数列
等差数列
（1）定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示.
（2）通项及求和公式：
①
②
（3）等差数列常用性质：
①等差中项：若为的等差中项，则有.
② 在等差数列中，若，则有
③ 若为等差数列的前项和，则有也成等差数列.
④若都为等差数列，则有：也为等差数列；也为等差数列；也为等差数列；也为等差数列.
⑤“为等差数列”是“”的充要条件.
1.1.1基本运算和基本性质
在等差数列中，公差，，前项和，则（ ）
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
【答案】D
【详解】
在等差数列中，公差，，，
得 ，解得 或 ．
故选：D．
设为等差数列的前n项和，且
，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为是等差数列，设其公差为，又，，
故可得，解得.
故可得；.
故选：B.
已知等差数列中，
则此数列前项和等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】求前30项和，联想到公式，则只需。由条件可得：，所以，所以.
我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入的方格内，使三行 三列 对角线的三个数之和都等于15，如图所示.
一般地.将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行 每列 每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为，如图三阶幻方记为，那么（ ）
A．3321 B．361
C．99 D．33
【答案】A
【详解】
由题意知，,
故选：A
设首项为，公差为的等差数列的前
项和为，满足，则的取值范围是
.
【答案】或
【详解】
由可得，要满足关于的方程有解，，解出不等式即可.
在平行四边形中，点满足
，连接并延长交的延长线于点，，若数列是等差数列，其前项和为，则（ ）
A． B．2527
C． D．2528
【答案】C
【详解】
，，，，
故选：C
（多选）已知数列，均为公差大于零的等差
数列，则下列说法正确的有（ ）
A．数列}是递增数列
B．数列{}是递增数列
C．数列是等差数列
D．数列不可能是等差数列
【答案】ACD
【详解】
∵数列，均为公差大于零的等差数列，
∴可设，，其中为常数，
∴，
∴，
∴数列是等差数列，且为递增数列，故AC正确；
设，则，数列{}不是递增数列，故B错误；
设，，其中为常数，
则，
∴
，
由题可知，故不可能为常数，
故数列不可能是等差数列，故D正确.
故选：ACD.
已知数列与数列，其中
.它们的公共项由小到大组成新的数列，则前25项的和为（ ）
A．3197 B．3480
C．3586 D．3775
【答案】D
【详解】
由等差数列性质可知，新等差数列的公差为原来两个等差数列公差的最小公倍数，即12，首项为第一个公共项7，因此求得结果为D.
《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来
依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
【答案】B
【详解】
解：设影长依次成等差数列，公差为，
则，前9项之和，
即，解得，
所以立春的日影长为.
故选：B.
现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，
尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（ ）斤
A．6 B．7
C．9 D．15
【答案】D
【详解】
设该等差数列为，其公差为，
由题意知，，
由，解得，
所以.
故选：D
1.1.2中项性质运用
已知等差数列的前项和为，若
,且三点共线（为该直线外一点），等于（ ）
A．2016 B．1008 C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：，且三点共线（为该直线外一点），，由等差数列的性质，可得，，故选B.
设等差数列的前项和，若，那么=___________.
【答案】20
【详解】
∵是等差数列，∴，
∴．
故答案为：20.
若是等差数列，
，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4033 B．4034
C．4035 D．4036
【答案】B
【详解】由题可知，，
同理.故选B.
各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．
【答案】
【详解】
因为数列是等差数列，，
所以，即.
故，
当且仅当时，取得最小值.
故答案为：
设和都是等差数列，前项和分别为和
，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由等差数列的性质可得，
所以；因为，
所以．由等差数列的前项和公式可得，，所以．
故选：A
设等差数列与等差数列的前n项和分
别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，
故选：C.
已知为等差数列，且前项和分别
为，若，则 .
【答案】.
【详解】
.
已知数列和均为等差数列，前n项和
分别为，，且满足：，，则____________.
【答案】
【详解】
故答案为：
等差数列和的前项和分别记为
与，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
和为等差数列，
故
故选：D.
等差数列的前n项和分别为
，则的公差为___________.
【答案】8
【详解】
可得，
又，，
，，
，所以，，
即的公差为8.
故答案为：8.
已知两个等差数列和的前n项和分别
为，，且，则_________.
【答案】
【详解】
解：设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，
则，
故
又已知
不妨令且
解得且
故
故答案为：.
（多选）等差数列与的前项和分别
为与，且，则（ ）
A．当时，
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】
对于等差数列与，
当时，，则 ，
则，也适合，故，故A正确；
因为，所以，
所以，
即，故B正确；
同理可得，故C错误；
当时，，则，
则不存在，使得，故D错，
故选：AB
已知等差数列的前项和为，若，
，下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．
C．当取得最大值时，
D．
【答案】B
【详解】
，所以，，所以，所以且，所以数列是递减数列，且当时，取得最大值.故B正确，AC错误.
因为，所以，故D错误.
故选：B.
设等差数列的前n项和为，，公差为，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数n是15
【答案】D
【详解】
因为，，
所以，则，故A正确;
当时,取得最大值，故B正确;
，故C正确;
因为，，，
所以使得成立的最大自然数是，故D错误.
故选：D．
（多选）已知数列为等差数列，若
，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的有（ ）
A．中的最大值为
B．的最大值为
C．
D．
【答案】BCD
【详解】
等差数列的前n项和有最大值，故可得其公差，又，则，且；
对A：因为数列的公差，故的最大值为，则A错误；
对B：因为数列的公差，且，故的最大值为，则B正确；
对C：因为，故C正确；
对D：因为，故D正确；
故选：BCD.
（多选）已知等差数列{}中，，公
差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】BC
【详解】
由题设，易知：且，
所以，即，
所以要使前n项和取得最大，只需保证前n项均为非负数，故当或5时，取得最大值.
故选：BC
已知等差数列的前项和为，且
，则满足的正整数的最大值为____．
【答案】14
【详解】
解：由，得，所以公差小于零，又，则满足的正整数的最大值为14.
故答案为：14．
已知等差数列的前项和为，若
，，则的取值范围是__________．
【答案】
【详解】
由题意可得，则，
因为，可得，则，
设等差数列的公差为，则，
由题意可得，可得，所以，，
所以，.
故答案为：.
1.1.3求和性质运用
等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
若，则关于n的函数单调递增，
所以数列为递增数列；
若为递增数列，则，
即，解得.
所以“”是“为递增数列”的充分必要条件.
