中小学教育资源及组卷应用平台
题型一、三角函数与线段关系
1．（2013成都中考·27）（10分）如图，的半径，四边形内接于圆，于点，为延长线上的一点，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形的面积．【切割线定理】
2．（2022成都中考·17）（10分）如图，在中，，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．
3．（2014成都中考·27）（10分）如图，在的内接中，，，过作的垂线交于另一点，垂足为．设是上异于，的一个动点，射线交于点，连接与，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）在点运动过程中，设，，求与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围）
4．（2015成都中考·20）（10分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．
5．（2018成都中考·20）（10分）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）设，，试用含，的代数式表示线段的长；
（3）若，，求的长，
6．（2020成都中考·20）（10分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．
题型二、A型或X型相似求线段
1．（2021成都中考·20）（10分）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．
2．（2017成都中考·20）（12分）如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若为的中点，求的值；
（3）若，求圆的半径．
3．（2019成都中考·20）（10分）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长．
题型三、母子型相似求线段
1．（2016成都中考·20）（10分）如图，在中，，以为半径作，交于点，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当时，求；
（3）在（2）的条件下，作的平分线，与交于点，若，求的半径．
母子型逆用
1．（2012成都中考·27）（10分）如图，是的直径，弦于，过延长线上一点作的切线交的延长线于．切点为，连接交于．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
题型一、三角函数与线段关系
1．（2013成都中考·27）（10分）如图，的半径，四边形内接于圆，于点，为延长线上的一点，且．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形的面积．【切割线定理】
【考点】：圆的综合题
【专题】16：压轴题
【分析】（1）首先连接并延长交圆于点，连接，由是直径，可得的度数，又由，可证得，即可得与圆相切于点；
（2）首先由，可设，则，又由，易求得，，连接，则，，可得；
（3）由（2）易得，又由，可得方程：，解此方程即可求得的长，继而求得四边形的面积．
【解答】解：（1）与圆相切．
理由：如图，连接并延长交圆于点，连接，
是直径，
，
，
，
，
即，
与圆相切于点；
（2）
可设，则，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
连接，则，，
；
（3）由（2）知，，
，
又，
，
解得：，
，
．
补充方法：
【点评】此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质以及切割线定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
2．（2022成都中考·17）（10分）如图，在中，，以为直径作，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．
【考点】圆的综合题 【难度：中】
【专题】几何综合题；推理能力
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可；
（2）连接．解直角三角形求出，，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，，
；
（2）解：连接．
，，
，
，
，
，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．（2014成都中考·27）（10分）如图，在的内接中，，，过作的垂线交于另一点，垂足为．设是上异于，的一个动点，射线交于点，连接与，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）在点运动过程中，设，，求与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围）
【考点】圆的综合题
【专题】几何综合题；压轴题
【分析】（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得，则结论易证．
（2）求的长，且此线段在上问已证相似的中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则可求．
（3）因为题目涉及与也在第一问所得相似的中，进而考虑转化，，连接得，过点作的垂线，若此线过与的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形相似可用表示所对的这条高线．但是“此线是否过与的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过与的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先作垂线，得交点，然后连接交点与，再证明．因为、关于对称，可以延长考虑点的对称点．根据等弧对等角，可得，进而得解题思路．
【解答】（1）证明：，
是直径，
又，
，
所对的圆周角所对的圆周角所对的圆周角．
在和中，
，
．
（2）解：如图1，连接，则由，有，且，、都为等腰直角三角形．
在中，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
为等腰直角三角形，，
．
，
，
，
．
（3）解：如图2，过点作，交于，连接，以为直径作圆，连接并延长交于，
，，
、都在以为直径的圆上，
，
、关于对称，在上，
、关于对称，
，
，
．
，
，
．
，
．
【点评】本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．
4．（2015成都中考·20）（10分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，，且，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的值．【母子型相似】
【考点】圆的综合题
【分析】（1）由垂直的定义可得，于是得到，从而证得；
（2）与相切，如图1，连接证得，即可得到与相切；
（3）如图2，连接，，有等腰直角三角形的性质得到，由于垂直平分，得到，求得，有勾股定理解出，推出是等腰直角三角形，求得，通过，列比例式即可得到结论．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
，
在与中，，
；
（2）与相切，如图1，连接
证明如下：，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
与相切；
（3）解：如图2，连接，，
，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是直径，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．
5．（2018成都中考·20）（10分）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）设，，试用含，的代数式表示线段的长；
（3）若，，求的长，【三角函数计算】
【考点】：圆的综合题
【专题】559：圆的有关概念及性质；15：综合题
【分析】（1）连接，由为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到与平行，得到与垂直，即可得证；
（2）连接，由（1）得到为圆的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形与三角形相似，由相似得比例，即可表示出；
（3）连接，设圆的半径为，由的值，利用锐角三角函数定义求出的值，由直径所对的圆周角为直角，得到与平行，得到，进而求出的长即可．
