课件39张PPT。课件53张PPT。教师用书独具演示演示结束数轴(直线坐标系) 原点 度量单位 正方向 向量、相等向量、向量的坐标 大小 方向 同向 等长 实数 数轴上的基本公式 AC＝AB＋BC x2－x1 |x2－x1| 数轴上的点与实数间的关系 向量的相关概念辨析 数轴上两点的距离 课时作业（十三）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束两点的距离公式 中点公式 坐标法 代数问题 两点的距离公式的应用 中点公式的应用 坐标法的应用 课时作业（十四）课件56张PPT。教师用书独具演示演示结束直线的方程与方程的直线的概念 某条直线 解 这条直线的方程 这个方程的直线 直线的倾斜角与斜率 系数k正向向上的零度角锐角钝角直角[0°，180°)斜率的坐标计算公式 求直线的倾斜角 求直线的斜率 斜率公式的应用 课时作业（十五）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束直线方程的几种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 存在 坐标轴 坐标轴 Ax＋By＋C＝0 原点 直线与二元一次方程的关系 二元一次方程 一条直线 直线的点斜式和斜截式方程 直线的两点式和截距式方程 直线方程的一般式 课时作业（十六）课件60张PPT。教师用书独具演示演示结束两条直线相交、平行与重合的条件 平行 无交点 相交 有一个交点 无数个交点 k1≠k2 k1＝k2且b1≠b2 k1＝k2且b1＝b2 两条直线垂直 k1·k2＝－1 l1⊥l2 两条直线相交、平行、重合的判定 两条直线垂直的判定 平行与垂直的应用 课时作业（十七）课件51张PPT。教师用书独具演示演示结束点到直线的距离 |x0－x1| |y0－y1| 两平行线间的距离公式 点到直线的距离 两平行直线的距离 利用距离公式求直线方程 课时作业（十八）课件48张PPT。教师用书独具演示演示结束圆的定义及标准方程 定长 圆心 半径 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 x2＋y2＝r2 点与圆的位置关系及判定方法 |CM|＝r (m－a)2＋(n－b)2＝r2 |CM|＞r (m－a)2＋(n－b)2＞r2 |CM|＜r (m－a)2＋(n－b)2＜r2 待定系数法求圆的方程 几何法求圆的标准方程 圆的标准方程的应用 课时作业（十九）课件45张PPT。教师用书独具演示演示结束圆的一般方程的定义 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 二元二次方程x2＋y2＋D＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 二元二次方程表示圆的条件 求圆的一般方程 轨迹问题 课时作业（二十）课件57张PPT。教师用书独具演示演示结束直线与圆位置关系的判定 2 1 0 < ＝ > > ＝ < 直线与圆的位置关系 圆的切线问题 圆的弦长问题 课时作业（二十一）课件52张PPT。教师用书独具演示演示结束圆与圆的位置关系及其判定 外离 外切 相交 内切 内含 d＞r1＋r2 外离 d＝r1＋r2 外切 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 相交 d＝|r1－r2| 内切 0≤d＜|r1－r2| 内含 2 1 0 相交 内切 外切 内含 外离 判断两圆的位置关系 两圆相交问题 两圆相切问题 课时作业（二十二）课件67张PPT。教师用书独具演示演示结束空间直角坐标系 数轴z 垂直 互相垂直 逆时针 空间直角坐标系 坐标原点 坐标平面 平面yOz x轴 Px x轴上 平面xOz y轴 Py y轴上 平面xOy z轴 Pz z轴上 P(x，y，z) 空间两点间的距离公式 确定空间点的坐标 空间中点的对称问题 空间两点间距离公式及应用 课时作业（二十三）综合检测(二)
第二章 平面解析几何初步
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆心为(1，－1)，半径为2的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 由圆的标准方程的形式直接写出方程即可．
【答案】 D
2．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
【解析】 设直线方程为2x＋y＋m＝0且过点(－1,3)，故m＝－1，∴所求直线的方程为2x＋y－1＝0.
【答案】 A
3．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．内含
【解析】 圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，故两圆内含．
【答案】 D
4．直线l1与直线l2：3x＋2y－12＝0的交点在x轴上，并且l1⊥l2，则l1在y轴上的截距是( )
A．－4 B．4
C．－ D.
【解析】 ∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.∴k1＝－＝－＝.∴设l1方程为y＝x＋b，l2与x轴交点为(4,0)代入l1得b＝－.
【答案】 C
5．在空间坐标系Oxyz中，点M的坐标是(1,3,5)，则其关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)
C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)
【解析】 点M关于x轴对称，则x坐标不变，y，z坐标变为原来的相反数．
【答案】 C
6．直线3x－y＋2＝0截圆x2＋y2－2x＋4y＝0所得弦长为( )
A. B.
C. D.
【解析】 圆的圆心(1，－2)，半径r＝，圆心到直线
3x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以弦长为 2＝.