故选：A
等差数列的前项和为，若
且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设的公差为d，
∵
∴，
即{}为等差数列，公差为，
由知，
故﹒
故选：A﹒
已知数列是等差数列，其前n项和为
，则下列说法错误的是（ ）
A．数列一定是等比数列
B．数列一定是等差数列
C．数列一定是等差数列
D．数列可能是常数数列
【答案】B
【详解】
数列是等差数列，设公差为，
选项A，数列是等差数列，那么为常数，
又，则数列一定是等比数列，所以选项A正确；
选项B，当时，数列不存在，故该选项错误；
选项C，数列是等差数列，可设（A、B为常数），
此时，，则为常数，
故数列一定是等差数列，所以该选项正确；
选项D，，则，
当时，，此时数列可能是常数数列，
故该选项正确.
故选：B.
若数列前n项和为，则“”是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
∵，则，
当，，∴，即从第二项起为等差数列；
当时，则，数列为等差数列，
当数列为等差数列，则，即.
故“”是“数列为等差数列”的充要条件.
故选：C.
设是数列的前项和，已知
，则数列（ ）
A．是等比数列，但不是等差数列
B．是等差数列，但不是等比数列
C．是等比数列，也是等差数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
【答案】B
【详解】
当时，，当时，，
综上，的通项公式为，
数列为等差数列
同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列.
故选：B
在等差数列中，若其前项和为，且
，那么当取得最大值时，的值为（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
【答案】D
【详解】把当成二次函数即可.
设数列的前n项和为，若
，且是等差数列．则的值为__________．
【答案】52
【详解】
依题意，因是等差数列，则其公差，
于是得，，当时，，而满足上式，因此，，
.
故答案为：52
等差数列的前项和为，若，，
则（ ）
A．12 B．18
C．21 D．27
【答案】B
【详解】
因为 为等差数列的前n项和，且，，
所以成等差数列，
所以，
即 ，解得=18，
故选：B.
设等差数列的前n项和为，若
，则（ ）
A．45 B．32
C．47 D．54
【答案】A
【详解】
由题可知：成等差数列
所以，又，所以
故选：A
等比数列
（1）定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的比值是同一个常数（不为0），则称是等比数列，这个常数称为的公比，通常用表示.
（2）通项及求和公式：
①
②
（3）等比数列常用性质：
①等比中项：若为的等比中项，则有.
② 在等比数列中，若，则有
③ 若为等比数列的前项和，则有也成等比数列.
④已知等比数列，则有：为等比数列；为等比数列；为等比数列；为等比数列；
1.2.1基本运算和基本性质
设等比数列的前项和为，若，则
（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【详解】
不妨设的首项为，公比为，则有：
解得：
则有：
故选：D
己知等比数列的前n项和为，若
，，则公比（ ）
A．－2 B．2
C． D．
【答案】B
【详解】
由题得，
等比数列的前项和为，，，
，解得，．
故选：B
已知数列是各项均为正数的等比数列，
若，则公比( )
A． B．2
C．2或 D．4
【答案】B
【详解】
设等比数列的公比为q，∵其各项均为正数，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，则q＝2.
故选：B.
等比数列中，，且，，
成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】D
【详解】
设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，
所以，即，
也即，解得，
所以，所以.
，
，
当时，，当时，，
所以，
所以的最小值为.
故选：D
某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
【答案】B
【详解】
设每年偿还x万元，
则，
所以，解得．
故选：B
在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三
百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为（ ）里.
A．6 B．12
C．24 D．48
【答案】B
【详解】
设此人第天走里路，由题意可知数列是首项为，公比为的等比数列，
由等比数列前n项和公式得：，解得，∴
故选：B.
（多选）我国古代数学专著《九章算术》中
有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列
B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．
D．
【答案】BD
【详解】
依题意，所以依次成公比为的等比数列，
，即.
所以BD选项正确.
故选：BD
如图，一个小球从10m高处自由落下，每次
着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．
【答案】4
【详解】
解：设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则
当时，得出递推关系，
所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，
设小球第n次落地时，经过的路程为，所以
，所以，解得，
故答案为：4.
已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于
0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
【答案】D
【详解】
在等比数列中，数列的增减受到的符号，与的影响。所以在考虑反例时可从这两点入手。将条件转为命题：“若，则数列是递增数列”，如果，则是递减数列，所以命题不成立；再看“若数列是递增数列，则”，同理，如果，则要求，所以命题也不成立。综上，“”是“数列是递增数列”的既不充分也不必要条件.
已知等比数列中，，则“”
是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条性 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
因为，所以由可得，即，即或
由可得，即，即或
所以“”是“”的充分不必要条件
故选：A
设是等比数列，则“对于任意的正整数
n，都有”是“是严格递增数列”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，
，即，或，即，
当时，有，即，是严格递增数列，
当时，有，即，是严格递增数列，
所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件
故选：C
设正项等比数列的公比为q，且
，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】
依题意，则.
在上递减.
结合复合函数单调性同增异减可知：
是递增数列是递减数列，
所以“为递增数列”是“”的充要条件.
故选：A
设等比数列的前项和为，则
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
若，且，，，则“”是“”的充分条件；
若，则，又，，则“”是“”的必要条件；
则则“”是“”的充要条件.
故选：C.
已知是等比数列，则（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列是等差数列
D．数列是等比数列
【答案】B
【详解】
若，则、无意义，A错C错；
设等比数列的公比为，则，（常数），
故数列是等比数列，B对；
取，则，数列为等比数列，
因为，，，且，
所以，数列不是等比数列，D错.
故选：B.
1.2.2中项性质运用
等比数列的各项均为正数，且，
则=（ ）
A．8 B．16
C．32 D．64
【答案】B
【详解】
由题意，，所以.
故选：B.
在等比数列中，若，
的值为（ ）
A．9 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【详解】
因为是等比数列，，故可得；又，故.
故选：.
在各项均为正数的等比数列中，若
，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D
在各项均为正数的等比数列中，若
，则（ ）
A．6 B．12
C．56 D．78
【答案】D
【详解】
在等比数列中，由等比数列的性质可得：
由，解得：；
由可得：，
所以.
故选：D
公比为的等比数列，其前项和为
，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．
C．的最大值为
D．
【答案】A
【详解】
根据题意，等比数列满足条件，，，
若，则，
则，，则，
这与已知条件矛盾，所以不符合题意，故选项D错误；
因为，，，
所以 ，，，
则，，
数列前2021项都大于1，从第2022项开始都小于1，
因此是数列中的最大值，故选项A正确．
由等比数列的性质，，故选项B不正确；
而，由以上分析可知其无最大值，故C错误；
故选：A
已知等比数列的公比为，其前项的
积为，且满足，，，则下列命题正确的有__________．（填序号）
（1）；
（2）；
（3）的值是中最大的；
（4）使成立的最大正整数数的值为．
【答案】（1）（2）（4）
【详解】
对于（1），，，，
，，又，，
，（1）正确；
对于（2），，又，，即，
，（2）正确；
对于（3），，不是中最大的，（3）错误；
对于（4），，
，
使成立的最大正整数数的值为，（4）正确.