【解答】（1）证明：如图，连接，
为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
为圆的切线；
（2）解：连接，由（1）知为圆的切线，
，
，
，
，
，
，即，
则；
（3）解：连接，在中，，
设圆的半径为，可得，
解得：，
，，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
则．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6．（2020成都中考·20）（10分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；【三角函数计算】
（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．
【考点】圆的综合题
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；推理能力
【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由“”可证，可得，可得结论；
（2）由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解；
（3）连接，，由“”可知，可得，由三角形内角和定理可得，，可得，可证，可得结论．
【解答】解：（1）如图，连接，
与边相切于点，
，即，
，，，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2），
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故的半径为；
（3），理由如下：
连接，，
由（1）可知：，
，，
又，，
，
，
，
，
，
点是中点，，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
题型二、A型或X型相似求线段
1．（2021成都中考·20）（10分）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为，的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，为上一点，连接交线段于点，若，求的长．
【考点】圆的综合题
【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力；应用意识
【分析】（1）连接，由为的直径，可得，再证明，结合已知，可得，从而证明是的切线；
（2）过作于，过作于，由的面积为，可得，由得，可解得，根据，可得，再由，得即，解，故；
（3）过作于，过作于，连接，由，，可得，而，故，，中，，可得，设，则，则，可解得，，从而．
【解答】（1）证明：连接，如图：
为的直径，
，，
，
，
又，
，即，
，
是的切线；
（2）过作于，过作于，如图：
的半径为，
，
的面积为，
，即，
，
中，，
中，，
，
，即，
，
解得，已舍去），
，，
，
而，，
，
，，
，，
，
，
即，
解得，
；
方法二：过作于，连接，如图：
的半径为，
，
的面积为，
，即，
，
中，，
，，
，
，即，
；
（3）过作于，过作于，连接，如图：
，，
，
，
，
由（2）知，，
，，
中，，
，
设，则，
由可得：，
，
解得：，
，，
．
【点评】本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形．
2．（2017成都中考·20）（12分）如图，在中，，以为直径作圆，分别交于点，交的延长线于点，过点作于点，连接交线段于点．
（1）求证：是圆的切线；
（2）若为的中点，求的值；
（3）若，求圆的半径．
【考点】圆的综合题
【专题】压轴题
【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：，则，是圆的切线；
（2）如图2，先证明，则是的中点，设，，则，由是的中位线，得：，证明，列比例式可得结论；
（3）如图2，设的半径为，即，证明，则，，证明，列比例式为：，则，求出的值即可．
【解答】证明：（1）连接，如图1，
，
是等腰三角形，
①，
在中，，
②，
由①②得：，
，
，
，
是圆的切线；
（2）如图2，在中，，
由（1）可知：，
是等腰三角形，
，且点是中点，
设，，则，
连接，则在中，，，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
；
（3）如图2，设的半径为，即，
，
，
，
，
则，
，
，
，
在中，，
，
，是等腰三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得：，（舍，
综上所述，的半径为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
3．（2019成都中考·20）（10分）如图，为的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）的条件下，过点作的切线，交的延长线于点，过点作交于，两点（点在线段上），求的长．
【考点】：切线的性质
【专题】：与圆有关的位置关系；：图形的相似
【分析】（1）由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可证；
（2）通过证明，可得，可得，由勾股定理可求的长，即可求的半径；
（3）过点作于点，连接，通过证明，可得，可求，即可求的长，通过证明，
可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求的长．
【解答】证明：（1）
（2）连接，
，，
，且
，
是直径
的半径为
（3）如图，过点作于点，连接，
是切线，
，且
，且
，
，且
即
，
【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出的长是本题的关键．
题型三、母子型相似求线段
1．（2016成都中考·20）（10分）如图，在中，，以为半径作，交于点，交的延长线于点，连接，．
（1）求证：；
（2）当时，求；
（3）在（2）的条件下，作的平分线，与交于点，若，求的半径．
【考点】：圆的综合题
【专题】16：压轴题；559：圆的有关概念及性质；11：计算题
【分析】（1）要证明，已经有一组对应角是公共角，只需要再找出另一组对应角相等即可．
（2）由于，可设，，求出的值，再利用（1）中结论可得，进而求出的值，所以．
（3）设，，由于已知的值，构造直角三角形后利用勾股定理列方程求出的值，即可知道半径的值．
【解答】解：（1），
，
由题意知：是直径，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
设，，
，
，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
在中
；
（3）过点作于点，
，
设，，
由（2）可知；，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为：．
另解：由上述知，
，，
，
，
设，则，，
，
，
由勾股定理可知：，
，
，
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
母子型逆用
1．（2012成都中考·27）（10分）如图，是的直径，弦于，过延长线上一点作的切线交的延长线于．切点为，连接交于．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的位置关系，并说明理由；【母子型逆用】
（3）在（2）的条件下，若，，求的长．【12345模型】
【考点】：圆的综合题
【分析】（1）如图1，连接．根据切线性质及，可以推出，根据等角对等边得到；
（2）与平行，理由为：如图2所示，连接，由，及，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出与相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到，可推知，从而得到；
（3）如图3所示，连接，，先求出，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在中，解直角三角形即可求得的长度．
【解答】解：（1）如答图1，连接．
为切线，
，
，
，
又，
，
，
．
（2），理由为连接，如图2所示．
，即，
，
又，
，
，
又，
，
；
（3）连接，，如图3所示，
为切线，
，
，
，
又，
，
，
．
，设，则，，
，，
，
．
在中，根据勾股定理得，
即，解得．
设半径为，在中，，，，
由勾股定理得：，
即，解得．
为切线，
为直角三角形，
在中，，，
．
【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
