（统考版）2023高考数学二轮 第三篇 （研重点 保大分）专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 课件（33张）

(共33张PPT)
第1讲　直线与圆
考点一
考点二
考点三
考点一　直线的方程
——活选方程，注意斜率
考点一　直线的方程——活选方程，注意斜率
1．直线的两种位置关系
直线l1 y＝k1x＋b1 A1x＋B1y＋C1＝0
直线l2 y＝k2x＋b2 A2x＋B2y＋C2＝0
直线平行或重合的充要条件 k1＝k2 A1B2－A2B1＝0
直线垂直的充要条件 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ .
(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两平行线的距离d＝.
例 1 (1)[2022·安徽江淮十校第一次联考]“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线(a－1)x＋y＋2＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由两直线平行，得1×2－(a－1)a＝0，解得a＝2或a＝－1，检验：当a＝2时，两直线重合，舍去；当a＝－1时，两直线平行，所以“a＝－1”是“直线2x＋ay＋4＝0与直线(a－1)x＋y＋2＝0平行”的充要条件，故选C.
(2)[数学文化]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　)
A．x＋(－1)y－＝0
B．(1－)x－y＋＝0
C．x－(＋1)y＋＝0
D．(－1)x－y＋＝0
答案：C
解析：如图所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝·(x－)，y＝(1－)x＋，
y＝(－1)x＋.
整理为一般式即
x＋(－1)y－＝0，
(1－)x－y＋＝0，
(－1)x－y＋＝0.故选C.
归纳总结
求解直线方程的两种方法
直接法 根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
待定 系数法 ①设出所求直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式或一般式)；
②由条件建立所求参数的方程(组)；
③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程．
提醒　(1)忽略直线斜率不存在的情况
在解决有关直线问题时要考虑直线斜率是否存在．
(2)忽略检验致误
求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
对点训练
1.[2022·湖北黄石高二期末]“m＝2”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直，则2×3＋(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝2或m＝－3，
所以“m＝2”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线3x－my－2＝0垂直”的充分不必要条件．故选B.
2．[2022·北京西城高三模拟]已知直线(2t－3)x＋y＋5＝0不通过第一
象限，则实数t的取值范围为________.
解析：由题意得直线(2t－3)x＋y＋5＝0恒过定点(0，－5)，且斜率为－(2t－3)，
∵直线(2t－3)x＋y＋5＝0不通过第一象限，
∴－(2t－3)≤0，解得t≥，
故实数t的取值范围是.
考点二　圆的方程
——“几何”、“代数”巧选取
考点二　圆的方程——“几何”、“代数”巧选取
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以为圆心，为半径的圆．
例 2 (1)[2022·全国乙卷]过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为__________________．
(x－2)2＋(y－3)2＝13
解析：设点A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)．①若圆过A，B，C三点，则圆心在直线x＝2上，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝9＋(a－1)2，解得a＝3，则半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13.②若圆过A，B，D三点，设圆心坐标为(2，a)，则4＋a2＝4＋(a－2)2，解得a＝1，则半径r＝＝，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.③若圆过A，C，D三点，易求线段AC的中垂线方程为y＝x＋1，线段AD的中垂线方程为y＝－2x＋5.联立得方程组解得则半径r＝＝，所以圆的方程为＋＝.④若圆过B，C，D三点，易求线段BD的中垂线方程为y＝1，线段BC的中垂线方程为y＝5x－7.联立得方程组解得则半径r＝＝，所以圆的方程为＋(y－1)2＝.
(2)[2022·全国甲卷]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________________．
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
解析：因为点M在直线2x＋y－1＝0上，所以设M(a，1－2a)．由点(3，0)，(0，1)均在⊙M上，可得点(3，0)，(0，1)到圆心M的距离相等且为⊙M的半径，所以r＝＝，解得a＝1.所以M(1，－1)，r＝，所以⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
归纳总结
圆的方程的求法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程；
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程．一般采用待定系数法.
对点训练
1.[2022·深圳模拟]已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－3)2＋(y－1)2＝1
答案：C
解析：到两直线3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，
联立解得
又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.
2．[2022·河南安阳模拟预测]已知圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4，点M为直线l：x－y＋8＝0上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的外接圆方程为(　　)
A．(x－7)2＋(y－1)2＝4
B．(x－1)2＋(y－7)2＝4
C．(x－7)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－7)2＝2
答案：D
解析：圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4的圆心C(2，6)，半径r＝2，点C到直线l的距离d＝＝2，
依题意，CA⊥AM，四边形CAMB周长为2|CA|＋2|AM|＝4＋2≥4＋2＝4＋2＝8，
当且仅当CM⊥l时取“＝”，此时直线CM：x＋y－8＝0，由得点M(0，8)，
四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM的中点(1，7)，半径为，方程为(x－1)2＋(y－7)2＝2.故选D.
考点三　直线(圆)与圆的位置关系
——紧扣“距离”与“半径”
考点三　直线(圆)与圆的位置关系——紧扣“距离”与“半径”
1．直线与圆的位置关系的判定
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0 相交；Δ＝0 相切；Δ＜0 相离；
(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r 相交；d＝r 相切；d＞r 相离．
2．圆与圆的位置关系的判定
(1)d＞r1＋r2 两圆外离；
(2)d＝r1＋r2 两圆外切；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2 两圆相交；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内切；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 两圆内含．
例 3 (1)[2022·广西柳州模拟预测]已知直线y＝kx(k>0)与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于A，B两点，＝2，则k＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
答案：B
解析：圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4的圆心C(2，1)，r＝2，所以圆心C(2，1)到直线y＝kx(k>0)的距离为d，则d＝，而d＝ ＝＝1，所以d＝＝1，解得k＝.故选B.
(2)[2022·全国甲卷]若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y
＋3＝0相切，则m＝________．
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
(3)(数学文化)阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最小值为(　　)
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
答案：A
解析：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)．
设P(x，y)因为＝，所以＝，
两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8.
所以点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2为半径的圆，则＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)＋2.
方法一　因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋6x－1－x2)＋2＝12x.
由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－2≤x≤3＋2.
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24.
方法二　由(x－3)2＋y2＝8，可设(θ∈[0，2π))，
则|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2[(2cos θ＋3)2＋(2sin θ)2]＋2＝24cos θ＋36.
因为θ∈[0，2π)，所以－1≤cos θ≤1，所以36－24≤24cos θ＋36≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24.
归纳总结
1．求解圆的弦长的三种方法
关系法
公式法
距离法 联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解
2.与圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(3)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
对点训练
1.直线l：3x＋4y－1＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0所截得的弦长为(　　)
A．2 B．4
C．2 D．2
答案：A
解析：由题意圆心C(1，2)，圆C的半径为3，
故C到l：3x＋4y－1＝0的距离为＝2，
故所求弦长为2＝2.故选A.
2．[2022·安徽合肥市第八中学]直线l：x＋my－m－1＝0被圆O：x2＋y2＝3截得的弦长最短，则实数m＝________．
1
解析：直线l的方程可化为x－1＋m(y－1)＝0，
由，得，
所以直线l过定点A(1，1)，
因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内．
当OA⊥l时，|MN|取最小值，
由kOAkl＝－1，得1×＝－1，∴m＝1.