2023年高考数学解三角形专题训练
知识点总结
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径
(其中R是三角形外接圆的半径)
定理变形
化边为角：a:b:c=sinA:sinB:sinC, ，，，a=2RsinA，b=2RsinB,c=2RsinC
化角为边: sinA= sinB= sinC=
正弦定理可以解决下列两类三角形问题
已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角
例：已知角B，C，a
解法：由A+B+C=180°，求角A
由正弦定理，，，求出b和c
已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边
例：已知a，b，A
解法：由正弦定理，求出角B
由A+B+C=180°，求出角C
再使用正弦定理求出c边
三角形面积
r，其中r是三角形内切圆半径
,其中p=
，R为外接圆半径
,R为外接圆半径
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍
定理变形
三角形的五心
垂心 三角形的三边上的高相交于一点
重心 三角形三条中线的相交于一点
外心 三角形三边垂直平分线相交于一点
内心 三角形三内角的平分线相交于一点
旁心 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
链接高考
专题训练
1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18 C．9 D．18
答案：C
2.△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
答案：A
3.在△ABC中，若a = 2bsinA , 则B为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
答案：D
4.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
答案：
5.已知△ABC的三边分别是a, b，c ，且面积S ＝，则角C ＝___ __
答案：450
6.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于__________．
解析：在△ABC中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4.
答案：4
7.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC＝________.
解析：∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，
∴设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，解得a＝k，b＝k，c＝k，
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
答案：7∶5∶3
8.已知△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，P＝sinB＋cosB，则P的取值范围为________．
解析：由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accosB.又∵b2＝ac，
∴ac＝a2＋c2－2accosB，∴(1＋2cosB)ac＝a2＋c2≥2ac，
∴cosB≥，∴0＜B≤，∴P＝sinB＋cosB＝sin(B＋)，
∵0＜B≤，∴＜B＋≤＋，∴sin＜sin(B＋)≤1，
∴＜sin(B＋)≤1，
∴P的取值范围是(1，]．
答案：(1，]
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC＋ccosA的值为________．
解析：将a＝2RsinA，c＝2RsinC，代入acosC＋ccosA＝2RsinAcosC＋2RsinCcosA＝2Rsin(A＋C)＝2RsinB＝b.
答案：b
10.在△ABC中，若AB＝6，BC＝3，AC＝5，则·＝________.
解析：由余弦定理，得cos∠ABC＝，
·＝||·||cos(180°－∠ABC)＝6×3×(－)＝－10.
答案：－10
11.已知在△ABC中，a＋b＝，A＝，B＝，则a的值为________．
解析：由正弦定理，得b＝＝a.由a＋b＝a＋a＝， 解得a＝3－3.
答案：3－3
12.在△ABC中，·>0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则()2等于________．
解析：由·＝－·>0，得·<0，所以∠BAC为钝角．
由S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，得sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.
由余弦定理，得
()2＝||2＋||2－2||·||cos∠BAC＝34＋15.
答案：34＋15
13.在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于__________．
解析：由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，得
＝2R＝＝＝.
答案：
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解：(1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－，0＜C＜π，
∴sin C＝.
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，得c＝4.
由cos 2C＝2cos2C－1＝－及0＜C＜π得cos C＝±.
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2±b－12＝0(b＞0)，
解得b＝或2，∴或
15.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)·sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
故cos A＝－，A＝120°.
(2)由①得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C.
又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.
因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.
所以△ABC是等腰的钝角三角形．
16.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设的值。
解：（Ⅰ）由
由b2=ac及正弦定理得
于是
（Ⅱ）由
由余弦定理 b2=a2+c2－2accosB 得a2+c2=b2+2ac·cos B=5.
17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
解：(1)因为cos B＝>0，B∈(0°，90°)，所以sin B＝.
由正弦定理＝可得＝，所以a＝.
(2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，所以ac＝3，ac＝10.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，
即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.
因为a＋c>0，所以a＋c＝2.
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A的大小．
(2)若a＝7，求△ABC的周长的取值范围．
解：(1)由正弦定理得：
acos C＋asin C－b－c＝0 sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C sin A－cos A＝1 sin(A－30°)＝ A－30°＝30° A＝60°.
(2)由已知：b>0，c>0，b＋c>a＝7，
由余弦定理49＝b2＋c2－2bccos＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－(b＋c)2＝(b＋c)2(当且仅当b＝c时等号成立)，
所以(b＋c)2≤4×49，又b＋c>7，所以7
从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求sin2＋cos 2B的值；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理可知，a2＋c2－b2＝2accos B，
由题意知a2＋c2－b2＝ac，∴2accos B＝ac，∴cos B＝.
又在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin＝cos，
则原式＝cos2＋cos 2B＝＋2cos2B－1＝2cos2B＋cos B－＝＋－＝－.
(2)∵b＝2，sin B＝，∴由a2＋c2－b2＝ac得，a2＋c2－4＝ac，
即a2＋c2＝ac＋4≥2ac，整理得ac≤，
∴S△ABC＝acsin B≤sin B＝，则△ABC面积的最大值为.2023年高考数学解三角形专题训练
知识点总结
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径
(其中R是三角形外接圆的半径)
定理变形
化边为角：a:b:c=sinA:sinB:sinC, ，，，a=2RsinA，b=2RsinB,c=2RsinC
化角为边: sinA= sinB= sinC=
正弦定理可以解决下列两类三角形问题
已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角
例：已知角B，C，a
解法：由A+B+C=180°，求角A
由正弦定理，，，求出b和c
已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边
例：已知a，b，A
解法：由正弦定理，求出角B
由A+B+C=180°，求出角C
再使用正弦定理求出c边
三角形面积
r，其中r是三角形内切圆半径
,其中p=
，R为外接圆半径
,R为外接圆半径
余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍
定理变形
三角形的五心
垂心 三角形的三边上的高相交于一点
重心 三角形三条中线的相交于一点
外心 三角形三边垂直平分线相交于一点
内心 三角形三内角的平分线相交于一点
旁心 三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
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专题训练
1.已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18 C．9 D．18
2.△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
3.在△ABC中，若a = 2bsinA , 则B为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
4.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
5.已知△ABC的三边分别是a, b，c ，且面积S ＝，则角C ＝___ __
6.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于__________．
7.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC＝________.
8.已知△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，P＝sinB＋cosB，则P的取值范围为________．
9.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC＋ccosA的值为________．
10.在△ABC中，若AB＝6，BC＝3，AC＝5，则·＝________.
11.已知在△ABC中，a＋b＝，A＝，B＝，则a的值为________．
12.在△ABC中，·>0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则()2等于________．
13.在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于__________．
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
15.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且
2asin A＝(2b＋c)·sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
16.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设的值。
17.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A的大小．
(2)若a＝7，求△ABC的周长的取值范围．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac.
(1)求sin2＋cos 2B的值；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．