）求点到两点的距离之和．
【答案】（1），；（2）．
【详解】
解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得曲线的普通方程，
由，结合，，可得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）由点满足方程，所以点在曲线上
曲线的参数方程为（t为参数），
将其代入到曲线的普通方程中，有，
设，分别为A，B两点对应的参数，有，，
由直线参数的几何意义，到A，B两点的距离之和为：
．
在直角坐标系中，点为坐标原点，直
线的直角坐标方程为，直线与x轴交于点M，抛物线C的参数方程为（为参数）.
（1）以点O为极点，以轴正半轴为极轴，求直线的极坐标方程及点M的极坐标；
（2）设直线与抛物线C相交于E，F两点，若，求抛物线C的准线方程.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）由得直角坐标方程，
得，
所以，
所以，
所以.
令，得点M得直角坐标为，
所以点M的极坐标为.
（2）把为参数化为普通方程，得，
由（1）知，的倾斜角为，参数方程为为参数，
代入，得，
设E，F对应得参数分别为，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以抛物线C得准线方程为.
参数思想的运用
已知是椭圆上的动点，则
的最大值是__________，点到直线的最小距离是___________.
【答案】5 ；
【详解】
因为是椭圆上的动点，
设，
所以，
因为，当且仅当 取等号，
所以，
到直线的距离是：，
当时，，
故答案为：5；
在平面直角坐标系中，已知圆的参数
方程为(为参数，其中为正实数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）在（1）的条件下，设直线与圆相切于点，点是圆上的一个动点，求面积的最大值.
【答案】（1）3；（2）.
【详解】
解：（1）圆C的参数方程为(为参数，其中a为正实数)，
转为直角坐标方程为.
直线l的极坐标方程为，
根据，
转为直角坐标方程为.
利用圆心到直线的距离，
由于a为正值，解得a=3.
（2）由（1）得：圆心，
则：，
由于，
则，
由于圆心C到直线l的距离的最大值为，
则：点N到直线l的距离的最大值为，
所以.
以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.
（1）写出和的直角坐标方程；
（2）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
【答案】（1）:；；（2），.
【详解】
（1），
的直角坐标方程，
，
又，，，，，的直角坐标方程；
（2）设点坐标为，
则到直线的距离，
，
当，时，的最小值是.
已知曲线的参数方程为（为
参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若点为直线上的动点，点是曲线上的动点，求的最小值，并求出此时点坐标。
【答案】（1）；；（2）．
【详解】
（1）由得，，即，
故曲线的普通方程是．
由及公式，得，
故直线的直角坐标方程是；
（2）直线的普通方程为，曲线的参数方程为（为参数），设，
点到直线距离为，（其中），
当时，，
所以．
极坐标思想的运用
在直角坐标系中，直线，曲线
（为参数）．以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线与、的公共点分别为，且，求的面积．
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）因为直线的普通方程为，故直线的极坐标方程为.
曲线的参数方程可化为，化为普通方程即为，即，
所以，曲线的极坐标方程为，即；
（2）设点、的极坐标分别为、，
由题意可得，，则，可得，，则，则，
因为点的极坐标为，故.
F在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为
（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）与交于两点，线段中点为，求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
（I），
，，
（II），，，
，
.
在平面直角坐标系中，已知曲线的参
数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）直线与曲线交于两点，若，求直线的斜率．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）∵曲线的参数方程为，
∴曲线的直角坐标方程为．
由，得曲线的极坐标方程为．
（Ⅱ）将直线：，
代入曲线的方程得．由，解得．
设，，由韦达定理得，．
，∴，所以，，
所以，满足．∵，∴或，
∴，∴直线的斜率为．
在直角坐标系中，直线的参数方程为
（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的极坐标方程；
（2）若动直线：和：（）分别与曲线交于和，同时又分别与直线交于和，求的取值范围．
【答案】（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）
【详解】
（1）由直线的参数方程消去参数可得，
将代入可得直线的极坐标方程为，
曲线的极坐标方程化为，
将代入可得曲线的直角坐标方程为；
（2）设，
则，，
，，
所以，
，
则，
，则，
故的取值范围为.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程
为（为参数）．以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线有且仅有一个公共点：
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）设，是曲线上的两点，且，求的取值范围．
【答案】（1）直线的普通方程是，曲线的直角坐标方程是；（2）．
【详解】
（1）直线的普通方程是，曲线的直角坐标方程是；
（2）因为直线与曲线有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离等于半径，则 ，解得，
如图，不妨设，， 则，，
所以，
因为所以
所以当，即，最大值是，
当，即， 最小值是，
所以的取值范围为
关于轨迹方程
1.6.1相关点法
（2021全国三卷）在直角坐标系中，以坐标原
点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）将的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点的直角坐标为，为上的动点，点满足，写出的轨迹的参数方程，并判断与是否有公共点．
【解析】（1）由曲线C的极坐标方程可得，
将代入可得，即，
即曲线C的直角坐标方程为；
（2）设，设
，
，
则，即，
故P的轨迹的参数方程为（为参数）
曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，
则圆心距为，，两圆内含，
故曲线C与没有公共点.
