函数单调性 复习学案（含答案）

函数的单调性（一）
班级________姓名_________
知识梳理：
函数的单调性有哪些描述形式：_________、_________________、______________.
平常如何判断函数的单调性 ______________、____________、________________.
函数单调性有哪些常见的应用 _______________、______________、____________.
应用举例
例1：（多选）（2022·湖北·十堰市调研）已知函数，则（ ）
A．对于任意实数，的图象为轴对称图形
B．对于任意实数，在上单调递增
C．当时，恒成立
D．存在实数，使得关于的不等式的解集为
变式1：（2007·江苏·高考）设函数，区间，集合，则使成立的实数对有（ ）.
个 B．个 C．个 D．无数多个
例2（2020·山东泰安·模拟预测）已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
B． C． D．
例题总结：
随堂练习
1．（2014·重庆·高考真题（理））若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.
2．（2022·内蒙古·赤峰市预测（理））某数学课外兴趣小组对函数的性质进行了探究，得到下列四个命题，其中真命题为__________
①函数的图像关于轴对称
②当时，是增函数，当时，是减函数
③函数的最小值是 ④当或时，是增函数
3、（2022·河南·模拟预测（理））已知是偶函数且在上单调递增，则满足的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
四、拓展提升
（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
五、分层作业
基础题
1．（2022·四川广安·模拟预测）不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西·安康市教学研究室三模）若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川巴中·模拟预测（理））已知定义在上的函数满足，当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江·模拟预测）已知，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
5．（2022·全国·模拟预测（理））设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·湖北·一模（理））已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）（2022·湖南永州·高一期末）若函数与，在单调区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的可能取值是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
8．（2022·湖北黄冈·高一期中）已知函数为上的偶函数，且对，的都有恒成立，则使成立的x取值范围为__________.
提高题
9．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·福建南平·高一期末）当时，不等式成立．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·福建·厦门大学附属科技中学高一期中）已知正实数，满足，则的最小值是___________.
参考答案：
例1．ABD
因为函数与的图象都关于直线对称，所以的图象关于直线对称，A正确；
当时，函数与都单调递增，所以也单调递增，B正确；
当时，，C错误；
因为的图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，且，所以存在，使得的解集为，D正确，
故选:ABD.
变式1．A
【详解】易知函数是奇函数，
时，单调递增，因此在上也是单调递增，从而在上单调递增．
若，则，即是方程的两个不等实根．
方程的解只有，因此实数对不存在．
故选：A.
例2．D
【详解】①当时，在上单调递增，
所以，因此满足题意；
②当时，在上单调递增，在上单调递减
因此⑴当时，在上单调递增，所以
，
或或
⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以；
综上，的取值范围为，
变式2 D
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即，则，
，
因此，.
三、随堂练习：
1．
【详解】试题分析：令，其图象如下所示（图中的实线部分）
由图可知：
由题意得：，解这得:
所以答案应填：
2．①③④
【详解】的定义域为，关于原点对称，且，
所以函数是偶函数，其图像关于y轴对称，故①是真命题；
当时，，令，则，由对勾函数的性质可知在上是减函数，在上是增函数，又在定义域上是增函数，所以由复合函数的单调性可知，在上是减函数，在上是增函数，故②是假命题；
当时，（当且仅当时取等号），又是偶函数，所以函数的最小值是，故③是真命题；
当时，是减函数，当时，是增函数，又是偶函数，所以根据复合函数的单调性知，当或时，是增函数，故④是真命题．
故选答案为：①③④
3．B
因为是偶函数，故，故由，得，
由函数在上单调递增得，则，则，
所以，即，，所以ACD不合题意，选项B符合条件．故选：B.
4．A
【详解】依题意，，
构造函数，定义域为，
求导得，所以，函数在上单调递增，
因为，，又，则，则，即，即，
因为，，，故.
故选：A.
拓展提升
A
【详解】由数列为递增数列，可得，
所以，
即，
所以对任意恒成立，
所以，
由可推出，反过来，由推不出，
故“”是“数列为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A.
五、分层作业
1．D
【详解】由题可得在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以， 所以.
故选：D.
2．B
【详解】因为，所以，则为对勾函数，
在处取得最小值，，
又因为，，
所以．
由，得．
又函数在上单调递增，则的值域为，
即的值域为，
则，解得．
故选：B
3．B
【详解】因为当时，，所以；
当时，，；
当时，，；
令，得或（舍）；
若对任意，都有，则的取值范围是.
故选：B.
4．C
【详解】当时，，又，显然当或2，时，该式取得最大值；
当时，，又，显然当，时，该式取得最大值；
综上：的最大值为4.
故选：C.
5．D
【详解】令，则，
设，则，
当时，，所以在上单调递增，故，即；
又因为，所以，
综上，．
故选：D．
6．C
【详解】因为是定义在R上的奇函数且满足，
，所以的图象关于直线对称，
在上是减函数，则在上是增函数，
又是奇函数，所以在上是增函数，
所以在上是增函数，在上是减函数，
结合奇函数得，所以，
，，，
所以，即，
故选：C．
7．ABC
【详解】解：因为函数的稳定区间为，
所以，
当函数与为增函数时，
则，则，
因为，所以，
所以，
当函数与为减函数时，
则，则，
因为，所以，
所以，此时不存在，
综上所述，.
故选：ABC.
8．或
【详解】函数为上的偶函数，故关于对称，
对，的都有恒成立，
故在上单调递减，在上单调递增，
要使成立，需满足，，
两边平方得，
解得：或
故x的取值范围为或
故答案为：或
提高题
9．B
【详解】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
故选：B
10．ABD
【详解】当时，
设 在上单调递增.
对于选项A：.，根据函数的单调性可得选项A正确；
对于选项B：，，根据函数的单调性可得选项B正确；
对于选项C：取，满足，但是，故选项C错误；
对于选项C：，得，即，故D正确.
故选：ABD.
11．
【详解】设，，则
任取，且，则
.
因为，所以，，
所以，即，于是，
所以在上单调递增.
因为，所以，即，
所以.
因为，所以，，
所以，
当且仅当，且，即，等号成立，
所以当时，取得的最小值为.
故答案为：.