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3．（2014成都中考·28）（12分）如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
4．（2015成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值；
（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
5．（2016成都中考·26）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的右侧．
（1）求的值及点，的坐标；
（2）当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；
（3）当点位于第二象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
6．（2017成都中考·28）（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点为，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
（3）如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
7．（2018成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
8．（2019成都中考·28）（12分）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
9．（2020成都中考·28）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2021成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；
（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．
11．（2022成都中考·25）（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．
（1）当时，求，两点的坐标；
（2）连接，，，，若△的面积与的面积相等，求的值；
（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
1．（2012成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数为常数）的图象与轴交于点，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线，，为常数，且经过，两点，并与轴的正半轴交于点．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设是轴右侧抛物线上一点，过点作直线的平行线交轴于点．是否存在这样的点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若是抛物线对称轴上使的周长取得最小值的点，过点任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，，，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
【考点】：二次函数综合题
【专题】16：压轴题
【分析】（1）首先求得的值和直线的解析式，根据抛物线对称性得到点坐标，根据、点坐标利用交点式求得抛物线的解析式；
（2）存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．如答图1所示，过点作轴于点，构造全等三角形，利用全等三角形和平行四边形的性质求得点坐标和平行四边形的面积．注意：符合要求的点有两个，如答图1所示，不要漏解；
（3）本问较为复杂，如答图2所示，分几个步骤解决：
第1步：确定何时的周长最小．利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决；
第2步：确定点坐标，从而直线的解析式可以表示为；
第3步：利用根与系数关系求得、两点坐标间的关系，得到，．这一步是为了后续的复杂计算做准备；
第4步：利用两点间的距离公式，分别求得线段、和的长度，相互比较即可得到结论：为定值．这一步涉及大量的运算，注意不要出错，否则难以得出最后的结论．
【解答】解：（1）经过点，
，解得，
直线解析式为，．
抛物线对称轴为，且与轴交于，
另一交点为，
设抛物线解析式为，
抛物线经过，
，解得，
抛物线解析式为；
（2）假设存在点使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则且．如答图1，
当点在点位置时，过点作轴于点，
，，
又，
，
，即，
，解得与点重合，舍去），
，；
当点在点位置时，过点作轴于点，
同理可求得，，．
（3）要使的周长最小，只需最小即可．
如答图2，连接交于点，因为点、关于对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时最小最小值为线段的长度）．
，，
直线解析式为，
，，即．
令经过点的直线为，则，即，
则直线的解析式是：，
，，
联立化简得：，
，．
，，
．
根据两点间距离公式得到：
．
又；
同理
．
，
为定值．
【点评】本题是难度很大的中考压轴题，综合考查了初中数学的诸多重要知识点：代数方面，考查了二次函数的相关性质、一次函数的相关性质、一元二次方程根与系数的关系以及二次根式的运算等；几何方面，考查了平行四边形、全等三角形、两点间的距离公式、轴对称最短路线问题等．本题解题技巧要求高，而且运算复杂，因此对考生的综合能力提出了很高的要求．
2．（2013成都中考·28）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，为常数）的顶点为，等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，直角顶点在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过，两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点在直线上滑动，且与交于另一点．
若点在直线下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标；
取的中点，连接，．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数综合题
【专题】16：压轴题
【分析】（1）先求出点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）首先求出直线的解析式和线段的长度，作为后续计算的基础．
若为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当为直角边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移4个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点；
