第一章 直角三角形的边角关系 单元复习练习题 （含答案） 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

第一章 直角三角形的边角关系
一、单项选择题。
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则下列三角函数表示正确的是( )
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．tanB＝
2．在如图所示的方格网中，△ABC的三个顶点都在格点上，则tan ∠ACB的值为( )
A． B． C． D．3
3．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则sin α的值是( )
A． B． C． D．2
4．如图，点P在第二象限，OP与x轴负半轴的夹角是α，且OP＝10，tan α＝，则点P的坐标是( )
A．(6，8) B．(－6，8) C．(－8，6) D．(－6，10)
5．已知∠α为锐角，且2sin (90°－α)＝1，则tanα的值为( )
A． B． C．1 D．
6．如图，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则AC等于( )
A．a sinα＋b cosβ B．a cosα＋b sinβ
C．a sinα＋b sinβ D．a cosα＋b cosβ
7．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12m，AB与AC的夹角为α，则高BC是( )
A.12sinαm B．12cosαm C．m D．m
8．如图，某停车场入口的栏杆AB从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4m，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( )
A．m B．m C．4sinαm D．4cosαm
二、填空题。
9. 如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长都相同，那么∠BAC的正弦值为__________．
10. 2cos60°＝__________．
11．已知∠α为锐角，且cos(90°－α)＝，则∠α＝____．
12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC的值为________．
13. 如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝2，AB＝10，则AC的长为________．
14. 定义一种运算：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如：当α＝45°，β＝30°时，sin (45°＋30°)＝sin 45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝，则sin15°的值为 ________________．
15. 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，若已知原楼梯的长为5 m，则调整后的楼梯会加长约________m．(参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈)
三、解答题。
16．计算：
(1)－tan260°；
(2)3tan30°－＋cos 45°＋.
17．如图，在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84，求tan C的值．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，点D是AB上的一点，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，DB＝9，求：
(1)BC的长；
(2)cos∠BCD的值．
19．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90m至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
20. 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5m，测得点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1m，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)．
21. 如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98m，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35m到达E处，她站在E处，当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°，当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1∶0.75，求风叶AB的长度(参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50)．
答案：
一、
1-8 AAABD BAC
二、
9.
10. 1
11. 45°
12.
13. 3
14.
15. 1
三、
16. 解：(1) 原式＝－()2＝＋1－3＝－2
(2) 原式＝3×－＋×＋＝－2＋2＋－1＝2－1
17. 解：过点A作AD⊥BC于点D.∵S△ABC＝BC·AD＝84，∴·14AD＝84，∴AD＝12，∴BD＝＝＝9，∴CD＝BC－BD＝14－9＝5，∴在Rt△ADC中，tan C＝＝
18. 解：(1)∵在Rt△DEA中，AD＝＝＝3，∴AB＝BD＋AD＝12，∴在Rt△ABC中，BC＝AB·sin A＝12×＝8
(2)∵AC＝＝＝4，AE＝＝＝，∴CE＝AC－AE＝4－＝3，∴CD＝＝＝7，∴在Rt△CDE中，cos∠CDE＝＝.又∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD，∴cos∠BCD＝cos ∠CDE＝
19. 解：根据题意可知∠A＝37°，∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝90°－53°＝37°，∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°，∴AB⊥BD，∴在Rt△BCD中，∴BD＝CD·cos∠BDC＝90cos37°≈90×0.80＝72(m)，∴在Rt△ABD中，AB＝≈≈＝96(m)，∴A，B两点间的距离约为96m
20. 解：根据题意可知EF＝AB＝15m，延长EF交DC于点H，则CH＝BF＝AE＝1.5m．设FH＝x m，则EH＝EF＋FH＝(15＋x)m，在Rt△DFH中，DH＝FH·tan ∠DFH＝tan45°x＝x(m).又∵在Rt△DHE中，tan ∠DEH＝，∴＝tan34°≈0.67，∴x≈30.5，∴DC＝DH＋CH＝x＋1.5≈30.5＋1.5＝32(m)，∴拂云阁DC的高度约为32m
21. 解：过点E分别作EF⊥CD交CD的延长线于点F，EG⊥AC于点G，过点A′作A′H⊥EG交EG的延长线于点H，则四边形EFCG和四边形A′BGH为矩形，EF∶DF＝i＝1∶0.75，∴DF＝EF，∴DE＝＝＝EF＝35m，∴EF＝28m ，∴DF＝EF＝21m，∴A′H＝BG＝BC－CG＝BC－EF＝98－28＝70(m)，∴EH＝＝＝70(m).设AB＝A′B＝xm，则EG＝(70－x)m，AG＝(70＋x)m，∴在Rt△AEG中，＝＝tan∠AEG＝tan 68°≈2.5，解得x≈30，∴风叶AB的长度约为30m