(2018年全国Ⅲ)在平面直角坐标系中，
的参数方程为(为参数)，过点 且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
【答案】（1）；（2）(为参数，)．
【详解】
因为的参数方程为，（为参数），
可得是以（0,0）为圆心，半径r=1的圆.
当时，直线l与圆有2个交点；
当，设直线l：
要使直线l与圆有2个交点，即圆心到直线的距离小于半径，
即解得或
所以的取值范围为
综上所述，的取值范围;
（2）的参数方程为 (t为参数，)．
设对应的参数分别为，
则,
将直线的参数方程代入圆的普通方程并整理得：．
于是．
又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是
(为参数，)．
设点都在曲线（为参
数）上，且点对应的参数与点对应的参数满足， 为的中点（当点与重合时，点也与点重合）。
（1）求点的轨迹的参数方程；
（2）判断点的轨迹是否过坐标原点，证明你的结论。
【解析】（1）依题意有又，因此。的轨迹的参数方程为（为参数）。
（2）当时，可得，故得证的轨迹过坐标原点。
已知点，圆，过点
的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点．
（Ⅰ）若点与点重合，求直线的方程；
（Ⅱ）求点的轨迹方程，以及的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；
【详解】
（Ⅰ）圆，即，
圆心，半径，
若点M与点P重合，则，
所以，所以，
所以直线的方程为，即.
（Ⅱ）设点M，则，，
由题意可知，
故，
即，
由于点在圆的内部，所以点M的轨迹方程为.
设点，
则，，
所以，
当时，取得最大值，此时最大值为.
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，椭圆的左 右焦点分别是曲线与轴的交点.
（1）若椭圆的长轴长为，求椭圆的焦点的极坐标及椭圆的直角坐标方程；
（2）在（1）的条件下，已知动直线垂直于轴，且与椭圆交于不同的两点，，点在直线上，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
【答案】（1）椭圆的左 右焦点的极坐标分别为，，椭圆的直角坐标方程为；（2）点的轨迹方程为或，点的轨迹为椭圆夹在直线与直线之间的部分以及原点.
【详解】
（1）因为椭圆的左 右焦点分别是曲线与轴的交点，
所以椭圆的左 右焦点的极坐标分别为，，
故椭圆的半焦距为，又椭圆的长轴长为，所以椭圆的短轴长为，
所以椭圆的直角坐标方程为.
（2）由（1）知椭圆的直角坐标方程为，设，
因为直线轴，不妨设点位于轴上方，则，，
因为，所以，
所以点的轨迹方程为或，
点的轨迹为椭圆夹在直线与直线之间的部分以及原点.
在直角坐标系中，以坐标原点为极
点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，是上的动点，是射线上一点且满足．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）求点的轨迹的极坐标方程．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）曲线的极坐标方程，两边同乘以，得，
将，，代入上式，得曲线的直角坐标方程为．
（2）设、的极坐标分别为、，则，
∵是射线上一点且满足，
∴，即，代入，得，
∴，故的轨迹的极坐标方程为．
1.6.2直接法
在直角坐标系中，曲线的参数方程为
(为参数且)，与坐标轴交于，两点.
（1）求；
（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求外接圆的极坐标方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）令，因为，所以，
将代入，得与轴的交点为.
令，因为，所以，
代入得与轴的交点为.
所以.
（2）由（1）知，的外接圆的圆心为的中点，半径为，
所以其直角坐标方程为，
即，
所以极坐标方程为，即.