②当为斜边时：点到的距离为．此时，将直线向右平移2个单位后所得直线与抛物线的交点，即为所求之点．
由可知，为定值，因此当取最小值时，有最大值．
如答图2所示，作点关于直线的对称点，由分析可知，当、、中点）三点共线时，最小，最小值为线段的长度．
【解答】解：（1）等腰直角三角形的顶点的坐标为，的坐标为，
轴，轴，
点的坐标为．
抛物线过，两点，
，解得：，，
抛物线的函数表达式为：．
（2）方法一：
，，，
直线的解析式为：．
设平移前抛物线的顶点为，则由（1）可得的坐标为，且在直线上．
点在直线上滑动，可设的坐标为，
则平移后抛物线的函数表达式为：．
解方程组：，
解得，
，．
过点作轴，过点作轴，则
，．
．
若以、、三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当为直角边时：点到的距离为（即为的长）．
由，，可知，
为等腰直角三角形，且，．
如答图1，过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线的解析式为：，
，，解得，
直线的解析式为：．
解方程组，得：，
，．
②当为斜边时：，可求得点到的距离为．
如答图2，取的中点，则点的坐标为．
由，，可知：
为等腰直角三角形，且点到直线的距离为．
过点作直线，交抛物线于点，则为符合条件的点．
可设直线的解析式为：，
，，解得，
直线的解析式为：．
解方程组，得：，
，，，．
综上所述，所有符合条件的点的坐标为：
，，，，，．
方法二：
，，
，
抛物线顶点在直线上，设，
抛物线表达式：，
与抛物线的交点，
以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，，
①当为直角顶点时，，，
，
，，，，
②当为直角顶点时，点可视为点绕点顺时针旋转而成，
将点平移至原点，则点平移后，
将点绕原点顺时针旋转，则点，
将平移至点，则点平移后即为点，
，
，，
，，
③当为直角顶点时，同理可得，，
综上所述，所有符合条件的点的坐标为：
，，，，，．
存在最大值．理由如下：
由知为定值，则当取最小值时，有最大值．
如答图2，取点关于的对称点，易得点的坐标为，．
连接，，，易得，且，
四边形为平行四边形．
．
．
当、、三点共线时，最小，最小值为．
的最大值为．
【点评】本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称最短路线问题等知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．
3．（2014成都中考·28）（12分）如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【考点】二次函数综合题
【专题】代数几何综合题；压轴题
【分析】（1）首先求出点、坐标，然后求出直线的解析式，求得点坐标，代入抛物线解析式，求得的值；
（2）因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是或．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；
（3）由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：．如答图3，作辅助线，将转化为；再由垂线段最短，得到垂线段与直线的交点，即为所求的点．
【解答】解：（1）抛物线，
令，解得或，
，．
直线经过点，
，解得，
直线解析式为：．
当时，，
，．
点，在抛物线上，
，
．
抛物线的函数表达式为：．
即．
（2）由抛物线解析式，令，得，
，．
因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是或．
①若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，
．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），
．
，
，即，
解得：．
②若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，
．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），
．
，
，
，
解得，
，
，
综上所述，或．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：，，
如答图，过点作轴于点，则，，，
，
．
过点作轴，则．
过点作于点，则．
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．
点横坐标为，直线解析式为：，
，
，．
综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作，，交直线于点，
，
，
，
当且仅当时，最小，
点在整个运动中用时为：，
，
，
．
【点评】本题是二次函数压轴题，难度很大．第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会．
4．（2015成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且．
（1）直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中，用含的式子表示）；
（2）点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为，求的值；
（3）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点，，，为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【专题】压轴题
【分析】（1）由抛物线与轴交于两点、，求得点的坐标，作轴于，根据平行线分线段成比例定理求得的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线的函数表达式．
（2）设点，，，利用待定系数法确定，从而确定，根据最值确定的值即可；
（3）分以为边或对角线2种情况讨论即可．
【解答】解：（1）令，则，
解得，
点在点的左侧，
，
如图1，作轴于，
，
，
，
，
，
，
点的横坐标为4，
代入得，，
，
把、坐标代入得，
解得，
直线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴于点
设点，，，
则，
解得：，
，，
，
，
有最大值，
；
（3）令，即，
解得，，
，
，
抛物线的对称轴为，
设，
①若是矩形的一条边，
由知，可知点横坐标为或不符合题意，舍去），
将代入抛物线方程得，
，则，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
即，，，
．
②若是矩形的一条对角线，
则线段的中点坐标为，，，
，则，
四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
