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【高考真题】2022年新高考数学真题试卷（天津卷）
一、单选题
1．（2023·呼和浩特模拟）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】，故，
故答案为：A.
【分析】 直接利用集合的补集与交集的运算法则求解，即可得答案.
2．（2022高一上·河北期中）“为整数”是“为整数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
3．（2022·天津市）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，B选项错误；
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和奇函数的图象的对称性，再结合x的取值范围求值域的方法、函数的单调性，进而找出函数的图象。
4．（2022·天津市）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】志愿者的总人数为＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12．
故答案为：B.
【分析】利用一直他们结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量和作差法得出第三组中有疗效的人数。
5．（2022·天津市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
6．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】原式
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
7．（2022·天津市）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的准线方程为，进而得出c的值，从而得出焦点的坐标，不妨设点为第二象限内的点，联立可得交点A的坐标，再利用且，则为等腰直角三角形，且，再利用两点距离公式和勾股定理得出的值，再结合c的值和双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
8．（2022·天津市）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以，
在直棱柱中，平面BHC，则，
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故答案为：D.
【分析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，再利用，进而得出的长，再利用重叠后的底面为正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，设重叠后的EG与交点为再结合棱锥体积公式和棱柱体积公式，再利用几何法和作差法得出该几何体的体积。
9．（2022·天津市）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；复合三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法、正弦型函数的图象在给定区间求值域的方法、正弦型函数的图象变换，进而找出正确说法的个数。
二、填空题
10．（2022·天津市）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】．
故答案为：．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则化简得出 。
11．（2020高二下·北京期中） 的展开式中的常数项为 .
【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入即可得解.
12．（2022·天津市）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：2.
【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由勾股定理和，进而得出实数m的值。
13．（2022·天津市）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出两次都抽到A的概率；再利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率。
14．（2022·天津市）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
【分析】方法一：利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，从而得出用表示；再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求向量夹角公式和均值不等式求最值的方法以及三角形中角的取值范围，进而得出 的取值范围，从而得出 的最大值。
方法二：利用已知条件，建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和圆的定义判断出点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，再结合正弦函数的定义得出此时角C的正弦值，从而得出角C的值。
15．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。
①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；
③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。
三、解答题
16．（2022·天津市）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解：因为，即，而，代入得，解得：．
（2）解：由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）解：因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出实数c的值。
（2）利用已知条件结合三角形中角的取值范围、同角三角函数基本关系式和正弦定理，进而得出角B的正弦值。
（3）利用已知条件结合三角函数值在各象限的符号得出角A的取值范围，再结合三角形中内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，进而得出 的值。
17．（2022·天津市）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2）解：，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3）解：，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 在直三棱柱中，平面，且，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，则，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，故，进而证出平面。
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面夹角的正弦值。
（3） 利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值。
18．（2022·天津市）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
【答案】（1）解：设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）解：因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式，进而得出数列 与的通项公式。
（2）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和分析法证出 成立。
（3）利用已知条件结合数列 与的通项公式和错位相减的方法得出 的值。
19．（2022·天津市）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【答案】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出a，b的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，从而利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率的值。
（2） 由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，①，再利用求交点的坐标得出交点M的坐标，由结合两点距离公式得出，②，由结合三角形的面积公式得出，③，联立①②③可得k，m，a的值，从而得出椭圆的标准方程。
20．（2022·天津市）已知，函数
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）解：，故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
（2）解：（i）当时，
因为曲线和有公共点，故有解，
设，故，故在上有解，
设，故在上有零点，
而，
若，则恒成立，此时在上无零点，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
而，，故在上无零点，
故，
设，则，
故在上为增函数，
而，，
故在上存在唯一零点，
且时，；时，；
故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为在上有零点，故，故，
而，故即，
设，则，
故在上为增函数，
而，故.
（ii）因为曲线和有公共点，
所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
故，所以，
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立.
当时，即证，
设，则（不恒为零），
故在上为减函数，故即成立.
综上，成立.
下证：当时，恒成立，
，则，
故在上为增函数，故即恒成立.
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，
而，故成立.
故，即成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点坐标，再利用点斜式和转化法得出函数在处的切线方程。
（2） （i）当时，利用曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，再结合不等式恒成立问题求解方法和函数的单调性求最值的方法，进而得出实数b的取值范围。
（ii）利用曲线和有公共点，所以有解，其中，若，则，该式不成立，故，故，考虑直线，再利用表示原点与直线上的动点之间的距离，再结合几何法得出，当时，有，故成立，当时，即证，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法和分析法证出不等式成立。
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【高考真题】2022年新高考数学真题试卷（天津卷）
一、单选题
1．（2023·呼和浩特模拟）设全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高一上·河北期中）“为整数”是“为整数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·天津市）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津市）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
5．（2022·天津市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·天津市）化简的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．（2022·天津市）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·天津市）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
9．（2022·天津市）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在上单调递增；
③当时，的取值范围为；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
10．（2022·天津市）已知是虚数单位，化简的结果为 ．
11．（2020高二下·北京期中） 的展开式中的常数项为 .
