中小学教育资源及组卷应用平台
一、反比例函数
1．（2012成都中考·24）（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数为常数，且在第一象限的图象交于点，．过点作轴于，过点作轴于，直线与交于点．若为大于的常数）．记的面积为，的面积为，则 ．（用含的代数式表示）
【考点】：反比例函数综合题
【专题】64：几何直观；16：压轴题
【分析】根据，都在反比例函数的图象上得出假设出，的坐标，进而得出的面积以及的面积，进而比较即可得出答案．
【解答】解：方法一：过点作轴于点，
，
又，
，
则，
又，
，
由，得：，
，
，
则，
．
方法二：如图2，过点作于点，于点，
，
，
，
，
，
设点坐标为：，则点坐标为：，
的面积为：，
的面积为：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用以及三角形面积求法，根据已知表示出，的点坐标是解题关键．
2．（2014成都中考·25）（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接，．若的面积是20，则点的坐标为 ．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】11：计算题；31：数形结合
【分析】设点坐标为，根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组可得到点坐标为，点坐标为，再利用待定系数法确定直线的解析式为，直线的解析式为，于是利用轴上点的坐标特征得到点坐标为，点坐标为，然后利用得到关于的方程，求出的值即可得到点坐标．
【解答】解：交轴于，如图，设点坐标为
解方程组得或，
点坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，
点坐标为
，
，解得，
点坐标为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式．
3．（2017成都中考·24）（4分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点，称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点，均在反比例函数的图象上．若，则 ．
【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：一次函数图象上点的坐标特征
【分析】（方法一）设点，，，则，，，，由可得出，再根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于、、的方程组，解之即可得出值．
（方法二）由一次函数图象上点的坐标特征结合的长度可设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于、的方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（方法一）设点，，，则，，，，
，
，即．
点，均在反比例函数的图象上，
，
解得：．
（方法二）直线上有两点、，且，
设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，．
点，均在反比例函数的图象上，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出关于、、的方程组是解题的关键．
4．（2018成都中考·24）（4分）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”， 为双曲线的“眸径“，当双曲线的眸径为6时，的值为 ．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】534：反比例函数及其应用
【分析】以为边，作矩形交双曲线于点、，联立直线及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点、的坐标，由的长度可得出点的坐标（点在直线上找出点的坐标），由图形的对称性结合点、和的坐标可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：以为边，作矩形交双曲线于点、，如图所示．
联立直线及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
点的坐标为，，点的坐标为，．
，
，点的坐标为，．
根据图形的对称性可知：，
点的坐标为，．
又点在双曲线上，
，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点的坐标是解题的关键．
5．（2020成都中考·24）（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为 ，或， ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】代数几何综合题；数据分析观念
【分析】法一：求出点、、的坐标，则，进而求解．
法二：利用对称性证明四边形是菱形即可．
【解答】解：法一：联立与并解得：，故点的坐标为，，
联立与同理可得：点，，点，，
或点，，点，，
这两条直线互相垂直，则，
则，
同理可得：，
则，即，
解得：或，
故点的坐标为，或，，
法二：由反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称，可得四边形的对角线相互平分，从而判定四边形为平行四边形，再有两条直线互相垂直，即四边形的对角线相互垂直可判定平行四边形 为菱形，所以四条边都相等，
接下来方法同上．
故答案为：，或，．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出、、的坐标，确定，进而求解．
二、二次函数
1．（2013成都中考·24）（4分）在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．有以下说法：
①；
②当时，的值随的增大而增大；
③当时，；
④面积的最小值为．
其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
【考点】二次函数综合题
【专题】压轴题
【分析】首先得到两个基本结论：
（Ⅰ）设，，联立两个解析式，由根与系数关系得到：，；
（Ⅱ）直线、关于轴对称．
利用以上结论，解决本题：
（1）说法①错误．如答图1，设点关于轴的对称点为，若结论①成立，则可以证明，得到．而是的外角，，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点、坐标，进而求得、、，验证等式成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：，当时，取得最小值为，故正确．
【解答】解：设，，其中，．
联立与得：，即，
，．
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，，
．
令，得，
直线与轴的交点坐标为，．
同理可得，直线的解析式为，直线与轴交点坐标为，．
，
直线、与轴的交点关于轴对称，即直线、关于轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，、关于轴对称，
点关于轴的对称点落在上．
连接，则，．
假设结论：成立，即，
，
又，
，
，
．
而是的外角，
，矛盾，
说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：，
．
由对称可知，为的角平分线，
，
．
．
如答图2所示，过点作轴于点，则，．
，
，，
．
．
即：为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当时，联立方程组：，得，，，，
，，
，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
，
