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题型一、基础类
1．（2012成都中考·18）（8分）如图，一次函数为常数）的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点，且点的坐标为．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点的坐标．
2．（2013成都中考·19）（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象都经过点
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较：当时，和的大小．
3．（2014成都中考·19）（10分）如图，一次函数为常数，且的图象与反比例函数的函数交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
4．（2015成都中考·19）（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积．
5．（2016成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积．
6．（2017成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）是第一象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点的坐标．
7．（2019成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
题型二、线段比转换——A型相似或X型相似
1．（2020成都中考·19）（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
2．（2022成都中考·18）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
题型三、等腰三角形存在性问题
1．（2021成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．
题型四、平行四边形存在性问题
1．（2018成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
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题型一、基础类
1．（2012成都中考·18）（8分）如图，一次函数为常数）的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点，且点的坐标为．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点的坐标．【交点问题】
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】31：数形结合
【分析】（1）分别把点的坐标代入一次函数与反比例函数解析式求解即可；
（2）联立两函数解析式，解方程组即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）两函数图象相交于点，
，，
解得，，
反比例函数的表达式为，
一次函数的表达式为；
（2）联立，
解得（舍去），，
所以，点的坐标为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，把交点的坐标代入解析式计算即可，比较简单，注意两函数的交点可以利用联立两函数解析式解方程的方法求解．
2．（2013成都中考·19）（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象都经过点
（1）求点的坐标及反比例函数的表达式；
（2）结合图象直接比较：当时，和的大小．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】16：压轴题
【分析】（1）将点代入一次函数解析式求出的值，然后将点坐标代入反比例函数解析式，求出的值即可得出反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象即可判断和的大小．
【解答】解：（1）将的坐标代入，
得：，
解得：，
故点坐标为，
将点的坐标代入：，
得：，
解得：，
则反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象可得：
当时，；
当时，；
当时，．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握．
3．（2014成都中考·19）（10分）如图，一次函数为常数，且的图象与反比例函数的函数交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值．
【考点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】计算题；数形结合
【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出，得到点坐标为，然后把点坐标代入中求出，从而得到一次函数解析式为；
（2）由于将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，则直线与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组只有一组解，
然后消去得到关于的一元二次函数，再根据判别式的意义得到关于的方程，最后解方程求出的值．
【解答】解：（1）把代入得，
所以点坐标为，
把代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
（2）将直线向下平移个单位长度得直线解析式为，
根据题意方程组只有一组解，
消去得，
整理得，
△，解得或，
即的值为1或9．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数与几何变换．
4．（2015成都中考·19）（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称最短路线问题
【分析】（1）把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；
（2）作点作关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点，此时的值最小，求出直线的解析式，令，即可得出点坐标．
【解答】解：（1）把点代入一次函数，
得，
解得，
，
点代入反比例函数，
得，
反比例函数的表达式，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得，，
点坐标；
（2）过点作关于轴的对称点，交轴于点，连接，交轴于点，此时的值最小，
，
设直线的解析式为，
把，两点代入得，，
解得，，
直线的解析式为，
令，得，
点坐标，，
．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被轴或轴分割为2个三角形的面积和．
5．（2016成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线向上平移3个单位长度后与轴交于点，与反比例函数图象在第四象限内的交点为，连接，，求点的坐标及的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）将点坐标分别代入、求得、的值即可；
（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点得坐标，可将的面积转化为的面积．
【解答】解：（1）根据题意，将点代入，得：，
解得：，
正比例函数的解析式为：，
将点代入，得：，
解得：；
反比例函数的解析式为：；
（2）直线向上平移3个单位后解析式为：，
则点的坐标为，
联立两函数解析式，解得：或，
第四象限内的交点的坐标为，
，
．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
6．（2017成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）是第一象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若的面积为3，求点的坐标．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）把代入，可得，把代入，可得反比例函数的表达式为，再根据点与点关于原点对称，即可得到的坐标；
（2）过作轴于，交于，先设，则，根据的面积为3，可得方程，求得的值，即可得到点的坐标．
【解答】解：（1）把代入，可得，
，
把代入，可得，
反比例函数的表达式为，
点与点关于原点对称，
；
（2）如图所示，过作轴于，交于，
设，则，
的面积为3，
，
解得或2，
，或．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
7．（2019成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用
【分析】（1）联立方程求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
（2）联立方程求得交点的坐标，进而求得直线与轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．
【解答】解：（1）由得，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式是；
（2）解得或，
，
由直线的解析式为得到直线与轴的交点为，
．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．
题型二、线段比转换——A型相似或X型相似
1．（2020成都中考·19）（10分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点的直线与轴、轴分别交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若的面积为的面积的2倍，求此直线的函数表达式．
【考点】：反比例函数系数的几何意义；：待定系数法求反比例函数解析式；：一次函数图象上点的坐标特征；：反比例函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求一次函数解析式
【专题】66：运算能力；534：反比例函数及其应用
【分析】（1）把代入即可得到结论；
（2）根据题意得到，，，利用三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
（2）直线过点，
，
过点的直线与轴、轴分别交于，两点，
，，，
的面积为的面积的2倍，
，
，
当时，，
当时，，
直线的函数表达式为：或．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积公式，正确的理解题意是解题的关键．
2．（2022成都中考·18）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长；
（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【专题】反比例函数及其应用；图形的相似；应用意识
【分析】（1）将点坐标分别代入一次函数解析式和反比例函数解析式可求解；
（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质和勾股定理可求解；
（3）分别求出，，的解析式，联立方程组可求解．
【解答】解：（1）一次函数的图象过点，
，
，
点，
反比例函数的图象过点，
；
反比例函数的解析式为：，
联立方程组可得：，
解得：，，
点；
（2）如图，过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
当时，则，
点，
，
当时，则，
点，，
，
综上所述：的长为或；
（3）如图，当时，设直线与轴交于点，过点作轴于，设与轴的交点为，连接，交于点，
直线与轴交于点，
点，
点，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点，
直线的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：，，
点，
直线的解析式为：，
垂直平分，
设的解析式为，
，
，
点，，
点是的中点，点，
点．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
题型三、等腰三角形存在性问题
1．（2021成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点的直线交反比例函数的图象于另一点，交轴正半轴于点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的函数表达式及点的坐标．
【考点】反比例函数综合题
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；应用意识
【分析】（1）根据一次函数的图象经过点，求出点的坐标，再代入，即可求得答案；
（2）过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据是以为底边的等腰三角形，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式，联立直线解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点的坐标．
【解答】（1）一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
，
反比例函数的表达式为；
（2）如图，过点作轴于点，
在中，令，得，
解得：，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
点的坐标为．
【点评】本题是一次函数与反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图象的交点，等腰三角形性质等，熟练掌握待定系数法和等腰三角形性质等相关知识是解题关键．
题型四、平行四边形存在性问题
1．（2018成都中考·19）（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】53：函数及其图象
【分析】（1）根据一次函数的图象经过点，可以求得的值，从而可以解答本题；
（2）根据平行四边形的性质和题意，可以求得点的坐标，注意点的横坐标大于0．
【解答】解：（1）一次函数的图象经过点，
，得，
一次函数的解析式为，
一次函数的解析式为与反比例函数的图象交于，
，得，
，得，
即反比例函数解析式为：；
（2）点，
，
设点，点，，
当且时，四边形是平行四边形，
，
解得，或，
点的坐标为，或，．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
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