2023届考前小题专攻 第一讲 集合、常用逻辑用语、不等式 课件（共33张）

(共33张PPT)
第一讲　集合、常用逻辑用语、不等式
微专题1
微专题2
微专题3
微专题1
常考常用结论
1．集合运算
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}， UA＝{x|x∈U，且x A}，集合U表示全集．
2．子集、真子集个数计算公式
对含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
保 分 题
1.[2022·全国乙卷]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则(　　)
A．2∈M B．3∈M
C．4 M D．5 M
答案：A
解析：因为U＝{1，2，3，4，5}， UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3 M，4∈M，5∈M.故选A.
2．[2022·广东深圳二模]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x(x－2)<0}，则A∪B＝(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(－∞，2) D．(0，＋∞)
答案： C
解析：因为B＝{x|x(x－2)<0}＝{x|03．[2022·新高考Ⅱ卷]已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　)
A．{－1，2} B．{1，2}
C．{1，4} D．{－1，4}
答案：B
解析：方法一　通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝{1，2}．故选B.
方法二　因为x＝－1不满足|x－1|≤1，所以－1 B，所以－1 A∩B，排除选项A，D；同理x＝4不满足|x－1|≤1，排除选项C.故选B.
提 分 题
例1 (1)[2022·河北邯郸一模]已知集合A＝{x|(x2－1)(x－2)<0}，B＝{x|x＋2>0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－2答案：D
解析：由(x2－1)(x－2)<0，
得或，解之得x<－1或1则A＝{x|(x2－1)(x－2)<0}＝{x|x<－1或1又B＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，
则A∩B＝{x|x<－1或1－2}＝{x|－2(2)[2022·山东济南二模]已知集合A＝{1，2}，B＝{2，4}，C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：由题意，当x＝1时，z＝xy＝1，当x＝2，y＝2时，z＝xy＝4，
当x＝2，y＝4时，z＝xy＝16，
即C中有三个元素．
【技法领悟】
1．若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．
2．若给定的集合是点集，用图象法求解．
3．若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．
巩固训练1
1.[2022·广东茂名二模]已知集合N＝{x∈R|ln x≥1}，N∩M＝M，则集合M可能是(　　)
A．{1，2，3} B．{x∈R|x≥3}
C．{x∈R|x2＝9} D．R
答案：B
解析：由题设，N＝{x|x≥e}，
A：N∩M＝{3}≠M，不合要求；
B：N∩M＝{x|x≥3}＝M，符合要求；
C：M＝{－3，3}，则N∩M＝{3}≠M，不合要求；
D：N∩M＝{x|x≥e}≠M，不合要求．
2．[2022·湖北襄阳二模]已知集合A＝{x|2x≤12}，则A∩N的子集个数为(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
答案：C
解析：由题得2x≤12＝，∴x≤log212.
因为log28所以A∩N＝{0，1，2，3}．
所以A∩N的子集个数为24＝16个．
微专题2
常考常用结论
1．充分条件与必要条件
(1)若p q且q p，则p是q的充分不必要条件．
(2)若q p且p q，则p是q的必要不充分条件．
(3)若p q且q p，则p是q的充要条件．
(4)若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
2．全称(存在)量词命题及其否定
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)．它的否定为 p： x∈M， p(x)．
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)．它的否定为 p： x∈M， p(x)．
保 分 题
1.[2022·山东肥城模拟]命题p：有的等差数列是等比数列，则(　　)
A． p：有的等差数列不是等比数列
B． p：有的等比数列是等差数列
C． p：所有的等差数列都是等比数列
D． p：所有的等差数列都不是等比数列
答案：D
解析：因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”．故选D.
2．[2022·山东日照二模]已知曲线C：＝1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：若曲线C：＝1表示椭圆，则 a>1，
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．故选C.
3．[2022·浙江卷]设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：由sin x＝1，得cos x＝0，因此“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分条件，当cos x＝0时，x＝＋kπ(k∈Z)．当k为偶数时，sin x＝1；当k为奇数时，sin x＝－1，因此“sin x＝1”不是“cos x＝0”的必要条件．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件．故选A.
提 分 题
例2 (1)[2022·山东济宁二模]“x>y”的一个充分不必要条件是(　　)
A．ln x>ln y B．x2>y2
C．x3>y3 D．<
解析：因为ln x>ln y，所以x>y>0，由于x>y>0 x>y，而x>y x>y>0，故A选项满足题意；
令x＝－2，y＝0，则满足x2>y2，但不满足x>y，故B错误；
由x3>y3得：x>y，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；
令x＝－2，y＝1，则满足<，但不满足x>y，D错误．
答案：A
(2)[2022·湖北荆门二模]若命题“ x0∈[]，tan x0>m”是假命题，则实数m的取值范围是__________．
[，＋∞)
解析：由题意得“ x0∈[]，tan x0≤m”为真命题，故m≥(tan x0)max＝tan ＝.