故答案为：（1）（2）（4）
1.2.3求和性质运用
已知各项均为正数的等比数列的前项和为
，若，，则（ ）
A．49 B．50
C．51 D．52
【答案】C
【详解一】
由等比数列求和性质可知，也成等比数列，设，则，解得，可知公比为4，代入求解可得C为答案.
【详解一】
由题意知，且，又，，
∴①，②，由①除以②得：，解得，，∴．
故选：C．
设等比数列的前项和为，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解一】
由等比数列求和性质可得成等比数列，由题可设，则，计算可得，计算可得答案为B.
【详解二】
解：由题可知，，则，
设等比数列的首项为，公比，可知，
因为，所以，
则，
所以，
故.
故选：B.
1.3 求通项
1.3.1由求.
设是数列的前n项和，若点在直
线y =2x+l上，则_________.
【答案】
【详解】
设是数列的前项和，若点，在直线上，
所以，①
当时，．
当时，②，
②得：，即（常数），
所以数列是以为首项，为公比的等比数列,
所以．
故答案为：
已知数列的各项均为正数，其前n项和
为，且，则______．
【答案】
【详解】
因为，①
所以当时，，即，
所以，解得或，
又因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，②
①－②得，，
又因为数列的各项均为正数，所以，即，
所以数列是等差数列，所以．
故答案为：
已知数列的前项和为，满足
，，则=（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴，即，
∴当时，，
当时，也适合上式，
所以.
故选：A.
已知，则______.
【答案】.
【详解】
当时，；
当时，，
由于不适合此式，所以
故答案为：
数列的前项和为，若，
，，则的通项公式为______.
【答案】
【详解】
由，得，两式相减得
又由，，可得，即
故数列从第二项起为公比为4的等比数列，
则的通项公式为
故答案为：
已知数列满足
，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为数列满足
所以当时，
当时，有
所以，
所以.
经检验，对符合，
所以
故选：D
已知正项数列中，则
，数列的通项公式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因，当时，，
两式相减得：，解得，而时，，即满足上式，
所以数列的通项公式为.
故选：B
已知数列满足：，
，则______
【答案】
【详解】
因为，
所以，
两式相减可得，整理得，
所以，
整理得，又，解得.
故答案为：
已知数列为正项数列，且
，求.
【答案】 .
【详解】
①
②
①②可得：
，
在已知等式中令，可得： ③，满足上式
④
⑤
两式相减可得：
，
为公差是2的等差数列，由③可解得：
在数列中，，
，求数列的通项.
【答案】 .
【详解】
.
已知正项数列的前n项和为，且
，则__________，满足不等式的最大整数为__________
【答案】 ;2.
【详解】
解：由，
令，得，
，解得；
当时，，
即．
因此，数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即．
所以，
令，
，所以，则最大整数为；
故答案为：；；
已知在数列中，，，则
的通项公式为_________.
【答案】 .
【详解】
当时，
，整理可得：
为公差为2的等差数列
已知数列的各项均为正数，且
，求.
【答案】.
【详解】
，当，有
为公差是1的等差数列 在中，
令可得：可解得
.
1.3.2累加法
已知数列满足，且，当取最小值时为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由，得
，累加可得
，
又，.
当，，也满足上式.
所以数列的通项公式为.
，
令，
在单调递减，在单调递增.
因为.
故选：C.
在数列中，，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由，得，
所以
，
所以.
故选：A.
在数列中，，，则
__________．
【答案】16
【详解】
由累加法可求出通项，代入计算可得结果为16.
在数列中，若，
，则 .
【答案】.
【解析】
试题分析：由数列中，若，，即，所以
．
1.3.3累乘法
若数列满足，则（ ）
A．2 B．6
C．12 D．20
【答案】D
【详解】
由得，
，
.
故选：D
设是首项为的正项数列，且
（），则它的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
，
，
,
又，，即，
，
即，
又，，
，
故选：B．
已知数列满足，
，则___________.
【答案】
【详解】
因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，.
令，则，
可得，
上述两个等式作差得，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
（2022新课标Ⅰ17题）记为数列的前
项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）由题可知，是首项为公差为的等差数列，故.当时，，化简得，由累乘法可得，经检验时也满足，.
（2）
.
故得证.
1.3.4周期性求通项
在数列中，，，则______．
【答案】2
【详解】
由题意，得，，，，，
故数列是以4为周期的周期数列，则．
故答案为：2
在数列中，，，则__________．
【答案】0
【详解】
∵，
∴a2=，
即数列的取值具备周期性，周期为3，
则．
故答案为：0．
在数列中，，则
_____________．
【答案】
【详解】
试题分析：因为，所以，，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以.
数列中，，，则______．
【答案】0
【详解】
由题意，数列中，，，
所以
．
故答案为：.
1.3.5构造新数列
（多选）已知数列满足，，，则（ ）
A．是等比数列
B．
C．是递增数列
D．
【答案】ACD
【详解】
数列满足，，，则，，
数列是首项为，公比为3的等比数列，A正确；
，则，B不正确；
，则，是递增数列，C正确；
，当时，，则，当时，，
当时，，
即，，D正确.
故选：ACD
已知数列中，，，则
通项公式___________；前项和___________.
【答案】
【详解】
设实数满足，则，所以，可得是公比为的等比数列，又，所以，得；.
故答案为：；
在数列中，，，
，则该数列的通项公式______．
【答案】
【详解】
因为数列中，，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，解得.
故答案为：.
已知数列满足，，则
___________.
【答案】
【详解】
由已知可得，设，则，
所以，，可得，所以，，且，
由题意可知，对任意的，，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，因此，.
故答案为：.
已知在数列中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解:因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．
故选：A
已知数列满足，
，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
当时，在等式两边同时除以可得且，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，，
因为对任意恒成立，即，
令，则.
当时，，即；
当时， ，即.
故数列中的最大项为，，解得.
故答案为：.
设为数列的前n项和，
，且，记 为数列的前n项和，若，则m的最小值为_______.
【答案】
【详解】
由，得，
即，令，则，，
联立且可得，
所以.