当时，面积有最小值，最小值为．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故答案为：③④．
【点评】本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中、的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
2．（2015成都中考·25）（4分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程．
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征
【专题】压轴题；新定义
【分析】①解方程得：，，得到方程不是倍根方程，故①错误；②由是倍根方程，且，，得到，或，或于是得到，故②正确；③由点在反比例函数的图象上，得到，解方程得：，，故③正确；④由方程是倍根方程，得到，由相异两点，都在抛物线上，
得到抛物线的对称轴，于是求出，故④错误．
【解答】解：①解方程得：，，
方程不是倍根方程，故①错误；
②是倍根方程，且，，
，或，
，，
，故②正确；
③点在反比例函数的图象上，
，
解方程得：，，
，故③正确；
④方程是倍根方程，
设，
相异两点，都在抛物线上，
抛物线的对称轴，
，
，
，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
3．（2022成都中考·22）（4分）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
【考点】二次函数的应用
【专题】数形结合；待定系数法；配方法；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力
【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
【解答】解：物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
抛物线的顶点的纵坐标为20，且经过点，
，
解得：，（不合题意，舍去），
抛物线的解析式为，
，
抛物线的最高点的坐标为．
，
当时，的取值范围是：；
当时，，当时，，
，，
当时，的取值范围是：．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
三、几何
1．（2012成都中考·25）（4分）如图，长方形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段上任意取一点，沿，剪下一个三角形纸片（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段上任意取一点，沿将梯形纸片剪成两部分；
第三步：如图③，将左侧纸片绕点按顺时针方向旋转，使线段与重合，将右侧纸片绕点按逆时针方向旋转，使线段与重合，拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片．
（注裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ，最大值为 ．
【考点】：三角形中位线定理；：矩形的性质；：图形的剪拼；：旋转的性质
【专题】152：几何综合题；16：压轴题
【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于的大小．然后在矩形中探究的不同位置关系，得到其长度的最大值与最小值，从而问题解决．
【解答】解：画出第三步剪拼之后的四边形的示意图，如答图1所示．
图中，，
（三角形中位线定理），
又，四边形是一个平行四边形，
其周长为．
为定值，四边形的周长取决于的大小．
如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图．
过、点作边的平行线，分别交、于点、点，则四边形是一个矩形，这个矩形是矩形的一半．
是线段上的任意一点，是线段上的任意一点，
根据垂线段最短，得到的最小值为与平行线之间的距离，即最小值为4；
而的最大值等于矩形对角线的长度，即
四边形的周长，
四边形周长的最小值为，
最大值为．
故答案为：20，．
【点评】此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力．确定剪拼之后的图形，并且探究的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．
2．（2013成都中考·25）（4分）如图，，，为上相邻的三个等分点，，点在上，为的直径，将沿折叠，使点与重合，点与重合，连接，，．设，，．现探究，，三者的数量关系：发现当时，．请继续探究，，三者的数量关系：当时， ；当时， ．
（参考数据：，
【考点】圆的综合题
【专题】压轴题
【分析】如解答图所示，作辅助线，构造相似三角形．首先，在上取一点，使，连接，则与为顶角相等的两个等腰三角形，所以，得到；其次，证明，得到；由，整理得到的通项公式为：．将，代入，即可求得答案．
【解答】解：如解答图所示，连接、、．
由题意，点、、为圆上的等分点，
，（度．
在等腰中，过顶点作于点，
则，
．
连接、，在上取一点，使，连接．
，
与为顶角相等的两个等腰三角形，
．
，．
，，
．
在与中，
，，
．
，
．
．
由折叠性质可知，，，．
．
当时，；
当时，．
故答案为：，．
【点评】本题是几何综合题，难度很大．解决本题，需要综合运用圆、相似三角形、等腰三角形、三角函数、折叠性质等多个知识点，对几何综合能力要求很高．本题解答过程中，求得的通项公式：，这样的结果更具普遍性；也可以按照题中要求，对于4等分或12等分的情况分别求解．
3．（2014成都中考·24）（4分）如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的性质
【分析】根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可．
【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时，
过点作于点，
在边长为2的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出点位置是解题关键．
4．（2015成都中考·24）（4分）如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为 ．
【考点】：圆周角定理；：相似三角形的判定与性质
【专题】32：分类讨论
【分析】由于本题的等腰三角形底和腰不确定，所以要分三种情况讨论：①当时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；②当时，如图1，延长交于点，过点作于点，易得，利用相似三角形的性质求得，，然后利用相似三角形的判定定理，代入数据得出结果；③当时，如图2，连接并延长，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，则，易得，利用勾股定理得，，易得，利用相似三角形的性质可求出的值，设，则，利用相似三角形的判定定理得，利用相似三角形的性质得比例关系解得，在中，得的长．
【解答】解：①当时，
则，即线段的长为8．
②当时，如图1，延长交于点，过点作于点，则，，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
；
③当时，
如图2，连接并延长，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，
则，
，
在中，，，，
，
，，
，
，
设，则，
，，
，
，
，解得，
在中，，
综上所述，当是等腰三角形时，线段的长为8，，，
故答案为：8，，．
【点评】本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．
5．（2016成都中考·23）（4分）如图，内接于，于点，若，，的半径，则 ．
【考点】：三角形的外接圆与外心
