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1．（2012成都中考·20）（10分）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时，、两点间的距离（用含的代数式表示）．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定与性质
【专题】几何综合题；压轴题
【分析】（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；
（2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，即可得的长，继而求得与的长，利用勾股定理即可求得、两点间的距离．
【解答】（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
；
（2）解：连接，
和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，，
在中，．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用．
2．（2013成都中考·20）（10分）如图，点在线段上，点、在同侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点；
当点与、两点不重合时，求的值；
当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【考点】：全等三角形的判定与性质；：相似三角形的判定与性质
【专题】152：几何综合题；16：压轴题
【分析】（1）根据同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据整理即可得证；
（2）过点作于，根据和相似可得，然后求出，再根据和相似可得，然后整理得到，从而求出，最后利用相似三角形对应边成比例可得，从而得解；
判断出的中点的路径为的中位线．求出、的长度，利用勾股定理求出的长度，再根据中位线性质求出的长度，即所求之路径长．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（2）如图，过点作于，
则，
，
即，
，
，
，
，
，
又，
，
，
即，
，
整理得，，
点与，两点不重合，
，
，
由得，，
；
线段的中点所经过的路径（线段）就是的中位线．
由（2）可知，．
当点运动至中点时，，．
．
在中，根据勾股定理得：．
．
线段的中点所经过的路径（线段）长为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件是解题的关键，（2）根据两次三角形相似求出是解题的关键，判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．
3．（2014成都中考·20）（10分）如图，矩形中，，是边上一点，为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交，于点，，与的交点为，连接和．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当为常数），时，求的长；
（3）记四边形的面积为，矩形的面积为，当时，求的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【考点】四边形综合题
【专题】几何综合题
【分析】（1）先求证，可得，再根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可证明四边形为菱形；
（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算的长度；
（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出长度，根据勾股定理可求出的长度，即可求出的长度，即可计算的值．
【解答】解：（1），
，
为的垂直平分线，
；
在和中，，
，
，且
四边形为菱形．
（2）当，时，，，
根据勾股定理可以计算，
，在中，计算可得，，
菱形面积，计算可得．
（3）设，则，
，
当时，，可得，
在中，计算可得，
，，
，
．
【点评】牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题．
4．（2015成都中考·27）（10分）已知，分别是四边形和的对角线，点在内，．
（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接．
求证：；
若，，求的长；
（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，，，求的值；
（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，设，，，试探究，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
【考点】四边形综合题
【专题】压轴题
【分析】（1）首先根据四边形和均为正方形，可得，；然后根据相似三角形判定的方法，推得即可．
首先根据，判断出，再根据，判断出；然后在中，根据勾股定理，求出的长度，再根据、的关系，求出的长是多少即可．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出，即可判断出，据此求出的长度是多少；然后判断出，在中，根据勾股定理，求出的值是多少，进而求出的值是多少即可．
（3）首先根据，可得，在中，根据勾股定理可求得、，之间的关系，、，之间的关系；然后根据相似三角形判定的方法，判断出，即可用表示出的值；最后判断出，在中，根据勾股定理，判断出，，三者之间满足的等量关系即可．
【解答】（1）证明：四边形和均为正方形，
，
，
，
在和中，
，
．
解：，
，，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
（2）如图②，连接，
，
，，，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，
．
（3）连接，同理可得，过点作延长线于，
四边形为菱形，
，设，
，，
，，
，
同理可得，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
即，，三者之间满足的等量关系是：．
【点评】（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．
5．（2016成都中考·27）（10分）如图①，中，，于点，点在上，且，连接．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．
【考点】几何变换综合题
【专题】综合题
【分析】（1）先判断出，再判断出即可；
（2）①先根据，求出，，然后根据，得到，，，最后用勾股定理即可；
②方法1、先判断出，得到，然后判断出，用相似比即可．
方法2、取的中点，连接，，先证明，再证明是等边三角形即可．
【解答】解：（1）在中，，
，
在和中，
，
，
，
（2）①如图，
在中，
，
，
设，
，
，
，
，
，，
由旋转知，，，，
，
，，
，
，
，
过点作，
，，
在中，，
，
，
；
②方法1、如图1，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
，
由①有，和都为等腰三角形，
，
，
点，，，四点共圆，
，
设与交于点，
，
，
，
是由绕点逆时针旋转得到，
，
由（1）知，，
．
即：．
方法2、如图③，取的中点，连接，，
由旋转知，，
，
由旋转知，，
，
，
，
，
，
，
由旋转知，，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
即：．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．
6．（2017成都中考·27）（10分）问题背景：如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接．
①求证：；
②请直接写出线段，，之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
①证明是等边三角形；
②若，，求的长．
【考点】：全等三角形的判定与性质；：三角形综合题
【分析】迁移应用：①如图②中，只要证明，即可根据解决问题；
②结论：．由，可知，在中，，由，，推出，由，即可解决问题；
拓展延伸：①如图3中，作于，连接．由，，推出、、、四点共圆，推出，推出，推出是等边三角形；
②由，，推出，，在中，由，可得，由此即可解决问题．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
，
，
在和中，
，
，
②解：结论：．
理由：如图中，作于．
，
，
在中，，
，，
，
．
拓展延伸：①证明：如图3中，作于，连接．
四边形是菱形，，
，是等边三角形，
，
、关于对称，
，，
、、、四点共圆，
，
，
是等边三角形，
②解：，，
，，
在中，，
，
．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
7．（2018成都中考·27）（10分）在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
【考点】：四边形综合题
【专题】152：几何综合题
【分析】（1）由旋转可得：，进而得到，依据，可得，即可得到，；
（2）根据为的中点，即可得出，进而得到，依据，即可得到，进而得出；
（3）依据，即可得到最小，即最小，而，利用几何法或代数法即可得到的最小值，．
【解答】解：（1）由旋转可得：，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）为的中点，
，
由旋转可得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
最小，即最小，
，
法一：（几何法）取的中点，
，
，即，
当最小时，最小，
，即与重合时，最小，
，，
的最小值，；
法二（代数法）设，，
由射影定理得：，
当最小时，最小，
，
当时，“”成立，
，
的最小值，．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
8．（2019成都中考·27）（10分）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【考点】：相似形综合题