所以为等比数列，，因此，
所以，则，
所以，
因此，则，
所以，
，，的最小值为.
故答案为：.
已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
【答案】
【详解】
因为，
所以，
因此，
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
所以当时，
，，，，，
以上各式累加可得：
，
因为，
所以；
又符合上式，所以.
故答案为：.
数列满足，则
_______.
【答案】.
【详解】
因为，所以，所以数列是常数列，
令，则，且，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，则，所以，又因为，则，所以，因此，所以，
故答案为：.
已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】
(1)
解：由，得，
∴，又，
∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，
∴，
∴.
(2)
解：∵，
∴，则，解得，不符合题意，
∴不存在正整数，使得.
已知在数列中，，且
，求数列的通项公式.
【答案】.
【详解】
累加可得：
.
已知数列满足
，求的通项公式.
【答案】.
【详解】
是公差为的等差数列
.
已知数列中，，且
，求的通项公式.
【答案】.
【详解】
设，则，且
为公差是4的等差数列
.
设数列满足，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】设递推公式为，化简利用待定系数可得,令，则，又.整理可得.
已知数列满足
，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】设，将代入整理得，解得，是首项为32，公比为2 的等比数列，.
数列中，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】由可得，设，展开化简对应可得或.当时，则有，再由累乘法可得.
已知数列中的分别为直线
在轴、轴上的截距，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】 .
【解析】
试题分析：由已知得：，已知条件可化为，设，可化为：，则，解得：，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则．两边同时除以转化为：，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以
已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
由，假设其变形为，则有，所以，又.
所以，即.
(2)
由（1），
所以，
令，则，
所以，所以是递减数列，
所以，
所以使得不等式对一切正整数n都成立，
则，即，
因为为正实数，所以.
已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
，，易知，故，
故是首项为，公比为的等比数列，，，
故.
故选：C.
设正项数列满足，
，则数列的通项公式是______．
【答案】
【详解】
原式两边同时取对数，得，
即．设，则，
又，
所以是以2为公比，1为首项的等比数列，
所以，所以，所以．
故答案为：.
1.3.6证明数列通项
已知数列的首项．
求证：数列为等比数列.
【答案】见解析 .
【解法一】
两边同取倒数：
即，在考虑构造“”：
即数列是公比为的等比数列
【解法二】
令，则
递推公式变为：
.
数列{}的前n项和为，设，证
明：数列是等比数列，并求出的通项公式.
【答案】见解析 .
【解析】
①
②
① ②可得：
即
是公比为的等比数列 令 代入（*）可得：
已知数列满足：
且，求证：为等差数列.
【答案】见解析 .
【解析】
设，则代入可得：
为等差数列，即为等差数列.
已知曲线，过上一点作一
斜率为的直线交曲线于另一点（且，点列的横坐标构成数列，其中.
（1）求与的关系式；
（2）令，求证：数列是等比数列.
【答案】见解析 .
【解析】
（1）曲线
（2），代入到递推公式中可得：
已知数列满足
，判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出.
【答案】见解析 .
【解析】
设
代入到可得：
而
① 时，，不是等比数列
② 时，是等比数列，即为等比数列
1.3.7奇偶性求通项
已知数列中， ，求证：数列是等比数列
【答案】见解析 .
【解析】由可得：
数列是公比为的等比数列.
已知数列的前n项和为，且
.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
解：（1）当时，
当n为奇数，且时，，显然满足；
当n为偶数时，
所以
（2）
．
1.4 数列求和
1.4.1倒序相加
已知函数，若等比数列满足..，则（ ）．
A．2020 B．
C．2 D．
【答案】A
【详解】
∵，∴．
∵数列为等比数列，且，∴．
∴ ，
∴由倒序求和可得．
故选：A．
已知函数，数列是正项等比
数列，且，则__________．
【答案】
【详解】
函数，当时，，
因数列是正项等比数列，且，则，
，同理，
令，
又，
则有，，
所以.
故答案为：
设函数，定义
，其中，，则______.
【答案】0
【详解】
由题意，
所以
由 ①
则 ②
由①+②得
所以
故答案为：0
已知函数，数列是正项
等比数列，且，______．
【答案】
【详解】
解：由数列是正项等比数列，
且，可得，
因为，
可设，
又，
两式相加可得
，
所以．
故答案为：．
设数列的通项公式为
，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.
【答案】
【详解】
∵，
又，
∴，
∴
，
∴.
故答案为：
1.4.2错位相减
已知数列{}，{}的各项为正，且＝，数列{}的前项和满足＝＋．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若＝，求数列{}的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
解：依题意，，当时有，
两式相减有：，
即有，
又因为，则有，
即数列是以1为公差的等差数列，又，解得或（舍），
从而.
所以.
(2)
解：由（1）可知，，
则有：，
，
两式相减得，
所以，即数列的前n项和为．
给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
设递增等差数列的公差为，
若选条件①，由，
有，
化简得.
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为.
若选条件②，由，
有，
化简得.
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为.
若选择条件③，由，有，
两式相减得：，
因为，所以，故，
所以，即，
所以数列的通项公式为；
(2)
由是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由（1）知，所以，
所以，
两边同乘以2得：，
以上两式相减得：，
即，
所以，
故答案为：2n，.
已知数列满足，，
.
(1)证明：数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【解析】
(1)
证明：由题意，因为，，，
所以，，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以；
(2)
解：由（1）可得，又，所以，
所以，所以，
所以，
，
所以 ，
所以.
已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：由题意得：
，则为等差数列，首项．
∴．
(2)
∴①
∴②
①-②得，
∴
．
1.4.3裂项相消
已知数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：由已知，得，
所以，
所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)
由（1）可得，，则，
所以，
所以．
已知各项为正数的等差数列的前项和
为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
设等差数列的公差为..，
由，且，，成等比数列可得，
解得，，
所以.
(2)
由可得，
所以，
所以
.
已知数列是等差数列，且数列满
足：，，数列满足且的前项和
(1)求的通项公式
(2)求的前项和，并比较与的大小
【答案】(1)
(2),
【解析】
(1)
数列是等差数列，且数列满足：，,
所以 ，则 ，故 ，
(2)
由（1）知：，
故
，
因为 ，
故，即.
已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
解：设等差数列的公差为，则，可得，
由可得，即，解得，，
故.
(2)
解：，
因此，
.
已知数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2k项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：因为，，当时，，解得，当时，
所以，即，显然，所以，
所以是以为首项为公差的等差数列，是以为首项为公差的等差数列，
所以
，所以
(2)
解：因为，所以，
所以
已知在数列中，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的项的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
∵，
∴
，
即.