【答案】 B
7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
【解析】 由题意知2(k－3)(4－k)＋2(k－3)＝0，
即(k－3)·(5－k)＝0，∴k＝3或k＝5.故选C.
【答案】 C
8．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
【解析】 法一 因为点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，所以圆C为(－x＋2)2＋(－y－1)2＝1，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
法二 已知圆的圆心是(－2,1)，半径是1，
所以圆C的圆心是(2，－1)，半径是1.
所以圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
【答案】 A
9．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 AB所在直线方程为－x＋＝1，即2x－y＋2＝0.
|AB|＝＝，圆心(1,0)到直线AB的距离d＝，
点P到直线AB的最大距离为d′＝d＋1＝＋1.
∴△PAB面积的最大值是××(＋1)＝.故选B.
【答案】 B
10．(2013·大连高一检测)设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是
( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图所示，设过原点的直线方程为y＝kx，则与圆有交点的直线中，kmax＝，∴的最大值为.故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．过两点A(－1,1)，B(3,9)的直线，在x轴，y轴上的截距分别是________．
【解析】 直线AB的方程为＝，即y＝2x＋3，令x＝0，得y＝3，令y＝0得x＝－.
【答案】 －，3
12．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切．则圆C的方程为________．
【解析】 根据题意可知圆心坐标是(－1,0)，圆的半径等于＝，故所求的圆的方程是(x＋1)2＋y2＝2.
【答案】 (x＋1)2＋y2＝2
13．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
【解析】 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－2)2＝1，又相交所得弦长为2，故相交弦为圆的直径，由此得直线过圆心(1,2)，故所求直线方程为2x－y＝0.
【答案】 2x－y＝0
14．直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是________．
【解析】 联立方程组得，x＝，y＝.
∵x>0，y>0.∴－1
【答案】 (－1,2)
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)求下列各圆的标准方程．
(1)圆心在y＝0上且过两点A(1,4)，B(3,2)；
(2)圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．
【解】 (1)设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
则所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆心在y＝0上，故b＝0，
∴圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2.
又∵该圆过A(1,4)，B(3,2)两点，
∴解得a＝－1，r2＝20.
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
(2)已知圆与直线x＋y－1＝0相切，并且切点为M(2，－1)，
则圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上，
l的方程为y＋1＝x－2，即y＝x－3.
由解得即圆心为O1(1，－2)．
r＝＝.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
图1
16．(本小题满分12分)如图1，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，建立适当的坐标系，求M、N两点间的距离．
【解】 如图，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3,0)，
D(0,3,0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，
∴C1(3,3,2)，D1(0,3,2)．
∵N为CD1的中点，∴N(，3,1)．
M是A1C1的三等分点且靠近点A1，
∴M(1,1,2)．
由两点间距离公式，得
|MN|＝＝.
17．(本小题满分12分)(2013·泰兴高一检测)已知圆C的方程为：x2＋y2－4mx－2y＋8m－7＝0，(m∈R)．
(1)试求m的值，使圆C的面积最小；
(2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(4，－3)的直线方程．
【解】 配方得圆的方程为(x－2m)2＋(y－1)2＝4(m－1)2＋4.
(1)当m＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小．
(2)当m＝1时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
当斜率存在时设所求直线方程为y＋3＝k(x－4)，
即kx－y－4k－3＝0.
由直线与圆相切，所以＝2，解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即3x＋4y＝0.
又过(4，－3)点，且与x轴垂直的直线x＝4，也与圆相切．
所以所求直线方程为3x＋4y＝0及x＝4.
18．(本小题满分14分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．
(1)判断直线l与圆C的位置关系；
(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．
【解】 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又＝1<，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－.
此时，圆心C(0,1)到直线l：x＋y－－1＝0的距离d＝＝，又圆C的半径r＝，
所以|AB|＝2＝2＝.
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．数轴上一个点可以表示两个不同的实数
B．数轴上有两个不同的点表示同一个实数
C．任何一个实数都可以在数轴上找到与它对应的唯一的点
D．有的实数不能在数轴上表示出来
【解析】 根据点与数在数轴上建立一一对应关系可以判定．
【答案】 C
2．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于( )
A．－4 B．4
C．－12 D．12
【解析】 MP＝(－5)－3＝－8，PN＝(－1)－(－5)＝4，MP－PN＝－8－4＝－12.
【答案】 C
3．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝( )
A．0 B．－2
C．10 D．－10
【解析】 由题意知AD＝AB＋BC＋CD
＝－BA＋BC＋CD＝－6－2＋6
＝－2，故选B.
【答案】 B
4．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由AB＝xB－xA，得－5－xA＝－8，解得xA＝3.
【答案】 C
5．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 |AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝.
∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
6．已知A(－4)，B(2)，则线段AB中点M的坐标为___________________．
【解析】 设中点为x0，∴x0＝＝－1.