【专题】152：几何综合题
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
（2）解直角三角形求出，由，推出，可得，由，推出，求出即可．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．作于，于，于．则，由，可得，推出，推出，再利用等腰三角形的性质，求出即可解决问题．
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2）解：如图2中，作于．
在中，设，则，
由勾股定理，得到，
，
或（舍弃），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．
理由：作于，于，于．则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
，
，
，
点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了新三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．（2020成都中考·27）（10分）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【考点】：四边形综合题
【专题】152：几何综合题；：图形的相似；66：运算能力；67：推理能力；556：矩形 菱形 正方形
【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
（2）证明，由相似三角形的性质得出，可求出，求出，由勾股定理求出，则可求出，即可求出的长；
（3）过点作于点，证明，，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
【解答】解：（1）四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得．
．
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．
10．（2021成都中考·27）（10分）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；
（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题
【专题】方程思想；几何变换；面积法；等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识
【分析】（1）先求出，再在△中，求出，从而可得；
（2）过作交于，过作于，先证明，再根据，求出，进而可得和及，由得，即可得；
（3）过作交延长线于，连接，先证明，得，再证明△得，是△的中位线，，要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，即可得最小值为．
【解答】解：（1），，，
，
，绕点顺时针旋转得到△，点落在的延长线上，
，，
△中，，
；
（2）过作交于，过作于，如图：
绕点顺时针旋转得到△，
，，
，
，
，
，
中，，，，，
，
中，，
同理，
，，
，
，
，
；
（3）存在最小值1，理由如下：
过作交延长线于，连接，如图：
绕点顺时针旋转得到△，
，，，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
在和△中，
，
△，
，即是中点，
点为的中点，
是△的中位线，
，
要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，
最小为．
【点评】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、平行线分线段成比例、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
11．（2022成都中考·26）（12分）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
【尝试初探】
（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
【拓展延伸】
（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
【考点】几何变换综合题
【专题】几何综合题；推理能力
【分析】（1）根据两角对应相等可证明；
（2）设，，则，，，由，列比例式可得，最后根据正切的定义可得结论；
（3）分两种情况：和，先根据三角形相似证明在射线上，再根据三角形相似的性质和勾股定理列等式可得结论．
【解答】解：（1）四边形和四边形是矩形，
，
，
，
，
在点的运动过程中，与始终保持相似关系；
（2）如图1，是线段中点，
，
设，，则，，，
由（1）知：，
，即，
，
，
，
，
当时，，
当时，；
综上，的值是．
（3）分两种情况：
①如图2，，
设，，
四边形是矩形，
，，
，
，
矩形矩形，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
；
②如图3，，
矩形矩形，
，，
，
，
，
，，共线，
，
，
，
，
，
，，
，
由①可知：，，，
由勾股定理得：，
，
（负值舍），
，
综上，的值是或．
【点评】此题是几何变换综合题，考查了相似三角形的判定与性质，矩形的相似的性质，矩形的性质以及直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定等知识，注意运用参数表示线段的长，并结合方程解决问题，还要运用分类讨论的思想．
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1．（2012成都中考·20）（10分）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．
（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；
（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时，、两点间的距离（用含的代数式表示）．
2．（2013成都中考·20）（10分）如图，点在线段上，点、在同侧，，，．
（1）求证：；
（2）若，，点为线段上的动点，连接，作，交直线于点；
当点与、两点不重合时，求的值；
当点从点运动到的中点时，求线段的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
3．（2014成都中考·20）（10分）如图，矩形中，，是边上一点，为大于2的整数），连接，作的垂直平分线分别交，于点，，与的交点为，连接和．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当为常数），时，求的长；
（3）记四边形的面积为，矩形的面积为，当时，求的值．（直接写出结果，不必写出解答过程）
4．（2015成都中考·27）（10分）已知，分别是四边形和的对角线，点在内，．
（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接．
求证：；
若，，求的长；
（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，，，求的值；
（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，设，，，试探究，，三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
5．（2016成都中考·27）（10分）如图①，中，，于点，点在上，且，连接．
（1）求证：；
（2）将绕点旋转，得到（点，分别与点，对应），连接．
①如图②，当点落在上时，不与重合），若，，求的长；
②如图③，当是由绕点逆时针旋转得到时，设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的等量关系，并说明理由．
6．（2017成都中考·27）（10分问题背景：如图1，等腰中，，，作于点，则为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，，，三点在同一条直线上，连接．
①求证：；
②请直接写出线段，，之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接，．
①证明是等边三角形；
②若，，求的长．
7．（2018成都中考·27）（10分）在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．
（1）如图1，当与重合时，求的度数；
（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；
（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．
8．（2019成都中考·27）（10分）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．
（1）求证：；
（2）当时（如图，求的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
9．（2020成都中考·27）（10分）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
10．（2021成都中考·27）（10分）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．
（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；
（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2022成都中考·26）（12分）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
【尝试初探】
（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
【深入探究】
（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
【拓展延伸】
（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
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