解得，，，
．
综上可得，点的坐标为，．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得的坐标是本题的关键．
5．（2016成都中考·26）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的右侧．
（1）求的值及点，的坐标；
（2）当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式；
（3）当点位于第二象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）把点代入抛物线解析式即可求出，令，列方程即可求出点、坐标．
（2）先求出四边形面积，分两种情形：①当直线边相交与点时，根据，求出点坐标即可解决问题．②当直线边相交与点时，同理可得点坐标．
（3）设，、，且过点的直线的解析式为，得到，利用方程组求出点坐标，求出直线解析式，再利用方程组求出点坐标，列出方程求出，即可解决问题．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点．
，解得：，
当时，有，
，，
，．
（2），，，
．
从面积分析知，直线只能与边或相交，所以有两种情况：
①当直线边相交与点时，则，
，点，过点和的直线的解析式为．
②当直线边相交与点时，同理可得点，，过点和，的直线的解析式为．
综上所述：直线的函数表达式为或．
（3）设，、，且过点的直线的解析式为，
，
，
．
由，
，
，，
点是线段的中点，
根据中点坐标公式得，，
点，．
假设存在这样的点如图，直线，设直线的解析式为
由，解得：，，
四边形是菱形，
，
，
整理得：，
，
，
解得，
，
，
，，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形，
以为对角线的四边形能成为菱形，此时点的坐标为，．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会利用参数解决问题，用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．（2017成都中考·28）（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点为，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围．
（3）如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）由题意抛物线的顶点，，，设抛物线的解析式为，把，代入可得，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，由，消去得到，由题意，抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；
（3）情形1，四边形能成为正方形．作轴于，轴于．由题意易知，当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，推出，，易证，可得，，可得，理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形是正方形，同法可得，利用待定系数法即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点，，，设抛物线的解析式为，
把，代入可得，
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，
由，消去得到，
由题意，抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得，
满足条件的的取值范围为．
（3）结论：四边形能成为正方形．
理由：情形1，如图，作轴于，轴于．
由题意易知，当是等腰直角三角形时，四边形是正方形，
，，
易证，可得，，
，
点在上，
，解得或（舍弃），
时，四边形是正方形．
情形2，如图，四边形是正方形，同法可得，
把代入中，，解得或0（舍弃），
时，四边形是正方形．
综上，四边形能成为正方形，或6．
【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
7．（2018成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，以直线对称轴的抛物线与直线交于，两点，与轴交于，直线与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设直线与抛物线的对称轴的交点为，是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若，且与面积相等，求点的坐标；
（3）若在轴上有且仅有一点，使，求的值．
【考点】：二次函数综合题
【专题】16：压轴题
【分析】（1）根据已知列出方程组求解即可；
（2）作轴，轴，垂足分别为，，求出直线的解析式，再分两种情况分别分析出点坐标即可；
（3）根据题意分析得出以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，为的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得，，；
二次函数的解析式为：，
（2）作轴，轴，垂足分别为，，设对称轴交轴于．
则，
，
，，；
，
解得，
，，
同理可求，，
，
①在下方），，
，
解得，，，
，
，
．
②在上方时，直线与关于对称，
，
，
解得，，
，
，
，，
综上所述点的坐标为，，．
（3）由题意可知：，
，
，
，
解得，，
，
如图，设中点为，
点有且只有一个，
以为直径的圆与轴只有一个交点，且为切点，
轴，
为的中点，
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．
8．（2019成都中考·28）（12分）如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；
（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．
【考点】二次函数综合题
【专题】综合题；二次函数图象及其性质
【分析】（1）根据待定系数法，把点，，的坐标代入得到方程组求解即可；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，由翻折得，求出的长，可得，求出的长，则坐标可求；
（3）由题意可知△为等边三角形，分两种情况讨论：①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．证出△，可得垂直平分，则点在直线上，可求出直线的解析式，②当点在轴的下方时，点在轴下方．同理可求出另一直线解析式．
【解答】解：（1）由题意得：
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）抛物线与轴交于，，
，抛物线的对称轴为直线，
如图，设抛物线的对称轴与轴交于点，则点的坐标为，，
由翻折得，
在中，由勾股定理，得，