【答案】 －1
7．已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________．
【解析】 |AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，
解得x1＝－6或x1＝4
【答案】 －6或4
8．已知点A(2x)，B(x2)，且点A在点B右侧，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵A在B点的右侧，∴2x>x2，即x2－2x<0，∴0【答案】 (0,2)
三、解答题(每小题10分，共30分)
9．在数轴上，已知点M(x＋2)位于点N(2x＋4)的左侧，试求实数x的取值范围．
【解】 根据题意，由M(x＋2)位于N(2x＋4)的左侧可知：
2x＋4>x＋2，所以x>－2，
所以实数x的取值范围是{x|x>－2}．
10．根据所给条件，在数轴上分别画出点P(x)对应的范围．
(1)d(x,17)<30；
(2)|x－12|>3；
(3)|x＋1|≤2.
【解】 根据数轴上两点间距离的意义．
(1)d(x,17)<30.
即|x－17|<30，
∴－30∴－13(2)x－12>3或x－12<－3，
∴x>15或x<9.
(3)－2≤x＋1≤2，
∴－3≤x≤1.
11．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝.问：在线段DC上是否存在点E，使＝？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】 设点C的坐标为x，点E的坐标为x′，
则＝＝，即x＝－5，
∴点C的坐标为－5.
又点E在线段DC上，∴＝＝＝，
即4x′＋20＝3－x′，解得x′＝－∈(－5,3)．
∴在线段DC上存在点E(－)，使＝.
一、选择题
1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于( )
A．5 B．－1
C．1 D．－5
【解析】 易知x＝－3，y＝－2.∴x＋y＝－5.
【答案】 D
2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
【解析】 由题意知|AB|＝＝3，
|AC|＝＝3，
|BC|＝＝3.
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.
【答案】 C
3．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝( )
A．2 B．4
C. D.
【解析】 由题意知，设D(x，y)，∴，
∴，∴D(1,7)，
∴|CD|＝＝2，故选A.
【答案】 A
4．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为( )
A．4 B.
C. D.
【解析】 由题意知点C是线段AB的中点，
则∴∴|OP|2＝17，∴|OP|＝.
【答案】 D
5．已知△ABC的三个顶点A(－1,0)，B(1,0)和C(，)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
【解析】 ∵d(A，B)＝＝2，
d(B，C)＝ ＝1，
d(A，C)＝ ＝，
则|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形．
【答案】 C
二、填空题
6．已知?ABCD的三个顶点A(－1，－2)，B(3,1)，C(0,2)，则顶点D的坐标为________．
【解析】 设点D的坐标为(x，y)，则，
解得，
即顶点D的坐标为(－4，－1)．
【答案】 (－4，－1)
7．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________．
【解析】 由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5，∴点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0,5)．
【答案】 (0,5)
8．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．
【解析】 |AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2＝2a2－2a＋25＝2(a－)2＋，所以当a＝时，|AB|取得最小值．
【答案】
三、解答题
9．已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，E、F分别为边AB、BC的中点，求CE、DE、AF、DF的长度．
【解】 设线段AB的中点为E(x，y)，则x＝
＝－1，y＝＝4，
则d(E，C)＝＝5，
d(E，D)＝＝2，
即CE，DE的长度分别为5，2；
设线段BC的中点为F(m，n)，则m＝＝4，n＝＝4，则d(F，A)＝＝，
d(F，D)＝＝，
即AF，DF的长度都为.
10．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
【证明】 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，又由中点坐标公式，
可得D(，)，E(，)，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
11．求函数y＝＋的最小值．
【解】 原函数化为y＝＋，设A(0,2)，B(1，－1)，P(x,0)，借助于几何图形可知它表示x轴上的点P到两个定点A、B的距离的和，当A、P、B三点共线时，函数取得最小值．∴ymin＝|AB|＝.
一、选择题
1．经过下列两点的直线，斜率一定存在的是( )
A．(a,2)，(3,4)
B．(m,3)，(－m,4)
C．(b－3，k)，(7＋b，k－1)
D．(5，x)，(y,8)
【解析】 斜率存在，必须要求x1≠x2，故选C.
【答案】 C
2．给出下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一映射关系．
正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由倾斜角0°≤α<180°知②不对；
又平行于x轴的直线的倾斜角都是0°，有无数条，
∴③不对；同样的道理，④不对，只有①是正确的．
【答案】 A
3．已知A(a,2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝1 B．a＝2，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R且b≠1
【解析】 根据斜率不存在，只要两点横坐标相同即可．
【答案】 D
4．若图2－2－4中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有( )
图2－2－4
A．k1C．k1【解析】 设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由图可知α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0【答案】 C
5．经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵直线l的倾斜角为锐角，
∴斜率k＝>0，∴－1【答案】 C
二、填空题
6．已知点A(3,4)．在坐标轴上有一点B，若kAB＝2，则B点的坐标为________．
【解析】 若B在x轴上，设B(a,0)，kAB＝＝2.
∴a＝1；若B在y轴上，设B(0，b)，kAB＝＝2.
∴b＝－2.
