2022-2023学年北师大版九年级下学期开学摸底考试数学试卷A卷（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级下学期开学摸底考试数学试卷A卷
【满分：120分】
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图是一个几何体的实物图，则其主视图是( )
A. B. C. D.
2.中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军、截止至2021年12月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数法表示为( )
A. B.
C. D.
3.如图，已知，，则的度数为( )
A.120° B.110° C.60° D.70°
4.实数在数a，b轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.四张不透明的卡片，正面标有数字分别是-2，3，-10，6，除正面数字不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后放在桌面上，从中随机抽取一张卡片，则这张卡片正面的数字是-10的概率是( )
A. B. C. D.1
7.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重，适等.交易其一，金轻十三两.问金、银一枚各重几何？大意是说：九枚黄金与十一枚白银重量相等，互换一枚，黄金比白银轻13两.问：每枚黄金、白银的重量各为多少？设一枚黄金的重量为x两，一枚白银的重量为y两，则可列方程组为( )
A. B.
C. D.
8.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，，过点E作，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
10.如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为( )
A. B.5 C. D.
11.如图，在中，，在边上取点O为圆心画圆，使经过两点,下列结论：
①；
②)；
③以O圆心,为半径的圆与相切；
④延长交于点D，则是的三等分点.
其中正确结论的序号是( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③④
12.已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④若、、是抛物线上的三点，则.其中正确结论的个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：（每小题3分，共18分）
13.已知，则整式的值为_____.
14.分解因式：______.
15.已知，且a，b为两个连续整数，则__________.
16.已知一次函数.
（1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的负半轴，则a的取值范围是___________；
（2）当时，函数y有最大值-4，则a的值为___________.
17.一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是______.
18.对于同一个正六边形花坛，甲、乙两工程师分别构建了如图（1）（2）所示的平面直角坐标系，且两个坐标系的单位长度一致，则在甲所建的坐标系中正六边形的中心G的坐标为______，在乙所建的坐标系中正六边形的中心G的坐标为______.
三、解答题（本大题共8小题，共计66分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
19.（6分）化简：.
20.（6分）用火柴棒按下图的方式搭图形：
（1）图①有________根火柴棒；图②有_________根火柴棒；图③有________根火柴棒.
（2）按上面的方法继续下去，第100个图形中有多少根火柴棒？
21.（8分）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且.求证：
（1）；
（2）四边形AECF是平行四边形.
22.（8分）某商场用5000元购进一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批购进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件按标价的6折进行清仓处理，并全部售完.求商场两次共购进多少件服装？两笔生意中商场共盈利多少元？
23.（8分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表(单位：cm)
组别 A B C D E
身高
根据图表提供的信息，回答下列问题：
(1)样本中，男生的身高众数在_______组，中位数在_________组；
(2)样本中，女生身高在E组的人数有多少人；
(3)已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在之间的学生约有多少人？
24.（8分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60方向上.为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C，求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里.参考数据：，，.)
25.（10分）如图，，，点A，B分别在函数和的图象上，且点A的坐标为.
（1）求，的值；
（2）若点C，D分别在函数和的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得.若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由.
26.（12分）如图，AB为的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E.
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求的面积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：从正面看可得到一个矩形和一个下底和矩形相邻的梯形的组合图.
故选：C.
2.答案：C
解析：7371.5万，
故选：C.
3.答案：C
解析：如图，
，，
.
故选：C.
4.答案：B
解析：A.由图象可得点A在-2左侧，
，A选项错误，不符合题意.
B.a到0的距离大于b到0的距离，
，B选项正确，符合题意.
C.，.
，
，C选项错误，不符合题意.
D.，
，D选项错误，不符合题意.
故选：B.
5.答案：A
解析：根据题意得
，
解得，
故选：A.
6.答案：A
解析：由题意可知，共有4张标有数字-2，3，-10，6的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为-10的有1种，所以随机抽取一张，这张卡片正面的数字是-10的概率是，故选：A.
7.答案：D
解析：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
根据题意得：
故选：D.
8.答案：C
解析：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、，计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，计算错误，故此选项不符合题意；
故选C.
