高考复习排列组合与二项式定理专题训练
基础知识梳理
排列与排列数
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn.
组合与组合数
(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn.
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 排列数公式 Amn＝n(n－1)---(n－m＋1) ＝n!/(n－m)! 组合数公式 Cmn＝Amn/Amm ＝n(n－1)---(n－m＋1)/m! ＝n!/[m!(n－m)!]
性质 (1)Ann＝n！ (2)0！＝1 (1)C0n＝1；(2)Cmn＝Cn-mn； (3)Cmn＋Cm-1n＝Cmn+1
备注 n，m∈N＋且m≤n
【知识拓展】与组合数相关的几个公式
(1)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n(全组合公式)．
(2)Cmn＋Cmn-1＋…＋Cmm+1＋Cmm＝C m+1n+1.
(3)kCkn＝nCk-1n-1.
二项式定理
(1)定理：公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn
(n∈N＋)叫作二项式定理．
(2)通项：Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第k＋1项．
二项式系数与项的系数
(1)二项式系数：
二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0，1，2，---，n})叫作二项式系数．
(2)项的系数：
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．
二项式系数的性质
性质 内容
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn-mn
性质 内容
增减性 当k＜(n＋1)/2时，二项式系数逐渐增大； 当k＞(n＋1)/2时，二项式系数逐渐减小．
最大值 当n是偶数时，中间一项(第n/2＋1项)的二项式系数最大，最大值为Cn/2n； 当n是奇数时，中间两项(第(n－1)/2＋1项和第(n＋1)/2＋1项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C(n-1)/2n或C(n+1)/2n
各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.
链接高考
专题训练
1.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()
A．10种 B．60种 C．125种 D．243种
答案：B
2.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
答案：B
3.要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20 B．16 C．10 D．6
解析：选B.不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16种选法．
4.12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为( )
A．123 B．312 C．A D．12＋11＋10
解析：选C.从12名选手中选出3名并安排奖次，共有A种不同的获奖情况．
5.某班从8名运动员中选取4人参加4×100米接力赛，则不同参赛方案的种数是( )
A．1 680 B．24 C．1 681 D．25
解析：选A.不同的参赛方案共有A＝1 680种．
6.某停车站画出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )
A．A种 B．2AA种 C．8A种 D．9A种
解析：选D.将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A＝9A种．
7.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14 C．12 D．15
解析：选A.法一：(直接法)分两类：
第1类，张、王两同学都不参加，有C＝1种选法；
第2类，张、王两同学中只有1人参加，有CC＝8种选法．故共有1＋8＝9种选法．
法二：(间接法)共有C－C＝9种不同选法．
8.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．
解析：把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有A＝4×3×2×1＝24种．
答案：24
9.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有______________种(以数字作答)．
解析：(1)有1名老队员入选，则有CCA＝36种排法．(2)有2名老队员入选，则入选人数有CC种选法．按排出场序号有CA种方法．所以老队员选2人，有CCCA种排法．
根据分类加法计数原理，符合要求的排法有CCA＋CCCA＝36＋12＝48种排法．
答案：48
10. (1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
解析：选C.(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.
11.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
解析：选B.(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rC·xr，令r＝2，得22×C＝4×10＝40，故选B.
12.(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )
A．42 B．35 C．28 D．21
解析：选D.二项式(1＋x)7展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，
令r＝2，则T3＝Cx2，所以x2的系数为C＝21.
13.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
解析：选C.因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cxr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以系数为15.
14.若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
解析：选B.x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C×2＝6.
15.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析：选A.令x＝－1，即得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
16.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为( )
A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3
解析：选A.令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
17.设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：Tr＋1＝Cx6－r＝(－a)rCx6－r，所以6－r＝3时，r＝2，
所以A＝15a2，6－r＝0时，r＝4，所以B＝15a4，
所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a＞0，得a＝2.
答案： 2
18.若(ax2＋)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．
解析：(ax2＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·()r＝Ca5－rx10－，
令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.
答案：－2
19.6个人坐在一排10个座位上，则(用数字表示)：
(1)空位不相邻的坐法有多少种？
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
解：(1)第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有A＝720种，第二步：将4个空位插入有C＝35种，所以空位不相邻的坐法共有A×C＝720×35＝25 200种．
(2)第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有A＝720种，第二步：先将3个空位捆绑当作一个空位，再将产生的“两个”空位采用插空法插入有A＝42种，所以4个空位只有3个相邻的坐法有A×A＝720×42＝30 240种．高考复习排列组合与二项式定理专题训练
基础知识梳理
排列与排列数
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn.
组合与组合数
(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn.
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 排列数公式 Amn＝n(n－1)---(n－m＋1) ＝n!/(n－m)! 组合数公式 Cmn＝Amn/Amm ＝n(n－1)---(n－m＋1)/m! ＝n!/[m!(n－m)!]
性质 (1)Ann＝n！ (2)0！＝1 (1)C0n＝1；(2)Cmn＝Cn-mn； (3)Cmn＋Cm-1n＝Cmn+1
备注 n，m∈N＋且m≤n
【知识拓展】与组合数相关的几个公式
(1)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n(全组合公式)．
(2)Cmn＋Cmn-1＋…＋Cmm+1＋Cmm＝C m+1n+1.
(3)kCkn＝nCk-1n-1.
二项式定理
(1)定理：公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn
(n∈N＋)叫作二项式定理．
(2)通项：Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第k＋1项．
二项式系数与项的系数
(1)二项式系数：
二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0，1，2，---，n})叫作二项式系数．
(2)项的系数：
项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．
二项式系数的性质
性质 内容
对称性 与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn-mn
性质 内容
增减性 当k＜(n＋1)/2时，二项式系数逐渐增大； 当k＞(n＋1)/2时，二项式系数逐渐减小．
最大值 当n是偶数时，中间一项(第n/2＋1项)的二项式系数最大，最大值为Cn/2n； 当n是奇数时，中间两项(第(n－1)/2＋1项和第(n＋1)/2＋1项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C(n-1)/2n或C(n+1)/2n
各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即
C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，
即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.
链接高考
专题训练
1.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()
A．10种 B．60种 C．125种 D．243种
2.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
3.要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )
A．20 B．16 C．10 D．6
4.12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为( )
A．123 B．312 C．A D．12＋11＋10
5.某班从8名运动员中选取4人参加4×100米接力赛，则不同参赛方案的种数是( )
A．1 680 B．24 C．1 681 D．25
6.某停车站画出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( )
A．A种 B．2AA种 C．8A种 D．9A种
7.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )
A．9 B．14 C．12 D．15
8.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．
9.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有______________种(以数字作答)．
10. (1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
11.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
A．80 B．40 C．20 D．10
12.(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )
A．42 B．35 C．28 D．21
13.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )
A．30 B．20 C．15 D．10
14.若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 B．6 C．9 D．12
15.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
16.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为( )
A．1或－3 B．－1或3 C．1 D．－3
17.设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
18.若(ax2＋)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．
19.6个人坐在一排10个座位上，则(用数字表示)：
(1)空位不相邻的坐法有多少种？
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