【答案】 (1,0)或(0，－2)
7．已知三点A(5,4)，B(3,8)，C(n，－2)共线，则n＝________.
【解析】 由题意得kAB＝kAC，
即＝，
解得n＝8.
【答案】 8
8．△ABC的顶点坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围是________．
【解析】 由斜率公式得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝.
如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转．
当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为[，]．
【答案】 [，]
三、解答题
9．如图2－2－5所示，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
图2－2－5
【解】 直线AB的斜率kAB＝＝；
直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线CA的斜率kCA＝＝＝1.
由kAB>0及kCA>0知，直线AB与直线CA的倾斜角均为锐角；由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角．
10．在同一坐标系下，画出满足下列条件的直线：
(1)直线l1过原点，斜率为1；
(2)直线l2过点(3,0)，斜率为－；
(3)直线l3过点(－3,0)，斜率为－；
(4)直线l4过点(－3,0)，斜率为.
【解】 (1)设A(x1，y1)是直线l1上一点，根据斜率公式有1＝，即x1＝y1，令x1＝y1＝1，则直线l1过原点及点A(1,1)两点．
(2)同理，设B(x2，y2)是直线l2上一点，则－＝，即y2＝2－x2，令x2＝0，得y2＝2，所以直线l2过点(3,0)及点B(0,2)．
(3)同理可知，直线l3过点(－3,0)及(0，－2)．
(4)同理可知，直线l4过点(－3,0)及(0,2)．
四条直线的图象如图所示．
11．已知两点P(－3,4)，Q(3,2)，过点A(1,0)的直线l与线段PQ有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
【解】 如图，由题意可知kPA＝＝－1，
kAQ＝＝1.
(1)要使直线l与线段PQ有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PA与AQ的倾斜角之间，又PA的倾斜角是135°，QA的倾斜角是45°，∴倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
一、选择题
1．直线x－y＋1＝0的斜率为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 直线的斜率为－＝.
【答案】 A
2．过点M(－4,3)和N(－2,1)的直线方程是( )
A．x－y＋3＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0
D．x＋y－3＝0
【解析】 由两点式得＝，整理得x＋y＋1＝0.
【答案】 B
3．(2013·衡水高一检测)经过点P(1,2)，并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
【解析】 先考虑过P(1,2)和原点(0,0)的直线，这是第一条，再设直线＋＝1，把点P(1,2)代入得＋＝1，
当a＝b时即a＝b＝3时的直线为第二条，当a＝－b时，即a＝－1，b＝1时为第三条．
【答案】 C
4．下列说法中正确的是( )
A.＝k表示过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程
B．直线y＝kx＋b与y轴交于一点B(0，b)，其中截距b＝|OB|
C．在x轴和y轴上截距分别为a与b的直线的方程为＋＝1
D．方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示过任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线
【解析】 A中直线上需去掉点(x1，y1)，故A错；B中b是直线与y轴交点的纵坐标，不一定等于|OB|，故B错；C中a，b均不取零时，才有直线方程＋＝1，故C错，D正确．
【答案】 D
5．若AC<0，BC<0，则直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 将Ax＋By＋C＝0化为斜截式为y＝－x－，
∵AC<0，BC<0，∴AB>0，∴k<0，b>0.
故直线不通过第三象限，选C.
【答案】 C
二、填空题
6．过点P(1,2)，且斜率与直线y＝－2x＋3的斜率相等的直线方程为________．
【解析】 ∵直线y＝－2x＋3的斜率k＝－2，
∴所求直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.
【答案】 2x＋y－4＝0
7．直线x－y＋1＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
【解析】 直线x－y＋1＝0在两坐标轴上的截距分别为－1,1，故S△＝×|－1|×|1|＝.
【答案】
8．(2013·郑州高一检测)过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式是________．
【解析】 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A、B的坐标分别为(2,0)、(0,6)．
则l的方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
三、解答题
9．根据下列所给条件，求直线的方程．
(1)过点A(1,2)，斜率k＝2；
(2)经过点B(2，－1)和C(－1,3)；
(3)斜率为，在y轴上截距为；
(4)在x轴、y轴上截距分别为－1和3；
(5)经过点M(－1，－2)和N(－1,3)．
【解】 (1)由直线方程的点斜式得y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
(2)由直线方程的两点式得＝，
即4x＋3y－5＝0.
或先求经过B、C两点的直线的斜率k＝＝－，由直线方程的点斜式得y＋1＝－(x－2)，即4x＋3y－5＝0.
(3)由直线方程的斜截式可得y＝x＋，
即4x－6y＋3＝0.
(4)由直线方程的截距式得＋＝1，
即3x－y＋3＝0.
(5)∵M，N两点横坐标都是－1，
∴直线MN的方程为x＝－1，即x＋1＝0.
10．已知直线l过点P(－2,0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，求直线l的方程．
【解】 设直线l在y轴上的截距为b，
则由已知得×|－2|×|b|＝10，b＝±10.