(2)
∵，，
∴，,
∴是首项为32，公比为16的等比数列，
所以，.
已知数列和，，，
.
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
解：∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
(2)
解：由（1）知，则，
∴，
∴
.
已知公差不为零的等差数列的前项和
为，， 成等比数列.
(1)求；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
设公差为，则，
解得，
所以.
(2)
∵,
∴当时，，
当时，，
且当时，，
所以，
所以
∴
.
已知数列的首项为正数，其前项和
满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
当时，，，解得；
当时，把代入题设条件得:
，即，
很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，
∴；
(2)
由（1）知是首项为，公比的等比数列，
所以，
．
故数列的前项和为：
.
设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过基本量直接计算可得；
（2）用裂项相消法可解.
(1)
记的公比为，的公差为，
由题知：，解得或（舍去），故
又，即，解得，故
(2)
由（1）知：
所以
已知等差数列的前n项和为，等比数
列{}的前n项和为，且.
(1)求数列和数列{}的通项公式；
(2)若数列满足，证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
(1)
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，
解得，所以；
(2)
由(1)知，，
所以，
所以
，
即，
.
设数列的前n项和为，
则（ ）
A.
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由，
∴ ，
∴，
故选：A．
1.4.4分组求和
已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
(1)
证明：当时，，则；.
当时，由可得.
两式相减得，即，.
因为，则，，以此类推可知，对任意的，，
所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.
(2)
解：由（1），故，则.
所以，
.
已知数列满足，
数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：由数列满足，可得，
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为.
(2)
解：设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，
又由，
所以数列的前项为：
已知数列的前n项和为，且满足
，数列的前n项和为．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)试比较与的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
当时，，，
当时，①，
②，
①－②得，即．
又∵，∴是首项为，公比为2的等比数列．
(2)
由（1）知，，
∵，∴，
∴
.
∴，
又∵，∴，∴．
1.4.5绝对值求和
已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【详解】
(1)当时，，
由，得，即，
当时，，当时，，
所以；
设正项等比数列的公比为，则，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以当时,，
当时， ，
即
已知等差数列中，公差，是
和的等比中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）是和的等比中项，
所以，
即，
又由，
即，
整理得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
则，
当时，，
所以，
当时，记数列的前项和为，
则，
所以，
综上得：.
已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【解析】
解：（1）当时，，即，
当时，，
时，满足上式，
所以
（2）由得，而，
所以当时，，当时，，
当时，，
当时，
，
所以
1.4.6奇偶求和
已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：因为，，
所以，
所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；
(2)
解：由（1）可得，即，
则
.
当n为偶数时，，
则
，
当n为奇数时，则
，
综上所述，.
已知中，，求的
值．
【答案】
【解析】
解：当为奇数时，
，
，
以上两式相减可得：，
；
当为偶数时，
，
，
以上两式相加可得：，
，
，
的值为36.
设数列的前n项和为，满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，，即，
当时，，
即，因此，
所以
即，经检验，时成立，所以．
（2），
所以，当n为偶数时
；
当n为奇数时， ．
综上所述，．
课后练习
1.1等差数列
设等差数列的前项和为，且，，则_________
【答案】9
【详解】由可得：，即。而，所以不是各项为0的常数列，考虑，所以 .
设为等差数列的前项和，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【详解】
.
已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，则的值为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
设等差数列的公差为，
由得，
即得
.
故选：B.
设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4 B．17
C．68 D．136
【答案】C
【详解】
设数列的公差为d，
因为，所以，即，.
故选：C
（多选）记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C． D．
【答案】AC
【详解】
设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由，所以，所以A正确；
因为公差的正负不能确定，所以可能为最大值最小值，故B不正确；
由，所以，所以C正确；
因为，所以，即，所以D错误.
故选：AC.
等比数列的公比，，则使成立的正整数的最大值为________.
【答案】
【详解】
解：由等比数列的公比满足，，可的，
可得，则，且，
由为等比数列，则，则是以为首项，公比为的等比数列，
则原不等式等价为，
因为，则，把，代入整理得，
所以，，则，由，则的最大值为.
故答案为：.
我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（ ）
A．133斤 B．116斤
C．99斤 D．65斤
【答案】A
【详解】
依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为，
则由题意得，，
解得，．
故选：A
已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【详解】
设等差数列的公差为，
，
故选：B
已知数列是首项为，公差为d的等差
数列，前n项和为，满足，则（ ）
A．35 B．40
C．45 D．50
【答案】C
【详解】
，则，即，即，所以.
故选：C
若是等差数列的前项和，
，则（ ）
A．13 B．39
C．45 D．21
【答案】B
【详解】
设等差数列的公差为d，则，则.
故选：B.
已知等差数列的前项和分别为，若，则__________.
【答案】
【详解】
解：∵等差数列的前n项和分别为Sn，Tn，
∵，
∴，
故答案为：.
等差数列和的前项和分别为和，且，则________．
【答案】
【详解】
解：因为等差数列和的前项和分别为与，且都有，
所以．
故答案为：．
已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
【答案】
【详解】
因为等差数列，的前项和分别为，，且，
所以，，又，，
所以，，
所以．
故答案为：
（多选）等差数列的前n项和分别为，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是递增数列
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】
，所以是递增数列，A选项正确.
，
所以，B选项正确.
，C选项错误.
当时，，D选项错误.
故选：AB
设为等差数列的前项和
.若，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】C
【详解】
，即，整理得，.，即数列的前7项为负，故选C.
记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36 B．45
C．63 D．75
【答案】B
【详解】
因为为等差数列的前项和，
所以成等差数列，即成等差数列，
所以，解得，
故选：B.
（多选）公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．中最大 D．
【答案】AC
【详解】
等差数列的公差为d，其前n项和为，
由，得，由，得，
则有，即，A正确；，B不正确；
因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确；
，，，即，D不正确.
故选：AC
（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．该数列的公差
C． D．
【答案】BCD
【详解】
由可得，， 可得
可得，所以等差数列的公差，故选项B正确.
所以为正，，从第8项起均为负. 故选项C正确.
所以，故选项A不正确.
,故选项D正确.
故选：BCD
设等差数列的前n项和为，且，则当n＝___时，最小．
【答案】2022
【详解】
根据等差数列的前n项和公式和性质得：
，
，
，，
前2022项为负，从2023项开始为正，故前2022项和最小.
故答案为：2022.