点的坐标为，，，
，
由翻折得，
在中，，
点的坐标为．
（3）解：取（2）中的点，，连接，
，，
△为等边三角形．分类讨论如下：
①当点在轴的上方时，点在轴上方，连接，．
，△为等边三角形，
，，，
，
△，
．
点在抛物线的对称轴上，
，
，
又，
垂直平分，
由翻折可知垂直平分，
点在直线上，
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
②当点在轴的下方时，点在轴下方．
，△为等边三角形，
，，．
，
△，
，
，，
．
，
设与轴相交于点，
在中，，
点的坐标为．
设直线的函数表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为．
综上所述，直线的函数表达式为或．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，有一定的难度．
9．（2020成都中考·28）（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【专题】代数几何综合题；二次函数的应用；图形的相似；运算能力；推理能力
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）设，，①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，得出，，将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可，②当点在直线左侧时，由①的方法同理可得点的坐标为，，代入抛物线的解析可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为．
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即．
（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是．
（3）存在．符合条件的点的坐标为或．
，
直线的解析式为，
设，，
①当点在直线右侧时，如图2，过点作轴于点，过点作直线于点，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
．
②当点在直线左侧时，
由①的方法同理可得点的坐标为，．
此时点的坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2021成都中考·28）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点的坐标为．点为抛物线上一动点，连接，，过点的直线与抛物线交于另一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点的横坐标与纵坐标相等，，且点位于轴上方，求点的坐标；
（3）若点的横坐标为，，请用含的代数式表示点的横坐标，并求出当时，点的横坐标的取值范围．
【考点】二次函数综合题
【专题】压轴题；函数的综合应用；应用意识；创新意识
【分析】（1）由抛物线，顶点的坐标为，可得，，又的图象过，即可解得，从而得到抛物线表达为；
（2）在中，令得，可得或，分两种情况分别求，①当时，过作交抛物线于，此时，先求出直线解析式为，再求得直线解析式为，由得；②当时，过作轴于，过作轴于，作关于的对称点，作直线交抛物线于，由，，可知，而关于的对称点，有，故，是满足条件的点，设，根据，，可得，解得，，从而求得直线解析式为，再解得；
（3）设交轴于，过作轴于，过作于，证明，可得，即，，故，设直线解析式为，将代入得，可得直线解析式为，由得，解得点的横坐标为；当时，，可知时，最小值是12，故当时，点的横坐标的取值范围是．
【解答】解：（1）抛物线，顶点的坐标为，
，，即抛物线为，
抛物线经过，即的图象过，
，解得，
抛物线的函数表达为；
（2）在中，令得，
解得或，
或，
①当时，过作交抛物线于，此时，如图：
在中，令，得，
解得或，
，
设直线解析式为，将、代入得：
，解得，
直线解析式为，
，
设直线解析式为，将代入得，
直线解析式为，
由得（此时为点，舍去）或，
；
②当时，过作轴于，过作轴于，作关于的对称点，作直线交抛物线于，连接，如图：
，，
，，
中，，
，，
，，
中，，
，
关于的对称点，
，
，即是满足条件的点，
设，
关于的对称点，
，，
，
两式相减变形可得，代入即可解得（此时为，舍去）或，
，，
设直线解析式为，将，，代入得；
，解得，
直线解析式为，
解得或（此时为，舍去），
，
综上所述，坐标为或；
（3）设交轴于，过作轴于，过作于，如图：
点的横坐标为，
，又，
，，，
，
，
且，
，
，即
，
，
，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
由得，
解得的横坐标），，
点的横坐标为；
当时，
，
时，最小值是12，此时，
当时，点的横坐标的取值范围是．
【点评】本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．
11．（2022成都中考·25）（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为．
（1）当时，求，两点的坐标；
（2）连接，，，，若△的面积与的面积相等，求的值；
（3）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【专题】数形结合；分类讨论；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识
【分析】（1）当时，直线为，联立解析式解方程组即得，；
（2）分两种情况：当时，根据△的面积与的面积相等，知，可证明，得，，可求，，即可得；
当时，过作交轴于，由△的面积与的面积相等，可得，证明，可得，，从而，，即可得；
（3）设二根为，，可得，，，，，设直线解析式为，可得，即可得，，从而直线解析式为，故直线经过定点．
【解答】解：（1）当时，直线为，
由得：或，
，；
（2）当时，如图：
△的面积与的面积相等，
，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，，
，
，
在中，令得，
，，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得；
当时，过作交轴于，如图：
在中，令得，
，，
△的面积与的面积相等，
，
、关于轴对称，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
在中，令得，
解得或，
，，
把，代入得：
，
解得，
综上所述，的值为或；
（3）直线经过定点，理由如下：
由得：，
设二根为，，
，，，，
、关于轴对称，
，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得：，
，，
，，
直线解析式为，
令得，
直线经过定点．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换，三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是根据已知求出点的坐标．