①当b＝10时，直线过点(－2,0)，(0,10)，
斜率k＝＝5.
∴直线的斜截式方程为y＝5x＋10.
②当b＝－10时，直线过点(－2,0)，(0，－10)，斜率k＝＝－5.
∴直线的斜截式方程为y＝－5x－10.
综合①②可知直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10.
11．设直线l的方程为(m＋1)x＋y＋2－m＝0(m∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数m的取值范围．
【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等，所以m＝2满足条件，此时直线l的方程为3x＋y＝0.
当m＝－1时，直线为平行于x轴的直线，在x轴上无截距，不合题意．
当m≠－1且m≠2时，直线在x轴上的截距为，直线在y轴上的截距为m－2，因此＝m－2，
即m＋1＝1，所以m＝0，此时直线l的方程为x＋y＋2＝0.
综上所述，当m＝2或m＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等，方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程转化为y＝－(m＋1)x＋m－2，
所以或
所以m≤－1，所以m的取值范围为(－∞，－1].
一、选择题
1．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.
【答案】 A
2．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
【解析】 与2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y＋m＝0，把(－1,2)代入直线方程得m＝－1.
【答案】 A
3．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是
( )
A．1 B．0
C．－1 D．0或－1
【解析】 两直线无公共点，即两直线平行，
∴1×3a－a2(a－2)＝0，
∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．
【答案】 D
4．以A(1,3)和B(－5,1)为端点的线段AB的中垂线方程是( )
A．3x－y＋8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．2x－y－6＝0 D．3x＋y＋8＝0
【解析】 kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，AB的中垂线与AB垂直且过AB的中点，故k＝－3，∴方程为y－2＝－3(x＋2)即3x＋y＋4＝0.
【答案】 B
5．点(－2,3)关于直线y＝x＋1的对称点的坐标为( )
A．(2，－1) B．(3,0)
C．(3，－1) D．(2,0)
【解析】 设对称点为(x，y)，∴＝－1，即x＋y－1＝0 ①
又∵＝＋1，
∴y＋3＝x， ②
解①②得，x＝2，y＝－1，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________．
【解析】 与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.
【答案】 x－2y－1＝0
7．(2013·洛阳高一检测)已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2,3)，C(0，－4)，则点D的坐标为_____________________________________________．
【解析】 设D(x，y)，由题意可知，AB∥CD且AD∥BC.
∴kAB＝kCD且kAD＝kBC，
∴解得
∴D点的坐标为(3，－6)．
【答案】 (3，－6)
8．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________.
【解析】 由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，
又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，
∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD.
【解】 设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD、AD的斜率都存在．
因为kAB＝＝3，kCD＝且CD⊥AB，
所以kABkCD＝－1，即3×＝－1. ①
因为kBC＝＝－2，kAD＝且BC∥AD，
所以kBC＝kAD，即－2＝. ②
由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0,1)．
10．(1)求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程．
(2)求过两条直线x－y＋5＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
【解】 (1)设直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－，由a＋b＝－－＝得λ＝－1，∴所求直线方程为2x＋3y－1＝0.
(2)解方程组，得，
即已知的两条直线的交点坐标为(－，)．
设所求直线方程为－2x－3y＋C＝0，
将点(－，)代入方程得，C＝，
故所求直线方程为－2x－3y＋＝0，
即14x＋21y－15＝0.
图2－2－6
11．如图2－2－6，△ABC的顶点B(3,4)，AB边上的高CE所在直线方程为2x＋3y－16＝0，BC边上的中线AD所在直线方程为2x－3y＋1＝0，求边AC的长．
【解】 设点A，C的坐标分别为A(x1，y1)，C(x2，y2)．
∵AB⊥CE，kCE＝－，∴kAB＝－＝.
∴直线AB的方程为3x－2y－1＝0.
由得A(1,1)．
∵D是BC的中点，∴D(，)．
而点C在直线CE上，点D在直线AD上，
∴
∴C(5,2)，|AC|＝＝.
一、选择题
1．(2013·长春高一检测)若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为( )
A．－1 B．5
C．－1或5 D．－3或3
【解析】 由点到直线距离公式：
＝，
∴a＝－1或5，故选C.
【答案】 C
2．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
【解析】 设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.
【答案】 B
3．(2013·威海高一检测)已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B.
C. D.
【解析】 由两直线平行可知
＝≠，故m＝4.
又方程6x＋4y＋1＝0可化简为3x＋2y＋＝0，
∴平行线间的距离为＝.故选D.
【答案】 D
4．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
【解析】 法一 设所求直线的方程为2x＋3y＋C＝0，由题意可知
＝.
∴C＝－6(舍)或C＝8.
故所求直线的方程为2x＋3y＋8＝0.