（多选）在等差数列中，，，且，为数列的前项和，则（ ）
A．公差 B．
C．
D．使的的最小值为
【答案】CD
【详解】
，，且，
，，即，故A,B错误；
，，
使的的最小值为故C,D正确，
故选：CD．
（多选）设等差数列的公差为，前项和为．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．当时，取得最小值
【答案】BCD
【详解】
由，可得，
∴，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，当时，取得最小值，故D正确.
故选：BCD.
1.2等比数列
数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【详解】
∵，∴，
所以，数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，
，
∴，则，解得.
故选：C.
已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．63 B．
C．81 D．
【答案】C
【详解】
解：因为数列为等比数列，设公比为，且，
所以，所以，
所以，所以，
故选：C.
已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
【答案】C
【详解】
，
函数的开口向下，对称轴为，
所以当或时，取得最大值.
故选：C
若在等比数列中，，，那么（ ）
A．20 B．18
C．16 D．14
【答案】B
【详解】
设等比数列的公比为，则，所以
故选：B
中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼．
【答案】
【详解】
依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533，
于是得，解得，
所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.
故答案为：3
有A，B两种细菌，若每个细菌A在一个单位时间内能杀死1个细菌B、并且A在杀死B的同时将自身分裂成2个同样的细菌，现有1个细菌A和914个细菌B，则细菌A将细菌B全部杀死，至少需要________个单位时间．
【答案】10
【详解】
由题，设个单位时间内，累计细菌的数目为，
则，
由，得，解得正整数，
故至少需要10个单位时间．
故答案为：10.
等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10
C．4 D．
【答案】A
【详解】
由题有，则
=5.
故选：A
设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为
D．
【答案】BCD
【详解】
解：由得，即
所以，由，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A错误，B正确；
所以，即，故C正确；
又，
所以，故D正确.
故选：BCD.
1.3数列求通项
设数列的前项和为，，，则________.
【答案】
【详解】
∵，①
∴当时，，②
②-①可得，，即，
又，也适合上式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
【答案】
【详解】
根据题意，数列中，，，
①，
②，
①②可得：，
变形可得：，
则
;
时，符合；
故答案为：．
已知数列的各项均为正数，为其前n项和，，.令，则数列的前25项和是___________.
【答案】-5.
【详解】
，
时．，所以，所以是等差数列，
公差为1，首项为1，所以，又数列各项为正，因此，所以，
，也适合．
所以，，
，
则数列的前25项和为．
故答案为：．
数列的前n项和为，试判断是否为等差数列．
【答案】不是等差数列．
【详解】
当时，．
当时，，
综上，，
，即
故数列不是等差数列．
已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
(1)
由，
可得，
两式相减可得，
当时，，满足，
所以.
(2)
∵，
因为，
所以当时，
已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：当时，，则；.
当时，由可得.
两式相减得，即，.
因为，则，，以此类推可知，对任意的，，
所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.
(2)
解：由（1），故，则.
所以，
.
已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
解：因为，所以，
所以，即，
因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
(2)
解：由（1）得，
所以，
所以，
，
所以，
所以
已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
当时，由
得，
两式相减可得．
因为，符合上式
所以，故，
(2)
由（1）得，
当时，，
当时，，不符合上式，
故数列的通项公式为．
因此．
故当时，．
当
．
令，得，符合上式
综上所述，．
在数列中，， ，则_______．
【答案】
【详解】
试题分析：由可得,
所以,
以上各式相加可得,
所以,即．
若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（ ）
A．28 B．29
C．30 D．31
【答案】A
【详解】
解：由，得，
所以
因为，所以，解得，所以满足条件的最大正整数n为28.
故选：A
数列的首项，，则__________．
【答案】-61
【详解】
由题数列的首项，，则当时．
是以-1为首项以2为公比的等比数列，
故答案为-61．
在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
【答案】
【详解】
解：由，得．
又，，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以，
所以，
因为符合上式，所以.
故答案为：
已知数列满足
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
(1)
解：数列满足
，
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，即；
∴
(2)
解：，
，
，
，
已知数列满足(n∈N*)，且，则数列的通项公式为________．
【答案】
【详解】
，
，由于，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以.
故答案为：
已知数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】.
【解析】
解：因为，，则，可得，
，可得，以此类推可知，对任意的，.
由，变形为，
是一个以为公差的等差数列，且首项为，
所以，，因此，.
在数列中，，，则____________．
【答案】
【详解】
由题设，，，，…
所以是周期为3的数列，故.
故答案为：
1.4数列求和
已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
【答案】
【解析】
【详解】
因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
+②，得，所以.
已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
【答案】
【详解】
因为，
.
故….①
….②
①+②，得，.
所以数列的通项公式为.
设数列的前n项和为，且满足（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：当时，，解得，
由，可得，
两式相减得，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
(2)
解：由（1）可得，所以，
则，
则，
两式相减可得
，
所以．
已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
(1)
设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
(2)
由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．
已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【解析】
(1)
证明：显然，
将两边同时取倒数得，
即，所以数列是公差为2的等差数列，
所以，所以.
(2)
由已知得，
那么数列的前n项和.
已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
(1)
设等差数列公差为d，
∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴数列是首项为，公比为2的等比数列，∴；
(2)
∵，∴，
.
在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
设等差数列的公差为，
则，
∴，
由，
∴，
∴数列的通项公式为.
(2)
∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，
∴，即，
∴，
∴
.数列
等差数列
（1）定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示.
（2）通项及求和公式：
①
②
（3）等差数列常用性质：
① 等差中项：若为的等差中项，则有.
② 在等差数列中，若，则有
③ 若都为等差数列，则有：也为等差数列；也为等差数列；也为等差数列；也为等差数列.
④ 若为等差数列的前项和，则有也成等差数列.
⑤“为等差数列”是“”的充要条件.
1.1.1基本运算和基本性质
在等差数列中，公差，，前项
和，则（ ）
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
设为等差数列的前n项和，且
，，则（ ）
A． B．
C． D．
已知等差数列中，
则此数列前项和等于( )
A. B.
C. D.
我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入的方格内，使三行 三列 对角线的三个数之和都等于15，如图所示.
一般地.将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行 每列 每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为，如图三阶幻方记为，那么（ ）
A．3321 B．361
C．99 D．33
设首项为，公差为的等差数列的前
项和为，满足，则的取值范围是
.
