2023年高考数学数列专题训练
知识点总结
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
数学语言表达式 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)，或 an－an－1＝d (n≥2，n∈N*，d为常数)．
等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，
通项公式：an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)．
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (m，n∈N*)．
(2)等差数列的前n项和公式
(n∈N*)
等差数列及前n项和的性质
(1) 若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5) S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则：；
若n为奇数，则：
等差数列的前n项和公式与函数的关系
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
常用的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.
求数列通项的方法技巧总结
作差法
累加法 一般式：
而对于右边的式子求和，常见的有几种情况：
1.等差或等比数列求和，分组求和（求和公式）
2.错位相减求和（求和公式）
3.前n项和，前n项平方和，前n项立方和（求和公式）
4.裂项相消（裂项方法）
累乘法
取对数法
取倒数法
构造法
数列求和的方法
错位相减 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.如：在等比数列前n项和公式推导时我们用到了错位相减法.
倒序相加 在一个数列{an}中，如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序求和法.如：等差数列前n项和推导时，我们采用的就是倒序相加法.
分段求和 把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列,再求和
分组求和 如果一个数列的通项公式可写成cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法.
裂项相消 列项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和.
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专题训练
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A.36 B.35 C.34 D.33
答案 C
解析 a2＝S2－S1＝(22－2×2)－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33，a2＋a18＝34.
2.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn＝3an－3，则a4＝( )
A.27 B.81 C.93 D.243
答案 B
解析 根据2Sn＝3an－3，可得2Sn＋1＝3an＋1－3，两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，即an＋1＝3an.
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，则a4＝3a3＝32a2＝33a1＝81.
3.已知等差数列的前n项和为Sn，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
设S3＝k，S6＝4k，则S9＝3S6－3S3＝9k，S12＝3S9－3S6＋S3＝16k，所以＝.
4.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 C
解析 等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1＋a－(2n－2＋a)，
化简得an＝2n－2.则a3a5＝2×23＝16.
5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为________.
答案 2
解析 设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8.∵＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
6.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.
答案
解析 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝
7.设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
答案
解析 法一(累乘法) 把(n＋1)a－na＋an＋1an＝0分解因式，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0，
∴＝，∴···…·＝×××…×，
∴＝.又∵a1＝1，∴an＝a1＝.
法二(迭代法) 同法一，得＝，∴an＋1＝an，
∴an＝·an－1＝··an－2＝···an－3
…＝···…·a1＝a1.又∵a1＝1，∴an＝.
法三(构造特殊数列法) 同法一，得＝，
∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列，∴nan＝1·a1＝1，∴an＝.
8.已知等差数列{bn}中，bn＝log2(an－1)，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
解 (1)设等差数列{bn}的公差为d，
由a1＝3，a3＝9，得b1＝log2(a1－1)＝log22＝1，b3＝log2(a3－1)＝log28＝3，
∴b3－b1＝2＝2d，∴d＝1，∴bn＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知bn＝n，∴log2(an－1)＝n，∴an－1＝2n，∴an＝2n＋1.
故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)
＝(2＋22＋…＋2n)＋n＝＋n＝2n＋1＋n－2.
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
解 (1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
10.已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 由已知得an＋1－＝an－＝.
因为a1＝，所以a1－＝，所以是以为首项，为公比的等比数列.
(2)解 由(1)知an－＝×，所以an＝×＋.
11.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为
an＝×＝(－1)n－1·(n∈N*).
(2)由(1)得Sn＝1－＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤且Sn－≠0.
所以数列{Tn}的最大项的值为，最小项的值为－.2023年高考数学数列专题训练
知识点总结
等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
数学语言表达式 an＋1－an＝d (n∈N*，d为常数)，或 an－an－1＝d (n≥2，n∈N*，d为常数)．
等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，
通项公式：an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)．
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d (m，n∈N*)．
(2)等差数列的前n项和公式
(n∈N*)
等差数列及前n项和的性质
(1) 若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5) S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则：；
若n为奇数，则：
等差数列的前n项和公式与函数的关系
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
常用的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.
求数列通项的方法技巧总结
作差法
累加法 一般式：
而对于右边的式子求和，常见的有几种情况：
1.等差或等比数列求和，分组求和（求和公式）
2.错位相减求和（求和公式）
3.前n项和，前n项平方和，前n项立方和（求和公式）
4.裂项相消（裂项方法）
累乘法
取对数法
取倒数法
构造法
数列求和的方法
错位相减 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用错位相减法.如：在等比数列前n项和公式推导时我们用到了错位相减法.
倒序相加 在一个数列{an}中，如果与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序求和法.如：等差数列前n项和推导时，我们采用的就是倒序相加法.
分段求和 把数列的每一项分成几项，使转化为几个等差、等比数列,再求和
分组求和 如果一个数列的通项公式可写成cn=an+bn的形式，而数列{an},{bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，可采用分组求和法.
裂项相消 列项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和.
链接高考
专题训练
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于( )
A.36 B.35 C.34 D.33
2.设Sn为数列{an}的前n项和.若2Sn＝3an－3，则a4＝( )
A.27 B.81 C.93 D.243
3.已知等差数列的前n项和为Sn，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
4.若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5等于( )
A.4 B.8 C.16 D.32
5.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为________.
6.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.
7.设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝________.
8.已知等差数列{bn}中，bn＝log2(an－1)，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn.
9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并求Sn的最小值.
10.已知数列{an}满足a1＝，且an＋1＝an＋，n∈N*.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
11.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