法二 令(x0，y0)为所求直线上任意一点，则点(x0，y0)关于(1，－1)的对称点为(2－x0，－2－y0)，此点在直线2x＋3y－6＝0上，代入可得所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
【答案】 D
5．两平行线分别经过点A(5,0)，B(0,12)，它们之间的距离d满足的条件是
( )
A．0C．0【解析】 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以0【答案】 B
二、填空题
6．点(2,1)到x轴的距离为________，到y轴的距离为________，到直线y＝x的距离为________．
【解析】 点(2,1)到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，到直线x－y＝0的距离为＝.
【答案】 1 2
7．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线的距离为________．
【解析】 如图所示：
两直线的距离为：2＋3＝5.
【答案】 5
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
【解析】 设P(x，y)，A(2，－1)，且点P在直线x＋y－3＝0上， ＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
【答案】
三、解答题
9．(2013·广州高一检测)如图2－2－7，已知三角形的顶点为A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求：
图2－2－7
(1)AB边上的中线CM所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
【解】 (1)AB中点M的坐标是M(1,1)，中线CM所在直线的方程是
＝，
即2x＋3y－5＝0.
(2)|AB|＝ ＝2，
直线AB的方程是3x－y－2＝0，
点C到直线AB的距离是
d＝＝，
所以△ABC的面积是
S＝|AB|·d＝11.
10．已知直线l过直线y＝－x＋1和y＝2x＋4的交点．
(1)若直线l与直线x－3y＋2＝0垂直，求直线l的方程；
(2)若原点O到直线l的距离为1，求直线l的方程．
【解】 (1)由得交点(－1,2)，
∵直线x－3y＋2＝0的斜率是，直线l与直线x－3y＋2＝0垂直，∴直线l的斜率为－3，
∴所求直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋1＝0.
(2)如果l⊥x轴，则l的方程为x＝－1.
如果l不垂直于x轴，设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋2＋k＝0，
原点O到直线l的距离＝1，
解之得k＝－，此时l：y－2＝－(x＋1)．
综上，直线l的方程为3x＋4y－5＝0和x＝－1.
11．已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程．
【解】 法一 ∵点M在直线x＋y－3＝0上，
∴设点M坐标为(t,3－t)，
则点M到l1，l2的距离相等，
即＝，
解得t＝，∴M(，)．
又l过点A(2,4)，
由两点式得＝，即5x－y－6＝0，
故直线l的方程为5x－y－6＝0.
法二 设与l1、l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得＝，
解得C＝0，即l3：x－y＝0.
由题意得中点M在l3上，点M在x＋y－3＝0上．
解方程组得∴M(，)．
又l过点A(2,4)，
故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0.
法三 由题意知直线l的斜率必存在，
设l：y－4＝k(x－2)，
由得
由得
∴直线l与l1，l2的交点分别为
(，)，(，)．
∵M为中点，∴M(，)．
又点M在直线x＋y－3＝0上，
∴＋－3＝0，解得k＝5.
故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，
即5x－y－6＝0.
一、选择题
1．下面各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是( )
A．(1,1) B．(2,1)
C．(0,0) D．(，)
【解析】 经验证点(0,0)满足圆的方程(x－1)2＋(y－1)2＝2.
【答案】 C
2．(2013·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】 由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
【答案】 D
3．(2013·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25
【解析】 由题意，圆的半径r＝＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.
【答案】 A
4．已知点A(3，－2)、B(－5,4)，以线段AB为直径的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
【解析】 圆心为AB的中点(－1,1)，半径为|AB|＝＝5，∴方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
【答案】 B
5．(2013·绍兴高一检测)已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
【解析】 如图，结合圆和直角三角形的性质可知，圆的半径r＝＝.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
【答案】 B
二、填空题
6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1,1)的圆的方程是________．
【解析】 圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝25
7．(易错题)点P(1，－1)在圆x2＋y2＝r的外部，则实数r的取值范围是________．
【解析】 由题意得12＋(－1)2>r，即r<2，又r>0，故r的取值范围是(0,2)．
【答案】 (0,2)
8．(2013·浏阳高一检测)经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________．
【解析】 圆心C的坐标为(－1,2)，又直线的斜率为1，
故所求直线的方程为：y－2＝x＋1，
即x－y＋3＝0.
【答案】 x－y＋3＝0
三、解答题
9．(2013·长春高一检测)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．
【解】 由A(－1,4)，B(3,2)可得直线AB的斜率kAB＝＝－，AB的中点M(，)，
即M(1,3)，
∴直线AB的垂直平分线的方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0，令x＝0得y＝1，即所求圆的圆心为C(0,1)．
圆的半径为r＝|AC|＝＝.
所以，所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
10．已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试求满足下列条件的实数a的取值范围：
(1)点A在圆的内部；
(2)点A在圆上；
(3)点A在圆的外部
【解】 (1)∵点A在圆内部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，
即2a＋5<0，解得a<－.故a的取值范围是{a|a<－}．
(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a)2＋(2＋a)2＝2a2，解得a＝－，故a的值为－.