在平面直角坐标系中，曲线的方程为
.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设是上的动点，先将点绕点顺时针旋转得得到点，再保持极角不变，极径变为原来的倍得到点，设点的轨迹为曲线.
（1）求曲线、的极坐标方程；
（2）设是曲线、的公共点，、分别是射线与曲线、的公共点，且、、都异于点，求的面积.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）将代入，化简得.
设点的极坐标为，依题意可知、.
因为点在曲线上，代入曲线的极坐标方程可得，即.
故曲线、的极坐标方程分别为、；
（2）联立，即，则，
，由，可得，则，此时，，则点.
将代入中，得.
将代入中，得.
显然，.
故.
在极坐标系中，已知三点，
，.
（1）若三点共线，求的值；
（2）求过三点的圆的极坐标方程.（为极点）
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：以极点为坐标原点，以极轴为轴非负半轴，建立平面直角坐标系，
（1）因为A，B两点的极坐标分别为，，所以其直角坐标分别为，，
即直线AB的方程为，
因为C点的极坐标为，所以其直角坐标为，
代入直线AB的方程，可得，解得；
（2）因为，所以AB的中点即为圆心，半径，
所以圆的标准方程为，即，
因为，，，
所以圆的极坐标方程为，
即.
课后练习
曲线的参数方程为（为参数），则曲线的离心率（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由，即曲线C：是焦点在x轴上，实半轴、虚半轴长a=4，b=2，
半焦距，则曲线的离心率.
故选：B
下列可以作为直线的参数方程的是（ ）
A．（为参数）
B．（为参数）
C．（为参数）
D．（为参数）
【答案】B
【详解】
对A：消去参数可得；
对B：消去参数可得；
对C：消去参数可得；
对D：消去参数可得.
故选：B
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的普通方程；
（2）过点且斜率为的直线与的交点分别为点，，求的值．
【答案】（1）；（2）1．
【详解】
解：（1）由
得
平方相减得．
所以曲线的普通方程为．
（2）将过的直线的参数方程代入的普通方程，得，
设点，对应的参数分别，，
所以，．
所以与异号，
所以．
则．
在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）若过原点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的倾斜角.
【答案】（1）；（2）直线l的倾斜角为或．
【详解】
（1）圆的参数方程为为参数），转换为普通方程为：，即，
进一步利用，得到圆的极坐标方程为；
（2）设直线的方程为：或，
由圆的圆心，，又弦长为2，
圆心到的距离，解得，
所以直线的倾斜角为，
当直线经过原点，且斜率不存在时，所截得的弦长也为2，
故直线的倾斜角为．
的倾斜角或．
在平面直角坐标系中，曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的参数方程与的直角坐标方程；
（2）设点分别为曲线与上的动点，求的取值范围．
【答案】（1）（为参数）；；（2）．
【详解】
解：（1）曲线的参数方程为（为参数）；
由可得的直角坐标方程为，
即．
（2）由（1）可知，设，
则．
∵，∴，
∴，∴，
故的取值范围是．
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(，中的一个为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线．
（1）当为参数，时，判断曲线与直线的位置关系；
（2）当为参数，时，直线与曲线交于不同的两点，，若，求的值
【答案】（1）曲线与直线平行；（2）．
【详解】
（）当为参数，时，曲线表示直线：
由，得，
将代入方程得
因为斜率相等，所以曲线与直线平行；
（）当为参数，时，曲线的参数方程
消去参数得曲线的普通方程，
易知直线过，
故设直线的参数方程为
联立直线的参数方程与曲线的普通方程，得
设对应的参数为，则
故．
已知曲线（为参数），曲线（为参数）.
（1）化，的参数方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若上的点对应的参数，点为上一动点，中点为，求点到直线（为参数）距离的最小值以及此时点的坐标.
【答案】（1），曲线表示为圆心，1为半径的圆，，曲线表示焦点在轴上的椭圆；（2），点坐标为.
【详解】
（1）由，曲线（为参数）得
，曲线表示为圆心，1为半径的圆，
因为曲线（为参数），所以，曲线表示焦点在轴上的椭圆，
其中，.
（2）由题意知，，
则.
直线，消得.
点到直线的距离，
即，
其中，.
当时，
即时，，
此时，，点坐标为.