【分析】首先作直径，连接，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得半径．
【解答】解：作直径，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（2016成都中考·25）（4分）如图，面积为6的平行四边形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线剪开，得到和纸片，再将纸片沿剪开为上任意一点），得到和纸片；
第二步：如图②，将纸片平移至处，将纸片平移至处；
第三步：如图③，将纸片翻转过来使其背面朝上置于处（边与重合，和在同侧），将纸片翻转过来使其背面朝上置于处，（边与重合，和在同侧）．
则由纸片拼成的五边形中，对角线长度的最小值为 ．
【考点】：平移的性质
【分析】根据平移和翻折的性质得到是等腰直角三角形，于是得到当最小时，对角线最小，即取最小值，当时，取最小值，过作于，根据平行四边形的面积得到，根据等腰直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，根据三角形的面积得到，即可得到结论．
【解答】解：，
，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，
当最小时，对角线最小，即取最小值，
当时，取最小值，
过作于，
平行四边形的面积为6，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了平移的性质，翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7．（2017成都中考·25）（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形，再沿的平分线折叠，如图2，点落在点处，最后按图3所示方式折叠，使点落在的中点处，折痕是，若原正方形纸片的边长为，则 ．
【考点】：正方形的性质；：矩形的性质；：翻折变换（折叠问题）
【分析】作于，于，交于．易知，首先证明，可得，由，，，推出，可得，推出，在△中，根据，求出即可解决问题．
【解答】解：作于，于，交于．易知，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
在△中，，
，
故答案为．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2018成都中考·24）（4分）如图，在菱形中，，，分别在边，上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为 ．
【考点】：菱形的性质；：翻折变换（折叠问题）；：解直角三角形
【专题】1：常规题型
【分析】首先延长与交于点，进而利用翻折变换的性质得出，再利用边角关系得出，的长进而得出答案．
【解答】解：延长与交于点，
，
，
，，，
，
，
，
设，，，
，，
，
则，
，
，
，
，
，
．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出的长是解题关键．
9．（2019成都中考·24）（4分）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为 ．
【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称最短路线问题；平移的性质
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称
【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论．
【解答】解：在边长为1的菱形中，，
，，
将沿射线的方向平移得到△，
，，
四边形是菱形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
的最小值的最小值，
点在过点且平行于的定直线上，
作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，
则的长度即为的最小值，
在中，，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
10．（2019成都中考·25）（4分）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为 4或5或6 ．
【考点】：三角形的面积；：坐标与图形性质
【专题】531：平面直角坐标系；552：三角形
【分析】根据面积求出点的纵坐标是3，结合平面直角坐标系，多画些图可以观察到整数点的情况；
【解答】解：设B（m，n），
∵B在x轴上方，
∴n＞0，
∵点A的坐标为（5，0），
∴OA＝5，
∵△OAB的面积＝5 n＝，
∴n＝3，
∴B（m，3），
由图形的对称性，
设m≥，
①当m＝5时，可得△OAB内部的整数点4个，
②当m≥且m≠5时，
OB的直线解析式y＝x，
AB的直线解析式y＝x﹣
设直线y＝2与直线OB与直线AB分别交于点C，D，
∴C（，2），D（，2），
∴CD＝，
∴△OAB内部（不含边界）直线y＝2上的整点的个数为1或2，
同理可得，△OAB内部（不含边界）直线y＝1上的整点的个数为3或4，
综上所述，△OAB内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6．
故答案为4或5或6；
【点评】本题考查三角形的面积与平面直角坐标系中点的关系；能够结合图象，多作图是解题的关键．
11．（2020成都中考·25）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
【考点】二次函数的最值；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质
【专题】动点型；矩形 菱形 正方形；应用意识
【分析】连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．首先利用相似三角形的性质证明，推出，，当点与重合时，的值最大，解直角三角形求出，即可解决问题．
【解答】解：连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．
四边形是矩形，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
当点与重合时，的值最大，此时，，
，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，由于和点都是定点，所以其中点也是定点，当，，共线时，此时最小，
的最小值为，
故答案为，．
【点评】本题考查矩形的性质，解直角三角形，梯形的中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
12．（2021成都中考·24）（4分）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，按以下步骤操作：
第一步，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，则线段的长为 ；
第二步，分别在，上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，则线段的长为 ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力
【分析】如图，过点作于，则四边形是矩形，连接，，设交于．证明，求出，，设，根据，可得，解方程求出，可得结论．
【解答】解：如图，过点作于，则四边形是矩形，连接，，设交于．
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
设，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
故答案为：1，．
【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13．（2022成都中考·23）（4分）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 ．