(3)∵点A在圆的外部，∴(1－a)2＋(2＋a)2>2a2，
即2a＋5>0，解得a>－.故a的取值范围是{a|a>－}．
11．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？
【解】 能．
设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
将A，B，C三点的坐标分别代入得
解得
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
将D(－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边，
(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，
即D点坐标适合此圆的方程．
故A，B，C，D四点在同一圆上.
一、选择题
1．方程x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示一个圆，则( )
A．a＝－1 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＝1
【解析】 由题意可知a＋2＝1，∴a＝－1.
【答案】 A
2．(2013·浏阳高一检测)若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有( )
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，即点(－，－)在直线y＝x上，所以D＝E.故选A.
【答案】 A
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
【解析】 原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．
【答案】 D
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2 B.或
C．2或0 D．－2或0
【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得＝得a＝0或a＝2.故选C.
【答案】 C
5．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π B．4π
C．8π D．9π
【解析】 设点P的坐标为(x，y)，由|PA|＝2|PB|得(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，
即(x－2)2＋y2＝4.
故点P的轨迹所围成的图形的面积S＝4π.
【答案】 B
二、填空题
6．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________.
【解析】 由题意可知
解得D＝－4，E＝8，F＝4.
【答案】 4
7．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于________．
【解析】 圆的半径r＝＝，
故圆的周长为2π.
【答案】 2π
8．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________．
【解析】 设M的坐标为(x，y)，圆心A为(2，－1)
由题意可知P(2x－2,2y＋1)在圆上，
故(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，
即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.
【答案】 x2＋y2－4x＋2y＋1＝0
三、解答题
9．(1)求经过三点A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)的圆的方程；
(2)若x2＋y2＋(2λ－1)x＋2λy＋2λ2＝0表示圆，求λ的取值范围．
【解】 (1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点坐标代入，整理得
解得
所以所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
(2)因为方程x2＋y2＋(2λ－1)x＋2λy＋2λ2＝0表示圆，
所以(2λ－1)2＋(2λ)2－8λ2>0，解得λ<，
即所求λ的取值范围为(－∞，)．
10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O(0,0)，A(3,0)，动点P到定点O的距离与到定点A的距离的比值是，求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线．
【解】 设动点P的坐标为(x，y)，则由|PO|＝|PA|，得λ(x2＋y2)＝(x－3)2＋y2，
整理得：(λ－1)x2＋(λ－1)y2＋6x－9＝0.
∵λ>0，∴当λ＝1时，则方程可化为：2x－3＝0，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为(x＋)2＋y2＝[]2，即方程表示的曲线是以(－，0)为圆心，为半径的圆．
11．如图2－3－1所示，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
图2－3－1
【解】 设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．由于点B的坐标是(4,3)，且M是线段AB的中点，
所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－4，y0＝2y－3. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4， ②
把①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得(x－)2＋(y－)2＝1.
所以，点M的轨迹是以(，)为圆心，半径长是1的圆.
一、选择题
1．(2012·辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【解析】 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
【答案】 C
2．(2013·长沙高一检测)以(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
【解析】 根据题意知点(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离与半径长相等，所以r＝＝3，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
【答案】 C
3．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相交或相切 D．相切
【解析】 直线x－ky＋1＝0过定点(－1,0)，而点(－1，0)在圆上，故直线与圆相切或相交．
【答案】 C
4．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x－y＋4＝0 D．x＋y－4＝0
【解析】 ∵12＋()2－4×1＝0，∴点P(1，)在圆上．
又圆x2＋y2－4x＝0的圆心A(2,0)，又题意可知切线与直线PA垂直．
又kPA＝＝－
∴所求切线的斜率k＝.
由点斜式得y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
【答案】 B
5．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．
【答案】 C
二、填空题
6．设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是________．
【解析】 将x2＋y2－2x－3＝0化为标准形式为(x－1)2＋y2＝4，圆心为(1,0)．直线2x＋3y＋1＝0的斜率k＝－，∴AB的垂直平分线的斜率为，∴AB的垂直平分线为y－0＝(x－1)，即3x－2y－3＝0.
【答案】 3x－2y－3＝0
7．(2013·开封高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．
【解析】 圆的方程化为标准式得(x－2)2＋(y－2)2＝18.
圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离
d＝＝5，
从而圆上点到直线的最小距离为5－r＝5－3＝2，最大距离为5＋3＝8，故最大距离与最小距离的差是6.
【答案】 6
8．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________．
【解析】 由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k，则直线方程为y＋2＝k(x＋1)，又圆的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，
∴圆心到直线的距离d＝＝ ，解得k＝1或.
【答案】 1或
三、解答题
9．已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，直线与圆
(1)相交；(2)相切；(3)相离？
【解】 圆心(0,0)到直线y＝x＋b的距离d＝，圆的半径为r＝.
(1)当d(2)当d＝r，即b＝±2时，直线与圆相切；
(3)当d>r，即b<－2或b>2时，直线与圆相离．
10．(2013·济宁高一检测)已知圆C的方程为：x2＋y2＝4.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；
(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
【解】 (1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)，则由＝2得k1＝0，k2＝－，故所求的切线方程为y＝2或4x＋3y－10＝0.