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于、两点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由（为参数）可得
两式平方后相加可得，
曲线的普通方程为，
曲线的极坐标方程为；
（2）设、两点的极坐标分别为、，
由，消去得，
根据题意可得、是方程的两根，，
，，
所以，
已知椭圆(是参数)，和是上的动点，且满足(是坐标原点)，以为极点 以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；
（2）利用椭圆的极坐标方程证明为定值，并求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）证明见解析，最大值为1.
【详解】
（1）由题意，椭圆(是参数)，点D的直角坐标为，
设点，
因为为的中点，可得，
消去参数，可得点的轨迹方程为.
（2）由椭圆(是参数)，可得椭圆C的普通方程为，
化为极坐标方程是，变形得，
因为，设，，所以(定值)，
则，当时，取得最大值为1.
在平面直角坐标系中，圆的圆心为，半径为1，现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）设，是圆上两个动点，满足，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
解：（1）圆的圆心为，半径为1，
所以圆的方程为，根据，转换为极坐标方程为.
（2）设，，
故
，
由于，
所以，
故.
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线；
（2）设与曲线交于 两点，与曲线交于 两点，求四边形面积.
【答案】（1），曲线是以(1，1)为圆心，2为半径的圆；（2）.
【详解】
（1）由(为参数)
消去参数得：，即
由，，，
将曲线的方程化成极坐标方程得：
∴曲线是以(1，1)为圆心，2为半径的圆.
（2）设，，将与圆的方程联立可得：
∴，.
∴
同理可得：.
∵
∴.
在直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线有两个不同的交点.
（1）写出直线的参数方程 曲线的直角坐标方程，并求的取值范围；
（2）以为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程.
【答案】（1），(为参数)， ，；（2）(为参数，).
【详解】
（1）直线的参数方程为，(为参数)…①
，
，
将，，代入可得：，
曲线的直角坐标方程为：…②
将①代入②，整理得：，
直线与曲线有两个不同的交点，，即，
又，的取值范围是.
（2）设两点对应的参数分别为，，点对应的参数为，
则，
，，
线段的中点的轨迹的参数方程是(为参数，).
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求上的点到直线距离的最大值．
【答案】（1）（）；；（2）．
【详解】
（1）因为，且，
所以的普通方程为（）．
将代入，
可得的直角坐标方程为．
（2）由（1）可知，设上任一点P的坐标为，
则点P到的距离为，
当，即时，取得最大值，
故上的点到距离的最大值为．
如图，在极坐标系中，、、、，弧、弧、弧所在圆的圆心分别是、、，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线由、、构成．
（1）写出曲线的极坐标方程，并求曲线与直线所围成图形的面积；
（2）若点在曲线上，且，求点的极坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）或或或.
【详解】
（1）由题意可知，弧所在圆的圆心的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为，
所以，弧所在圆的方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为.
弧所在圆的圆心的直角坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为，
所以，弧所在圆的方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为（或）.
弧所在圆的圆心坐标为，点的直角坐标为，点的直角坐标为.
所以，弧所在圆的方程为，即，
所以，曲线的极坐标方程为.
因此，曲线的极坐标方程为.
所围成的图形即为两个四分之一圆、一个半圆和一个矩形所组成，所以面积为：
；
（2）设曲线上一点，由题设：
若，由得，则；
若或，由得，得或；
若，由得，得；
因此，点的极坐标为或或或.
如图是以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围城的曲边三角形，记为勒洛（勒洛三角形是德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，以x为轴正半轴为极轴建立极坐标系，（规定：极径，极角），已知点.
（1）求和的极坐标方程；
（2）已知点，Q是上的动点，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【详解】
（1）因为点，
所以 ，
因为的直角坐标是，
所以的所在的直角坐标方程为，
即，又，
所以 ，即，
所以；
（2）因为Q是上的动点，
设，
在中，由余弦定理得
，
，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
则.
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求点的轨迹的普通方程；
（2）若曲线与曲线相交于，两点，点的直角坐标为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
（1）直线的参数方程为(为参数)，转换为普通方程为．
直线的参数方程为(为参数)，转换为普通方程为．
直线与的交点为，则，转换为轨迹的普通方程为．
（2）由可得，即，
在曲线上，故的参数方程为(为参数)，
∴代入曲线：中，整理得，若，，
∴，，故．