【技法领悟】
判断充分、必要条件时的3个关注点
1．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
2．要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
3．要注意转化： p是 q的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件； p是 q的充要条件 p是q的充要条件．
巩固训练2
1.[2022·广东华南师大附中三模]函数f(x)＝sin (2x＋φ＋)为偶函数的一个充分条件是(　　)
A．φ＝ B．φ＝－
C．φ＝ D．φ＝－
答案：C
解析：函数f(x)＝sin (2x＋φ＋)为偶函数，
则有φ＋＝kπ＋，解之得φ＝kπ＋，k∈Z，令k＝0，则有φ＝，
则函数f(x)为偶函数的一个充分条件为φ＝.
2．设命题p： x∈[－2，－1]，ax3<4，若p为假命题，则实数a的取值范围是___________．
(－∞，－]
解析：由题得 p： x∈[－2，－1]，ax3≥4为真命题，所以a≤()max，又函数y＝在[－2，－1]上单调递减，所以当x＝－2时，ymax＝－.故只需a≤－.
微专题3
常考常用结论
1．不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．
(2)简单分式不等式的解法
①>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)．
②≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
2．重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时等号成立)．
(2)设a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时等号成立．
(3) (a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)．
保 分 题
1.[2022·河北石家庄二模]已知集合A＝{－3，－2，－1，0，1}，B＝{x∈Z|<0}，则A∩B＝(　　)
A．[－3，1) B．[－3，1]
C．{－3，－2，－1，0，1} D．{－2，－1，0}
答案：D
解析：因为<0 －32．[2022·山东日照二模]若a，b，c为实数，且a0，则下列不等关系一定成立的是(　　)
A．a＋cC．ac>bc D．b－a>c
答案：A
解析：对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若a＝－2，b＝－1，则>，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，c>0，0对于D选项，因为a0，c>0，所以无法判断b－a与c大小，D选项错误．
3．[2022·湖北模拟预测]已知正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为(　　)
A． B．5
C．9 D．10
答案：A
解析：＝()()＝(5＋)≥(5＋2 )＝，
当且仅当，即时，等号成立．
故选A.
提 分 题
例3 (1)[2022·湖北武汉二模]已知直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆(x－1)2＋(y－2)2＝2 022的圆心，则的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3－2
C．6 D．9
答案：A
解析：由圆的方程知：圆心(1，2)；
∵直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆的圆心，∴a＋2b＝1(ab>0)；
∴＝(a＋2b)()＝3＋≥3＋2 ＝3＋2(当且仅当＝，即a＝b时取等号)， ∴的最小值为3＋2.
故选A.
(2)[2022·新高考Ⅱ卷](多选)对任意－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B. x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1
答案：BC
解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－)2＋(y)2＝1.令θ∈[0，2π)，则所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ)2＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－)＋∈[，2]，所以C正确，D错误．故选BC.
【技法领悟】
1．使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件，如不等式两端同时乘以一个数时要看该数取值情况．
2．基本不等式的主要用途是求多元函数的最值，在使用基本不等式时注意以下两点：一是注意不等式的使用条件，特别是其中等号能否成立；二是合理变换求解目标，如常数代换法、换元法等，创造使用基本不等式的条件．
巩固训练3
1.[2022·广东惠州二模]函数f(x)＝(x≥)有(　　)
A．最大值 B．最小值
C．最大值2 D．最小值2
答案：D
解析：方法一　∵x≥，∴x－2>0，则＝＝(x－2)＋≥2，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
方法二　令x－2＝t，∵x≥，∴t≥，∴x＝t＋2.
将其代入，原函数可化为y＝＝＝t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即t＝1时等号成立，此时x＝3.
2．[2022·全国甲卷]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　)
A．a>0>b B．a>b>0
C．b>a>0 D．b>0>a
答案：A
解析：由9m＝10得m lg 9＝1，所以m＝，所以m－lg 11＝－lg 11＝.因为lg 11×lg 9<()2＝()2<()2＝1，所以m－lg 11>0，则10m>11，所以a＝10m－11>0.同理，lg 8m－lg 9＝－lg 9＝<＝<＝0，所以8m<9，则b<0，所以a>0>b.故选A.