在平行四边形中，点满足
，连接并延长交的延长线于点，，若数列是等差数列，其前项和为，则（ ）
A． B．2527
C． D．2528
（多选）已知数列，均为公差大于零的等差
数列，则下列说法正确的有（ ）
A．数列}是递增数列
B．数列{}是递增数列
C．数列是等差数列
D．数列不可能是等差数列
已知数列与数列，其中
.它们的公共项由小到大组成新的数列，则前25项的和为（ ）
A．3197 B．3480
C．3586 D．3775
《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来
依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种共十二个节气，其日影长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（ ）
A．9.5尺 B．10.5尺
C．11.5尺 D．12.5尺
现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，
尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（ ）斤
A．6 B．7
C．9 D．15
1.1.2中项性质运用
已知等差数列的前项和为，若
,且三点共线（为该直线外一点），等于（ ）
A．2016 B．1008 C． D．
设等差数列的前项和，若，
那么=___________.
若是等差数列，
，则使数列的前项和成立的最大自然数是（ ）
A．4033 B．4034
C．4035 D．4036
各项均为正数的等差数列的前项和为
，若，则的最小值为______．
设和都是等差数列，前项和分别为和
，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
设等差数列与等差数列的前n项和分
别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
已知为等差数列，且前项和分别
为，若，则 .
已知数列和均为等差数列，前n项和
分别为，，且满足：，，则____________.
等差数列和的前项和分别记为
与，若，则（ ）
A． B．
C． D．
等差数列的前n项和分别为
，则的公差为___________.
已知两个等差数列和的前n项和分别
为，，且，则_________.
（多选）等差数列与的前项和分别
为与，且，则（ ）
A．当时，
B．
C．
D．
已知等差数列的前项和为，若，
，下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．
C．当取得最大值时，
D．
设等差数列的前n项和为，，公差为，，，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．当时，取得最大值
C．
D．使得成立的最大自然数n是15
（多选）已知数列为等差数列，若
，且数列的前n项和有最大值，则下列结论正确的有（ ）
A．中的最大值为
B．的最大值为
C．
D．
（多选）已知等差数列{}中，，公
差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
已知等差数列的前项和为，且
，则满足的正整数的最大值为____．
已知等差数列的前项和为，若
，，则的取值范围是__________．
1.1.3求和性质运用
等差数列的公差为d，前n项和，则“”
是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
等差数列的前项和为，若
且，则( )
A． B．
C． D．
已知数列是等差数列，其前n项和为
，则下列说法错误的是（ ）
A．数列一定是等比数列
B．数列一定是等差数列
C．数列一定是等差数列
D．数列可能是常数数列
若数列前n项和为，则“”
是“数列为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
设是数列的前项和，已知
，则数列（ ）
A．是等比数列，但不是等差数列
B．是等差数列，但不是等比数列
C．是等比数列，也是等差数列
D．既不是等差数列，也不是等比数列
在等差数列中，若其前项和为且存在最大值，且，那么当取得最大值时，的值为（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
设数列的前n项和为，若
，且是等差数列．则的值为__________．
等差数列的前项和为，若，，
则（ ）
A．12 B．18
C．21 D．27
设等差数列的前n项和为，若
，则（ ）
A．45 B．32
C．47 D．54
等比数列
（1）定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的比值是同一个常数（不为0），则称是等比数列，这个常数称为的公比，通常用表示.
（2）通项及求和公式：
①
②
（3）等比数列常用性质：
①等比中项：若为的等差中项，则有.
② 在等比数列中，若，则有
③已知等比数列，则有：为等比数列；为等比数列；为等比数列；为等比数列；
④ 若为公比的等比数列的前项和，则有也成等比数列.
1.2.1基本运算和基本性质
设等比数列的前项和为，若，则
（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
己知等比数列的前n项和为，若
，，则公比（ ）
A．－2 B．2
C． D．
已知数列是各项均为正数的等比数列，
若，则公比( )
A． B．2
C．2或 D．4
等比数列中，，且，，
成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．1
某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（ ）
A．万元 B．万元
C．万元 D．万元
在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三
百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”则第五天走的路程为（ ）里.
A．6 B．12
C．24 D．48
（多选）我国古代数学专著《九章算术》中
有这样一个问题；今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗；禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升粟，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）
A．a，b，c依次成公比为2的等比数列
B．a，b，c依次成公比为的等比数列
C．
D．
如图，一个小球从10m高处自由落下，每次
着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．
已知数列是首项不为零的等比数列，且公比大于
0，那么“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要
已知等比数列中，，则“”
是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条性 D．既不充分也不必要条件
设是等比数列，则“对于任意的正整数
n，都有”是“是严格递增数列”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
设正项等比数列的公比为q，且
，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
设等比数列的前项和为，则
“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知是等比数列，则（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列是等差数列
D．数列是等比数列
1.2.2中项性质运用
等比数列的各项均为正数，且，
则=（ ）
A．8 B．16
C．32 D．64
在等比数列中，若，
的值为（ ）
A．9 B．1
C．2 D．3
在各项均为正数的等比数列中，若
，则等于（ ）
A． B．
C． D．
在各项均为正数的等比数列中，若
，则（ ）
A．6 B．12
C．56 D．78
公比为的等比数列，其前项和为
，前项积为，满足，.则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．
C．的最大值为
D．
已知等比数列的公比为，其前项的
积为，且满足，，，则下列命题正确的有__________．（填序号）
（1）；
（2）；
（3）的值是中最大的；
（4）使成立的最大正整数数的值为．
1.2.3求和性质运用
已知各项均为正数的等比数列的前项和为
，若，，则（ ）
A．49 B．50
C．51 D．52
设等比数列的前项和为，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
求通项
1.3.1由求.
设是数列的前n项和，若点在直
线y =2x+l上，则_________.
已知数列的各项均为正数，其前n项和
为，且，则______．
已知数列的前项和为，满足
，，则=（ ）
A． B．
C． D．
已知，则______.
数列的前项和为，若，
，，则的通项公式为______.
已知数列满足
，则数列的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
已知正项数列中，则
，数列的通项公式为（ ）.
A． B．
C． D．
已知数列满足：，
，则______
已知数列为正项数列，且
，求.
在数列中，，
，求数列的通项.
已知正项数列的前n项和为，且
，则__________，满足不等式的最大整数为__________
已知在数列中，，，则
的通项公式为_________.
已知数列的各项均为正数，且
，求.
1.3.2累加法
已知数列满足，且，当取最小值时为（ ）
A． B．
C． D．
在数列中，，
，则（ ）
A． B．
C． D．
在数列中，，，则
__________．
在数列中，若，
，则 .
1.3.3累乘法
若数列满足，则（ ）
A．2 B．6
C．12 D．20
设是首项为的正项数列，且
（），则它的通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
已知数列满足，
，则___________.