【考点】菱形的性质；轴对称最短路线问题
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力
【分析】如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接并延长，延长线交于点，作关于的对称线段，则点的对应点在线段上．当点是定点时，，当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．解直角三角形求出，可得结论．
【解答】解：如图，连接交于点，过点作于点，延长交于点，连接并延长，延长线交于点，作关于的对称线段，则点的对应点在线段上．
当点是定点时，，
当，，共线时，的值最大，最大值是线段的长，
当点与重合时，点与重合，此时的值最大，最大值是线段的长，也就是线段的长．
四边形是菱形，
，，
．，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最大值为．
解法二：，显然的轨迹，故最大值为．勾股得，．，，可得．
故答案为：．
【点评】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．中小学教育资源及组卷应用平台
一、反比例函数
1．（2012成都中考·24）（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，与反比例函数为常数，且在第一象限的图象交于点，．过点作轴于，过点作轴于，直线与交于点．若为大于的常数）．记的面积为，的面积为，则 ．（用含的代数式表示）
2．（2014成都中考·25）（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，是第一象限内双曲线上一点，连接并延长交轴于点，连接，．若的面积是20，则点的坐标为 ．
3．（2017成都中考·24）（4分）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点，称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点，均在反比例函数的图象上．若，则 ．
4．（2018成都中考·24）（4分）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”， 为双曲线的“眸径“，当双曲线的眸径为6时，的值为 ．
5．（2020成都中考·24）（4分）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为 ．
二、二次函数
1．（2013成都中考·24）（4分）在平面直角坐标系中，直线为常数）与抛物线交于，两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接，．有以下说法：
①；
②当时，的值随的增大而增大；
③当时，；
④面积的最小值为．
其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
2．（2015成都中考·25）（4分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 （写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程．
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
3．（2022成都中考·22）（4分）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米与物体运动的时间（秒之间满足函数关系，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
三、几何
1．（2012成都中考·25）（4分）如图，长方形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，在线段上任意取一点，沿，剪下一个三角形纸片（余下部分不再使用）；
第二步：如图②，沿三角形的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段上任意取一点，沿将梯形纸片剪成两部分；
第三步：如图③，将左侧纸片绕点按顺时针方向旋转，使线段与重合，将右侧纸片绕点按逆时针方向旋转，使线段与重合，拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片．
（注裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为 ，最大值为 ．
2．（2013成都中考·25）（4分）如图，，，为上相邻的三个等分点，，点在上，为的直径，将沿折叠，使点与重合，点与重合，连接，，．设，，．现探究，，三者的数量关系：发现当时，．请继续探究，，三者的数量关系：当时， ；当时， ．
（参考数据：，
3．（2014成都中考·24）（4分）如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是 ．
4．（2015成都中考·24）（4分）如图，在半径为5的中，弦，是弦所对的优弧上的动点，连接，过点作的垂线交射线于点，当是等腰三角形时，线段的长为 ．
5．（2016成都中考·23）（4分）如图，内接于，于点，若，，的半径，则 ．
6．（2016成都中考·25）（4分）如图，面积为6的平行四边形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图．
第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线剪开，得到和纸片，再将纸片沿剪开为上任意一点），得到和纸片；
第二步：如图②，将纸片平移至处，将纸片平移至处；
第三步：如图③，将纸片翻转过来使其背面朝上置于处（边与重合，和在同侧），将纸片翻转过来使其背面朝上置于处，（边与重合，和在同侧）．
则由纸片拼成的五边形中，对角线长度的最小值为 ．
7．（2017成都中考·25）（4分）如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形，再沿的平分线折叠，如图2，点落在点处，最后按图3所示方式折叠，使点落在的中点处，折痕是，若原正方形纸片的边长为，则 ．
8．（2018成都中考·24）（4分）如图，在菱形中，，，分别在边，上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为 ．
9．（2019成都中考·24）（4分）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为 ．
10．（2019成都中考·25）（4分）如图，在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点的坐标为，点在轴的上方，的面积为，则内部（不含边界）的整点的个数为 ．
11．（2020成都中考·25）（4分）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为 ，线段长度的最小值为 ．
12．（2021成都中考·24）（4分）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，按以下步骤操作：
第一步，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，则线段的长为 ；
第二步，分别在，上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，则线段的长为 ．
13．（2022成都中考·23）（4分）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为 ．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