(2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，∴d＝1，∴1＝，∴k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.
11．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．
【解】 (1)证明：因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得
即l恒过定点A(3,1)．
因为圆心为C(1,2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点．
(2)由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3,1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
一、选择题
1．(2012·山东高考)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为
( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
【解析】 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－2【答案】 B
2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
【解析】 圆x2＋y2－2x－5＝0化为标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1,0)；圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝9，其圆心是(－1，2)．线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，验证可得A正确．
【答案】 A
3．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线方程是
( )
A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0
C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
【解析】 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为x2＋y2＋6x＋4y－(x2＋y2＋4x＋2y－4)＝0，即x＋y＋2＝0.
【答案】 A
4．若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是( )
A．m<1 B．m>121
C．1≤m≤121 D．1【解析】 x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.
圆心距为d＝＝5，若两圆有公共点，则|6－|≤5≤6＋，∴1≤m≤121.
【答案】 C
5．(2013·济南高一检测)过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是( )
A．y＝x B．y＝－x
C．y＝x D．y＝－x
【解析】 因为圆心为(－2,0)，半径为1，由图可知直线的斜率为＝，所以直线方程为y＝x.
【答案】 C
二、填空题
6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0相内切，则a＝________.
【解析】 圆x2＋y2－2ax＋a2－1＝0的圆心为(a,0)，半径为1，由题意可知|a|＝3，∴a＝±3.
【答案】 ±3
7．圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为________．
【解析】 由得或.
【答案】 (－1,0)和(0，－1)
8．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
【解析】 若两圆相交或相切，则最小值为0；若两圆外离，则最小值为|C1C2|－r1－r2.
(x－4)2＋(y－2)2＝9的圆心为C1(4,2)，半径r1＝3.
(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为C2(－2，－1)，半径r2＝2.
又|C1C2|＝3，显然两圆相离，
所以|PQ|的最小值为3－5.
【答案】 3－5
三、解答题
9．已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．
【解】 (1)将两圆方程配方，化为标准方程：
C1(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径长r1＝5；
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径长r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，
r1－r2＝5－，
∴r1－r2<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)两圆方程联立，得方程组
两式相减得x＝2y－4， ③
把③代入②得y2－2y＝0，
解得y＝0或y＝2.
则或
故两圆交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
因此，两圆的公共弦长为＝2.
10．已知P(－1,2)为圆x2＋y2＝8内一定点．
(1)求过点P且被圆所截得的弦最短的直线方程；
(2)求过点P且被圆所截得的弦最长的直线方程．
【解】 已知圆心C(0,0)，半径r＝2.
(1)当弦与PC垂直时，过点P且被圆所截得的弦最短．
因为kPC＝＝－2，所以k＝，
因此所求的直线方程为y－2＝(x＋1)，
即x－2y＋5＝0.
(2)当弦过圆心C时，过点P且被圆所截得的弦最长．
因为kPC＝－2，
所以所求的直线方程为y－2＝－2(x＋1)，
即2x＋y＝0.
11．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【解】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径长r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离．
故这艘轮船不改变航线，不会受到台风的影响.
一、选择题
1．点P(2,3,4)到x轴的距离是( )
A. B．2
C．5 D.
【解析】 如图所示，B′点坐标为(2,3,4)，则其到x轴距离为AB′＝＝＝5.
【答案】 C
2.
图2－4－4
如图2－4－4所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，BP＝BD′，则P点坐标为( )
A．(，，)
B．(，，)
C．(，，)
D．(，，)
【解析】 连接BD′，点P在坐标平面xDy上的射影在BD上，
∵BP＝BD′，所以Px＝Py＝，Pz＝，∴P(，，)．
【答案】 D
3．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 |AB|＝
＝＝ ≥ ＝.
【答案】 C
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9 B.
C．5 D．2
【解析】 画出长方体的图形，可以求出C1(0,2,3)，
∴|AC1|＝，故选B.
【答案】 B
5．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A. B.
C. D.
【解析】 设P(x，y，z)，由题意可知
，∴x2＋y2＋z2＝.
∴＝.
【答案】 A
二、填空题
6．点(1,2,3)关于原点的对称点是________．
【答案】 (－1，－2，－3)
7．(2013·长沙高一检测)点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
【解析】 点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，
∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
【答案】 0
8．已知A(－3,1,1)，B(－2,2,3)，在z轴上有点P到A，B两点的距离相等，则点P的坐标是________．
【解析】 设P(0,0，z)，则有
＝，
∴z＝.
【答案】 (0,0，)
三、解答题
9．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．
【解】 |AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
10．已知点A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时|AB|.
【解】 由空间两点间的距离公式得|AB|＝
＝＝
当x＝时，|AB|有最小值＝，
此时A(，，)，B(1，，)．
图2－4－5
11．如图2－4－5所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
【解】 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝
＝，
|EF|＝
＝.