（2022新课标Ⅰ17题）记为数列的前
项和，已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
1.3.4周期性求通项
在数列中，，，则______．
在数列中，，，则__________．
在数列中，，则
_____________．
数列中，，，则______．
1.3.5构造新数列
（多选）已知数列满足，，，则（ ）
A．是等比数列
B．
C．是递增数列
D．
已知数列中，，，则
通项公式___________；前项和___________.
在数列中，，，
，则该数列的通项公式______．
已知数列满足，，则
___________.
已知在数列中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
已知数列满足，
，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.
设为数列的前n项和，
，且，记 为数列的前n项和，若，则m的最小值为_______.
已知是数列的前项和，，，，求数列的通项公式___________.
数列满足，则
_______.
已知数列满足：，且.
(1)求的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
已知在数列中，，且
，求数列的通项公式.
已知数列满足
，求的通项公式.
已知数列中，，且
，求的通项公式.
设数列满足，求数列的通项公式.
已知数列满足
，求数列的通项公式.
数列中，求数列的通项公式.
已知数列中的分别为直线
在轴、轴上的截距，且，则数列的通项公式为 ．
已知数列满足
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
已知数列满足，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
设正项数列满足，
，则数列的通项公式是______．
1.3.6证明数列通项
已知数列的首项．
求证：数列为等比数列.
数列{}的前n项和为，设，证
明：数列是等比数列，并求出的通项公式.
已知数列满足：
且，求证：为等差数列.
已知曲线，过上一点作一
斜率为的直线交曲线于另一点（且，点列的横坐标构成数列，其中.
求与的关系式.
已知数列满足
，判断数列是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出.
1.3.7奇偶性求通项
已知数列中， ，求证：数列是等比数列.
已知数列的前n项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和．
1.4 数列求和
1.4.1倒序相加
已知函数，若等比数列满足..，则（ ）．
A．2020 B．
C．2 D．
已知函数，数列是正项等比
数列，且，则__________．
设函数，定义
，其中，，则______.
已知函数，数列是正项
等比数列，且，______．
设数列的通项公式为
，利用等差数列前项和公式的推导方法，可得数列的前2020项和为___________.
1.4.2错位相减
已知数列{}，{}的各项为正，且＝，数列{}的前项和满足＝＋．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若＝，求数列{}的前项和．
给出以下条件：①成等比数列；
②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
已知数列满足，，
.
(1)证明：数列是等比数列，并求其通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
1.4.3裂项相消
已知数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
已知各项为正数的等差数列的前项和
为，，且，，成等比数列.
(1)求；
(2)若，求的前项和.
已知数列是等差数列，且数列满
足：，，数列满足且的前项和
(1)求的通项公式
(2)求的前项和，并比较与的大小
已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
已知数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前2k项和.
已知在数列中，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的项的和.
已知数列和，，，
.
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和.
已知公差不为零的等差数列的前项和
为，， 成等比数列.
(1)求；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
已知数列的首项为正数，其前项和
满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列．已知，，，．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求的前项和．
已知等差数列的前n项和为，等比数
列{}的前n项和为，且.
(1)求数列和数列{}的通项公式；
(2)若数列满足，证明：.
设数列的前n项和为，
则（ ）
A.
B．
C．
D．
1.4.4分组求和
已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
已知数列满足，
数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，，求.
已知数列的前n项和为，且满足
，数列的前n项和为．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)试比较与的大小．
1.4.5绝对值求和
已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
已知等差数列中，公差，是
和的等比中项；
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2） 求数列的前n项和.
1.4.6奇偶求和
已知数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列.
(2)求数列的前n项和.
已知中，，求的
值．
设数列的前n项和为，满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求的表达式
课后练习
1.1等差数列
设等差数列的前项和为，且，，则_________
设为等差数列的前项和，，则（ ）
A. B.
C. D.
已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，则的值为( )
A． B．
C． D．
设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．4 B．17
C．68 D．136
（多选）记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C． D．
等比数列的公比，，则使成立的正整数的最大值为________.
我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要依照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第5个孩子分到棉花为（ ）
A．133斤 B．116斤
C．99斤 D．65斤
已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
已知数列是首项为，公差为d的等差
数列，前n项和为，满足，则（ ）
A．35 B．40
C．45 D．50
若是等差数列的前项和，
，则（ ）
A．13 B．39
C．45 D．21
已知等差数列的前项和分别为，若，则__________.
等差数列和的前项和分别为和，且，则________．
已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______．
（多选）等差数列的前n项和分别为，则下列说法正确的有（ ）
A．数列是递增数列
B．
C．
D．
设为等差数列的前项和
.若，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．36 B．45
C．63 D．75
（多选）公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．中最大 D．
（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B．该数列的公差
C． D．
设等差数列的前n项和为，且，则当n＝_ __时，最小．
（多选）在等差数列中，，，且，为数列的前项和，则（ ）
A．公差 B．
C．
D．使的的最小值为
（多选）设等差数列的公差为，前项和为．若，且，则（ ）
A． B．
C． D．当时，取得最小值
1.2等比数列
数列中，，，若，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．63 B．
C．81 D．
已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（ ）
A．4 B．5
C．4或5 D．5或6
若在等比数列中，，，那么（ ）
A．20 B．18
C．16 D．14
中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼．
有A，B两种细菌，若每个细菌A在一个单位时间内能杀死1个细菌B、并且A在杀死B的同时将自身分裂成2个同样的细菌，现有1个细菌A和914个细菌B，则细菌A将细菌B全部杀死，至少需要________个单位时间．
等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10
C．4 D．
设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为
D．
1.3数列求通项
设数列的前项和为，，，则________.
已知数列中，，前项和，则的通项公式为___________.
已知数列的各项均为正数，为其前n项和，，.令，则数列的前25项和是___________.
数列的前n项和为，试判断是否为等差数列．
已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，.
已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为.
已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
在数列中，， ，则_______．
若数列满足，，则满足不等式的最大正整数n为（ ）
A．28 B．29
C．30 D．31
数列的首项，，则__________．
在数列中，，，且对任意的，都有，则数列的通项公式为______．
已知数列满足
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
已知数列满足(n∈N*)，且，则数列的通项公式为________．
已知数列满足，.求数列的通项公式；
在数列中，，，则____________．
1.4数列求和
已知函数，，正项等比数列满足，则值是多少？.
已知函数对任意的，都有，数列满足….求数列的通项公式.
设数列的前n项和为，且满足（）．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)令，求数列的前n项和.
已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
已知数列满足，.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
已知数列是等差数列，其前n项和为，，，数列满足(且)，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
在等差数列中，
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
