第29讲函数的单调性及函数最值解析版
【基础知识回顾】
函数的单调性的定义
(1)在区间上的任意取两个值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．
(2)在区间上的任意取两个值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．
2.常见函数的单调性
一次函数，单独递增，单独递减
二次函数，单调性考虑开口和对称轴
指数函数，单独递增，单独递减
对数函数，单独递增，单独递减
3.函数的最大值和最小值
(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．
(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．
【典型题型讲解】
考点一：函数的单调性
例1.已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：A
例2.下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，
故选：A
【方法总结】
函数的单调性的定义应用
常见函数单调性的判断
【练一练】
1.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
【答案】B
【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x2－2x－1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.
2.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确，
对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误，
对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误，
对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误，
故选：A
3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A中，根据幂函数的性质，可得函数为奇函数，不符合题意；
对于B中，函数，满足，
所以函数为奇函数，不符合题意；
对于C中，根据二次函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意；
对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，当，可得为单调递增函数，符合题意.
故选：D.
4.函数f(x)=在R上（ ）
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增 D．先增后减
【答案】B
【详解】
选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.
故选：B.
5.设函数是上的减函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当时，选项A、B、C都不正确；
因为，所以，
因为在上为减函数，所以，故D正确.
故选：D
6.函数的图象如图所示，则（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增
【答案】A
【详解】
由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的，则函数在上是单调递增的；图像在上从左到右是“下降”的，则函数在上是单调递减的.
故选：A.
7.函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
【答案】D
【详解】
的对称轴为，开口向上，
所以在在单调递减，在单调递增，
故选：D
考点二：含有参数的单调性
例1.若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
因为函数在上单减，
所以，得，所以k的取值范围为.故答案为：
例2.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是
二次函数的对称轴为，抛物线开口向上，
函数在，上单调递减，要使在区间，上单调递减
例3.若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.
若f（x）＝ 是R上的单调减函数，得则 ，解得，
故答案为：.
【方法总结】
灵活应用常见函数的单调性
【练一练】
1.如果在区间上为减函数，则的取值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意；
当时，显然不成立；
当时，要使在上为减函数，
则，解得：，∴；
综上： ，
故选：C．
2.若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有（ ）
A．a≥ B．a≤ C．a> D．a<
【答案】D
【详解】
函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.
故选：D.
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
函数的对称轴为，由于在上是减函数，
所以.
故选:A
4.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
5.函数在上是减函数.则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数在上是减函数，
根据一次函数的性质，则满足，解得.
故选：B
6.若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.故选：A.
考点三：函数的最值
例1.已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【详解】
因为在上单减，所以在上单减，
即在上单减，
所以f(x)的最大值为.
故选：D
【方法总结】
函数最大值和最小值求法
【练一练】
1.已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】
在单调递减，
.
故选：C.
2.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
【答案】B
【详解】
解：当时，在区间上为增函数，则当时，取得最大值，即，解得；
当时，在区间上为减函数，则当时，取得最大值，即，解得舍去，
所以，
故选：B
3.若，都有不等式，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，由不等式对一切成立可得，.因为在上是减函数，所以当时，，所以，即，所以.
故选：D
【巩固练习】
1．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
2．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
3．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为：.
故选：D.
5．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【详解】函数，
在区间 上单调递减，
函数 在区间上单调递增，故选A.
6.设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.第29讲函数的单调性及函数最值原卷版
【基础知识回顾】
函数的单调性的定义
(1)在区间上的任意取两个值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数．
(2)在区间上的任意取两个值，，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．
2.常见函数的单调性
一次函数，单独递增，单独递减
二次函数，单调性考虑开口和对称轴
指数函数，单独递增，单独递减
对数函数，单独递增，单独递减
3.函数的最大值和最小值
(1)对于任意的，都有；存在，使得，那么，我们称是函数的最大值．
(2)对于任意的，都有；存在，使得，那么我们称是函数的最小值．
【典型题型讲解】
考点一：函数的单调性
例1.已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【方法总结】
函数的单调性的定义应用
常见函数单调性的判断
【练一练】
1.下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( )
A. y＝1 B. y＝－ ＋2 C. y＝－x2－2x－1 D. y＝1＋x2
2.下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
4.函数f(x)=在R上（ ）
A．是减函数 B．是增函数
C．先减后增 D．先增后减
5.设函数是上的减函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
6.函数的图象如图所示，则（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增
7.函数的单调区间为（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增
考点二：含有参数的单调性
例1.若函数在上单减，则k的取值范围为__________.
例2.如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是
例3.若f（x）＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为____.
【方法总结】
灵活应用常见函数的单调性
【练一练】
1.如果在区间上为减函数，则的取值（ ）
A． B． C． D．
2.若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有（ ）
A．a≥ B．a≤ C．a> D．a<
3.若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.函数在上是减函数.则（ ）
A． B． C． D．
6.若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考点三：函数的最值
例1.已知函数，则的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．2
【方法总结】
函数最大值和最小值求法
【练一练】
1.已知函数，则在区间上的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
2.若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ）
A．-1 B．1 C．3 D．1或3
3.若，都有不等式，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【巩固练习】
1．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
5．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
6.设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
