第26讲：双曲线原卷版
【基础知识回顾】
双曲线定义
两个定点，且；
动点P到这两个定点距离之差的绝对值为定值，即：；
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，
实、虚轴 实轴；虚轴；
的关系 ()
【典型题型讲解】
考点一：双曲线定义
例1.若双曲线：的左 右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
【方法总结】
双曲线的定义应用
【练一练】
1.已知，分别是双曲线的左 右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
2.双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
3.已知双曲线的左 右焦点分别为 ，若点在的右支上，且，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
4.已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
5.已知F1，F2分别为双曲线C：的左 右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.
考点二：双曲线标准方程
例1.椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
例2.方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】
双曲线标准方程
【练一练】
1.双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
2.若方程需表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
3.“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．或
5.已知曲线，（ ）
A．若E表示双曲线，则 B．若，则E表示双曲线
C．若E表示椭圆，则 D．若且，则E表示椭圆
6.已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
考点三：双曲线的性质
例1.已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例2.已知，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且；则的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】
双曲线实轴，虚轴，渐近线，离心率
【练一练】
1.已知双曲线－＝1（）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
2.若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知双曲线：，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
5.双曲线的离心率是_______，渐近线方程是_______．（两条都写出）
6.已知分别是双曲线的左 右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为___________.
7.已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.
8.点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是（ ）
A． B． C． D．
9.设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
【巩固练习】
1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
5．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
6．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
8．双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
9．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
11.已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
12．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
13．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
14．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
15．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
16．设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
17．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.第26讲：双曲线解析版
【基础知识回顾】
双曲线定义
两个定点，且；
动点P到这两个定点距离之差的绝对值为定值，即：；
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性质 顶点 ， ，
渐近线
离心率 ，
实、虚轴 实轴；虚轴；
的关系 ()
【典型题型讲解】
考点一：双曲线定义
例1.若双曲线：的左 右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．26或6 B．26 C．6 D．28
【答案】B
【详解】
因为双曲线方程为：，
所以，
则，
又，
所以点P在双曲线E上的左支上，由双曲线的定义得，
解得，
故选：B
【方法总结】
双曲线的定义应用
【练一练】
1.已知，分别是双曲线的左 右焦点，若是双曲线左支上的点，且.则的面积为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】C
【详解】
因为P是双曲线左支上的点，所以，
两边平方得，
所以.
在中，由余弦定理得，
所以，所以.
故选：C
2.双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
【答案】C
【详解】
解：由双曲线定义可知：
解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选：C.
3.已知双曲线的左 右焦点分别为 ，若点在的右支上，且，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】B
【解析】由题可知：双曲线方程为，所以又，所以
故选：B
4.已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线
【答案】C
【解析】由题意，得
当时，，可知点P的轨迹为双曲线左支；
当时，，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C
5.已知F1，F2分别为双曲线C：的左 右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于________.
【答案】4
【解析】由双曲线方程知：，
在△PF1F2中，由余弦定理知：
，
∴，而，
∴.
故答案为：4.
考点二：双曲线标准方程
例1.椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
【答案】D
【详解】
因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
例2.方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为方程表示双曲线，
所以，
即，
解得：.
故选：A.
【方法总结】
双曲线标准方程
【练一练】
1.双曲线的左顶点与右焦点间的距离为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】D
【详解】
由，知，，所以左顶点与右焦点间的距离为．
故选：D.
2.若方程需表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【详解】
若方程需表示双曲线，
则，解得或.
故选：A.
3.“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若方程表示双曲线，
则，得，
则能推出，不能推出，
“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，
故选：A．
4.过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【解析】由，知：.
当焦点在x轴上时，设双曲线方程为，将点(1,1)代入可得，则双曲线方程为.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为.故选：D
5.已知曲线，（ ）
A．若E表示双曲线，则 B．若，则E表示双曲线
C．若E表示椭圆，则 D．若且，则E表示椭圆
【答案】D
【解析】因为曲线，当解得或时曲线表示双曲线；
当即且时曲线表示椭圆；故选：D
6.已知两点，若，那么点的轨迹方程是______.
【答案】
【详解】
设点的坐标为
因为
所以点的轨迹为焦点在轴的双曲线
且
所以
所以点的轨迹方程为：
故答案为：
考点三：双曲线的性质
例1.已知双曲线的实轴的一个端点为，虚轴的一个端点为，且，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
依题意，，
所以双曲线的方程为.
故选：C
例2.已知，是双曲线的两个焦点，为双曲线上的一点，且；则的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
.
故选：B
例3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
双曲线的一条渐近线方程为，，
离心率.
故选：C.
【方法总结】
双曲线实轴，虚轴，渐近线，离心率
【练一练】
1.已知双曲线－＝1（）的实轴长为4，离心率为 ，则双曲线的标准方程为（ ）
A．－＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－＝1
【答案】A
【详解】
因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，
由离心率为，可得＝，c＝2，
所以b＝＝＝4，
则双曲线的标准方程为－＝1.
故选：A
2.若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵渐近线为，即，
∴，∴.∴，
∴.
故选：D
3.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
双曲线的焦点为，，顶点为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，顶点为，，
所以，
所依椭圆的方程为.
故选：C
4．已知双曲线：，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【详解】
双曲线方程，，
，.
故选：C.
5.双曲线的离心率是_______，渐近线方程是_______．（两条都写出）
【答案】
【解析】由题可知，，故
渐近线方程为：即.故答案为：；
6.已知分别是双曲线的左 右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】5
【解析】设
双曲线的离心率.
故答案为：
7.已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_____________.
【答案】
【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为，
根据椭圆及双曲线的定义：，
所以，，
由余弦定理可得，，
整理得，.故答案为：.
8.点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，
因为，由双曲线的定义，可得，解得，
所以双曲线的一条渐进方程是，即.
所以双曲线的一条渐进方程是.
故选：C.
9.设双曲线的左、右焦点分别为，，且，一条渐近线的倾斜角为60°．
（1）求双曲线的标准方程和离心率；
（2）求分别以，为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程．
【答案】（1），2 （2）
【详解】
（1）由题意，
又
解得：
故双曲线C的标准方程为：，离心率为
（2）由题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为
故
即椭圆方程为：
【巩固练习】
1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
2．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
3．若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
5．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
6．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B． C． D．
详解：由题可知
在中，
在中,
故选B.
7．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
8．双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【详解】由已知可得，
，故选D．
9．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A． B． C． D．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
11.已知双曲线的渐近线方程为，则__________．
【详解】解：对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，
则，，又双曲线的渐近线方程为，
所以，即，解得；
故答案为：
12．已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
【详解】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案为：4.
13．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
14．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.
【详解】解：由题可知，离心率，即，
又，即，则，
故此双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
15．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
【详解】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
16．设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_________．
【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，
因为其一条渐近线为，
所以，.
故答案为：
17．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.
【详解】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