9.答案：B
解析：四边形ABCD是正方形，
，，
，
四边形BCEF为矩形，
连接FM，FC，如图：
N是BE的中点，四边形BCEF为矩形.
点N为FC的中点，.
四边形ABCD是正方形，
，
又，
为等腰直角三角形.
M是AG的中点，
，
，
为直角三角形，
点N为FC的中点，
，
四边形ABCD是边长为8的正方形，，
，，
在中，由勾股数可得，
，
.
故选：B.
10.答案：C
解析：如图，连接BE，
，，，
，
，
，
，
将绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到，
，，，，，，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故选：C.
11.答案：D
解析：如图，连接,则.
，
,，
，，,①正确.
在中，.，，②错误.
如图，过点O作于点，，，以O圆心，为半径的圆与相切，③正确.
如图，连接.，，.,是等边三角形，，，是的三等分点，④正确.
12.答案：B
解析：抛物线开口向上，，抛物线的对称轴是直线，，，，抛物线交y轴于负半轴，，，故①正确，抛物线经过，，，，故②错误，，故③错误，观察图象可知，，故④正确，
故选：B.
13.答案：5
解析：两边同时加上-3，得：
，
即，
故答案为5.
14.答案：
解析：
.
故答案为.
15.答案：9
解析：依题意，易知，所以，又因为且a、b为两个连续整数，所以，.则.
16.答案：（1）
（2）8.5
解析：（1）一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的负半轴，
，
解得：；
故答案为：；
（2）在一次函数中，
，
y随x的增大而增大，
当时，函数y有最大值-4，
当时，，代入得，
，
解得：.
故答案为：8.5.
17.答案：95°
解析：如图，
一副三角板如图所示摆放，
，
，
，
，
，
故答案为：95°.
18.答案：
解析：根据题图（1）中点的坐标，可知甲工程师建立的平面直角坐标系如图所示，连接.易知点G为线段的中点，故点G的坐标为，即.过点C作轴于点M，，即该正六边形的边长为2.在题图（2）中，连接，易知点G为的中点，平分，，又，∴点G的坐标为.
19.答案：
解析：解：原式
.
20.答案：（1）4；7；10
（2）301
解析：（1）观察图形可知：图①有4根火柴；图②有7根火柴；图③有10根火柴；
故答案是：4；7；10；
（2）观察图形发现：
第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴，
当时，.
21.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
又，
；
（2）证明：，
，
，
四边形AECF是平行四边形
22.答案：商场两次共购进200件服装，两笔生意中商场共盈利13200元
解析：设商场第一次购进x件服装，则第二次购进3x件服装，
根据题意得，，
解得，，
经检验是原分式方程的解，
第一次购进50件服装，第二次购进150件服装，
总共购进200件服装，
根据题意得，商场得盈利为：(元)，
答：商场两次共购进200件服装，两笔生意中商场共盈利13200元.
23.答案：(1)B，C；
(2)样本中，女生身高在E组的人数有2人；
(3)估计身高在在之间的学生约有195人.
解析：(1)直方图中，B组的人数为12，最多，
男生的身高的众数在B组，
男生总人数为：，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
男生的身高的中位数在C组，
故答案为：B，C；
(2)女生身高在E组的百分比为：，
抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
样本中，女生身高在E组的人数有：(人)；
(3)
(人)，
估计身高在在之间的学生约有195人.
24.答案：货轮从A到B航行的距离约为30.6Error! Digit expected.海里
解析：过B作于D，
由题意可知，，则，
在中，，海里，
海里，
在中，，海里，
海里，
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6Error! Digit expected.海里.
25.答案：（1），
（2），
解析：（1）如图1，过点A作轴于G，过点B作轴于H，
，
，，，
，
，
，，
，
，，
，
；
（2）如图2，，
，
B与C关于x轴对称，A与D关于x轴对称，
，.
26.答案：（1）见解析
（2）3
（3）
解析：（1）证明：如图，连接OD，
D为劣弧的中点，
，
，
又PF为的切线，
，
；
（2）如图，连接OD，BD，
设，则，
D为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
AB为的直径，
，
又的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；
（3）如图，设OD与BC交于点H，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
AB为的直径，
，
由（1）可知，，
四边形HDPC为矩形，
，，
.
1