第30讲：函数的奇偶性和周期性原卷版
【基础知识回顾】
1、函数的奇偶性
奇函数：（1），（2），（3）图像关于原点对称
偶函数：（1），（2）图像关于y轴对称
2、奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.
常见函数的奇偶性
奇函数：,
偶函数：
4、函数的周期性
(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
(2)常见结论：若，则；若，则；若，则.
【典型题型讲解】
考点一：函数的奇偶性的判断
例1.（多选）下列函数中，既是奇函数且在上单调递增的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【方法总结】
函数的奇偶性判断方法：图像法和解析式法
【练一练】
1.判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
2.（多选）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3.判断下列函数的奇偶性:
(1); (2).
4.下列函数为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
6.下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：函数奇偶性的应用
例1.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，
例2.已知是奇函数，当时，，则的值是（ ）
A．8 B．8 C．4 D．4
【方法总结】
函数的奇偶求函数的解析式
【练一练】
1.已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
3.已知是奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
4.若为奇函数，则的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
5.已知为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
6.已知，若，则（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．10
7.若函数为奇函数，则=（ ）
A． B． C． D．1
考点三：函数的周期性
例1.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
例2.函数是偶函数，最小正周期为4，当时，，则＝（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．8
【方法总结】
函数的周期性的应用
【练一练】
1.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
2．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则（ ）
A．4 B． C．2 D．-2
3．设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5.函数满足，若，则（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．2022
6.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7.设为奇函数，对任意均有，已知则等于（ ）
A．-3 B．3 C．4 D．-4
8．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．5
【巩固练习】
1.函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
2.函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3.函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
5．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
6.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
7.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
9.函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
11．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A． B．
C． D．第30讲：函数的奇偶性和周期性解析版
【基础知识回顾】
1、函数的奇偶性
奇函数：（1），（2），（3）图像关于原点对称
偶函数：（1），（2）图像关于y轴对称
2、奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
(ⅰ)两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数.
(ⅱ)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数.
(ⅲ)一个奇函数与一个偶函数的积函数是奇函数.
常见函数的奇偶性
奇函数：,
偶函数：
4、函数的周期性
(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期．
(2)常见结论：若，则；若，则；若，则.
【典型题型讲解】
考点一：函数的奇偶性的判断
例1.（多选）下列函数中，既是奇函数且在上单调递增的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】，的图象关于原点对称，，因此ABD都是奇函数，
，C不是奇函数，实质上也不是偶函数，排除C，
又在上有增有减，只有和是增函数．故选：BD．
【方法总结】
函数的奇偶性判断方法：图像法和解析式法
【练一练】
1.判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.
【详解】
（1）因为定义域为：
所以定义域关于原点对称，
又因为，所以函数f（x）是偶函数；
（2）因为定义域为R，关于原点对称
又因为，则，，
所以是非奇非偶函数；
2.（多选）下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称
A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.
故选：AC
3.判断下列函数的奇偶性:
(1); (2).
【答案】(1)偶函数.(2)奇函数.
【详解】
解:(1)函数的定义域为R,
∵对定义域内的每一个x,都有,为偶函数.
(2)函数的定义域为R,∵对定义域内的每一个x,都有,
为奇函数.
4.下列函数为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
A.函数是非奇非偶函数，
BC都是奇函数，
D.满足，定义域是，是偶函数.
故选:D.
5．下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
对于A，定义域为，，是偶函数，而在上递减，A不符合；
对于B，定义域为，，是偶函数，在上递增，B符合；
对于C，定义域为，不是偶函数，C不符合；
对于D，定义域为，，是奇函数，D不符合.
故选：B
6.下列函数中，是偶函数且值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：对于A：，为偶函数，但值域为，故A不正确；
对于B：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故B不正确；
对于C：定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C不正确；
对于D：为偶函数，且值域为，故D正确；
故选：D.
考点二：函数奇偶性的应用
例1.已知是上的奇函数，且当时，，则当时，
由题意，设，则，则，
因为函数为上的奇函数，则，得，
即当时，.
例2.已知是奇函数，当时，，则的值是（ ）
A．8 B．8 C．4 D．4
【答案】D
【详解】
由奇函数知：.
故选：D
【方法总结】
函数的奇偶求函数的解析式
【练一练】
1.已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，所以.
故选：D.
2.已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【详解】
函数是奇函数，当时，，
.
故选：A.
3.已知是奇函数，当时，，则（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【详解】
由题意，.
故选：D.
4.若为奇函数，则的值为（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
【答案】C
【详解】
∵为R上的奇函数，
∴得a=1.验证满足题意.
故选：C
5.已知为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由图可知，因为函数是偶函数，所以，
故选：D
6.已知，若，则（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．10
【答案】A
【详解】
，
又，所以
故选：A
7.若函数为奇函数，则=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】
∵为奇函数，∴，得．
故选：A.
考点三：函数的周期性
例1.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【详解】
解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，
又由，则有，
则，
故选：C.
例2.函数是偶函数，最小正周期为4，当时，，则＝（ ）
A．－2 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【详解】
函数的周期为，
则，
又函数f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x，
，
所以，
故选：B
【方法总结】
函数的周期性的应用
【练一练】
1.若是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
【详解】
解：根据题意，若是定义在上的奇函数，则，
又由，则有，
则，
故选：C.
2．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则（ ）
A．4 B． C．2 D．-2
【答案】D
【详解】
因为，
所以函数是周期为4的周期函数，
则（1），
故选：D．
3．设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意得函数是定义在上的奇函数，可知，
由于对任意都有，所以是周期为的周期函数，
所以
.
故选：A
4．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意可知，函数的周期为，又因为函数为奇函数，所以，可得.
故选：A.
5.函数满足，若，则（ ）
A．3 B．-3 C．6 D．2022
【答案】B
【详解】
因为函数满足，即，
则，
所以函数是周期函数，周期为8，
所以．
故选：B．
6.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由得，
所以函数是周期为的周期函数，
又是奇函数，所以，，，，
所以，
所以，
故选：D．
7.设为奇函数，对任意均有，已知则等于（ ）
A．-3 B．3 C．4 D．-4
【答案】A
【详解】
为奇函数，对任意均有，
.
故选：A.
8．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（ ）
A．0 B． C．2 D．5
【答案】B
【详解】
解：根据题意，函数满足，则有，
即函数是周期为8的周期函数，
函数是定义在上的奇函数，则，
(4)，
(5)（1），
则（1），
故选：B.
【巩固练习】
1.函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
2.函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3.函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
5．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
6.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
7.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
8.已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】当时，，所以在上递减，
是偶函数，所以在上递增.
注意到，
所以B选项符合.
故选：B
9.函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
10．设函数,则（ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，
所以函数为奇函数．
又因为函数在上单调递增，在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递增．
故选：A．
11．设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，
，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
12．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A． B．
C． D．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
