第27讲：抛物线解析版
【基础知识回顾】
抛物线的定义
已知定点,定直线，定点到定直线的距离等于；
动点A到定点距离于到定直线的距离相等，即：。
2、抛物线的标准方程及几何性质
图形
标准方程
焦点
准线方程
焦半径
【典型题型讲解】
考点一：抛物线的定义
例1.已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．
故选：B．
【方法总结】
抛物线的定义
【练一练】
1.若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
【答案】A
【详解】
设点，
因为抛物线方程为x2=8y，
所以其准线方程为，
又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，
由抛物线的定义得：，
交点，
所以点P的纵坐标为6，
故选：A
2.已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】
由得，所以F到直线l的距离为
故选：B
3.已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，若中点的横坐标为则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的横坐标为4，
设，，，，，
则．
故选：．
4.在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】B
【详解】
解：由题意可得抛物线开口向右，
焦点坐标，，准线方程，
由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，
即，解之可得.
故选：B.
考点二：抛物线方程
例1.如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
【答案】D
【详解】
由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.
故选：D
【方法总结】
抛物线标准方程
【练一练】
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
抛物线的方程为，
所以焦点坐标为.
故选：C
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为的焦点坐标为，
所以抛物线的焦点坐标是，
故选：B.
3.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：抛物线上一点到焦点的距离为，
由抛物线的定义知，即，所以，所以，
抛物线的焦点坐标为，
故选：A.
4.（多选）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为
【答案】AB
【详解】
由题设，抛物线可化为，
∴开口向上，焦点为，准线方程为.
故选：AB
5.抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知抛物线开口向上或向下，
，令，焦点坐标为
准线为
故选：C
考点三：抛物线的线长
例1.若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
抛物线：的焦点
所以直线的方程为，
设，，
由，消去并整理得，
所以，.
故选：C.
【方法总结】
抛物线的线长公式
【练一练】
1.已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【详解】
解：因为直线与轴的交点为，
所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，
所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，
设，
由，得，
所以，
所以，
故选：C
2.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】
由点在抛物线上得，设，由直线过定点得
，解得（舍去2），
所以
故选：C.
3.若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】抛物线：的焦点
所以直线的方程为，
设，，
由，消去并整理得，
所以，.
故选：C.
4.已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A B两点，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】C
【解析】因为直线与轴的交点为，
所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，
所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，
设，
由，得，
所以，
所以，
故选：C
5.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.
【答案】（1）；（2）.
（1），
所以，即抛物线C的方程.
（2）设，
由得
所以，
所以
.
6.已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
【答案】（1），焦点坐标为；（2）8.
【详解】
解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
7.已知动圆经过点，并且与直线相切
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求
【答案】（1）（2）16
【详解】
（1）设，则依题意可得，
化简得，
所以动圆圆心P的轨迹M的方程为
（2）直线的方程为，即，
联立，消去并整理得，
设，，
则，，
由弦长公式可得.
所以
【巩固练习】
1.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
4．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3 C．4 D．8
【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
5．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【详解】抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
7．已知直线l过点（1,0）且垂直于 轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
解得：，，
由抛物线方程可得：，
焦点坐标为.第27讲：抛物线原卷版
【基础知识回顾】
抛物线的定义
已知定点,定直线，定点到定直线的距离等于；
动点A到定点距离于到定直线的距离相等，即：。
2、抛物线的标准方程及几何性质
图形
标准方程
焦点
准线方程
焦半径
【典型题型讲解】
考点一：抛物线的定义
例1.已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法总结】
抛物线的定义
【练一练】
1.若抛物线上一点到焦点的距离为8，则点的纵坐标为（ ）
A．6 B． C．7 D．
2.已知是抛物线的焦点，直线是抛物线的准线，则到直线的距离为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3.已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，若中点的横坐标为则（ ）
A． B． C． D．
4.在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．4
考点二：抛物线方程
例1.如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
【方法总结】
抛物线标准方程
【练一练】
1.抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4.（多选）对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为
5.抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
考点三：抛物线的线长
例1.若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
【方法总结】
抛物线的线长公式
【练一练】
1.已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
2.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3.若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为（ ）
A．3. B．4 C．5 D．6
4.已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A B两点，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于两点，求弦长.
6.已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
7.已知动圆经过点，并且与直线相切
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线与轨迹相交于两点，求
【巩固练习】
1.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
3．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
4．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3 C．4 D．8
5．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
7．已知直线l过点（1,0）且垂直于 轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.
