中国科学技术大学2022年特殊类型创新班招生考试初试数学A试题（含解析）

中国科学技术大学2022年特殊类型（创新班）招生考试
数学A
注意事项：
答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证填写在答题卡上。
将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
本试卷共5题，每题20分，共100分。需要写出必要的计算和证明过程。
求满足且整除的正整数集合个数。
求满足如下条件的所有函数；
定义域为；
；
恒成立。
欧拉有著名公式，求最小正整数，使得。
在圆周上独立地随机选取个点，求这个点可以被半圆周覆盖的概率。
设。
证明：：方程有唯一实数解，记作。
数列是否为单调数列 请证明你的结论。
2022年中科大创新班数学真题答案解析
2022年6月16日
一、求a+b+c=2022且abc可被2022整除的正整数{a,b,c}的个数。
解：2022=2×3×337，又0，b,c不可能为三个奇数，故只考虑3和337两个因子即可；
若存在a=b≠c,则有2a+c=2022,若337c,则337a,
设c=337c1,a=337a1,则2a1+c1=6,a1·c1不可能为3的倍数；
因此a,b,c互不相等，由对称性，不妨设337c:
(1)e=337,a+b=1685,共[
1685
3
=561种
1348
(2)c=574,a+b=1348,共
=449种
3
(3)c=1011,a+b=1011,此时a,b必有一偶数，恒成立，共505种
(4)c=1348,a+b=674,共[
=224种
(5)c=1685,a+b=337,共
=112种
注意到{337,674,1011}在计算过程中重复了共2次，故：
总计561+449+505+224+112-2=1849种.
分析：本题为基础数论题，难度不大，但是需要一定的耐心和细心。本题和2017年北大博雅真
题高度相似，在课程中也已经多次训练。
二、求满足下列所有条件的函数∫(x):
山定义城-号为国0)=0sne)-号n原=2恒成立.
解：令s回=如fe.回-3原=，则有国)-号，原-8（写》
gm）-=
9
8
故有：
9
9(r)=
80
f()=arcsin8+2km(k∈)，当x∈[-左0)U(0,l
9x)=0,当x=0
分析：本题为经典的函数方程题，和2021年的真题有异曲同工之妙。函数方程题有较为经典而
套路的思考方式和做题方法，该题对比日常练习的函数方程难度属于中等，优秀的同学可以轻松
完成。
三、欧拉公式：1+京十…+是+…=
6’
求最小正整数n,使得
2>
6
2022
k2
2022
k=n+1
十
即有伏+可
1
k(k-1)