12．（2022·天津市）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
13．（2022·天津市）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
14．（2022·天津市）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为
15．（2022·天津市）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
三、解答题
16．（2022·天津市）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17．（2022·天津市）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．
18．（2022·天津市）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
19．（2022·天津市）椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
20．（2022·天津市）已知，函数
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】，故，
故答案为：A.
【分析】 直接利用集合的补集与交集的运算法则求解，即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
3．【答案】D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，B选项错误；
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和奇函数的图象的对称性，再结合x的取值范围求值域的方法、函数的单调性，进而找出函数的图象。
4．【答案】B
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】志愿者的总人数为＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18，
所以第三组中有疗效的人数为18－6＝12．
故答案为：B.
【分析】利用一直他们结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量和作差法得出第三组中有疗效的人数。
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
6．【答案】B
【知识点】对数的运算性质；换底公式的应用
【解析】【解答】原式
，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合对数的运算法则和换底公式化简求值。
7．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线的准线方程为，则，则、，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.
故答案为：C.
【分析】利用抛物线的准线方程为，进而得出c的值，从而得出焦点的坐标，不妨设点为第二象限内的点，联立可得交点A的坐标，再利用且，则为等腰直角三角形，且，再利用两点距离公式和勾股定理得出的值，再结合c的值和双曲线中a，b，c三者的关系式得出a，b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
8．【答案】D
【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以，
在直棱柱中，平面BHC，则，
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故答案为：D.
【分析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，再利用，进而得出的长，再利用重叠后的底面为正方形，所以，在直棱柱中，平面BHC结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，设重叠后的EG与交点为再结合棱锥体积公式和棱柱体积公式，再利用几何法和作差法得出该几何体的体积。
9．【答案】A
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；复合三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】因为，所以的最小正周期为，①不正确；
令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确；
由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确．
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的图象判断单调性的方法、正弦型函数的图象在给定区间求值域的方法、正弦型函数的图象变换，进而找出正确说法的个数。
10．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】．
故答案为：．
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则化简得出 。
11．【答案】15
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ，代入即可得解.
12．【答案】2
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：2.
【分析】利用圆得出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再由勾股定理和，进而得出实数m的值。
13．【答案】；
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，
则.
故答案为：；.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出两次都抽到A的概率；再利用已知条件结合条件概型求概率公式，进而得出第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率。
14．【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；圆方程的综合应用
【解析】【解答】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
【分析】方法一：利用已知条件结合三角形法则和平面向量基本定理，从而得出用表示；再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积求向量夹角公式和均值不等式求最值的方法以及三角形中角的取值范围，进而得出 的取值范围，从而得出 的最大值。
方法二：利用已知条件，建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示和圆的定义判断出点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，再结合正弦函数的定义得出此时角C的正弦值，从而得出角C的值。
15．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【解答】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，，由可得x的值，要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，再结合函数的零点与方程的根的等价关系，再结合判别式法得出实数a的取值范围。
①当时，，作出函数、的图象，再利用函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系，得出此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，进而得出实数a的取值范围；
③当时，，作出函数、的图象，由图结合函数的零点与两函数的图象的交点的横坐标的等价关系可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，从而得出实数a的取值范围，再结合并集的运算法则得出实数的取值范围。
16．【答案】（1）解：因为，即，而，代入得，解得：．
（2）解：由（1）可求出，而，所以，又，所以．
（3）解：因为，所以，故，又， 所以，，而，所以，
故．
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出实数c的值。
（2）利用已知条件结合三角形中角的取值范围、同角三角函数基本关系式和正弦定理，进而得出角B的正弦值。
（3）利用已知条件结合三角函数值在各象限的符号得出角A的取值范围，再结合三角形中内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式和余弦公式、同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式，进而得出 的值。
17．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2）解：，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3）解：，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1） 在直三棱柱中，平面，且，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，则，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，故，进而证出平面。
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面夹角的正弦值。
（3） 利用已知条件结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和，再利用数量积求向量夹角公式得出平面与平面夹角的余弦值。
18．【答案】（1）解：设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）解：因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列和等比数列的通项公式，进而得出数列 与的通项公式。
（2）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和分析法证出 成立。
（3）利用已知条件结合数列 与的通项公式和错位相减的方法得出 的值。
19．【答案】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两点距离公式得出a，b的关系式，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式得出a，c的关系式，从而利用椭圆的离心率公式得出椭圆的离心率的值。
（2） 由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合判别式法得出，①，再利用求交点的坐标得出交点M的坐标，由结合两点距离公式得出，②，由结合三角形的面积公式得出，③，联立①②③可得k，m，a的值，从而得出椭圆的标准方程。
20．【答案】（1）解：，故，而，
曲线在点处的切线方程为即.
（2）解：（i）当时，
因为曲线和有公共点，故有解，
设，故，故在上有解，
设，故在上有零点，
而，
若，则恒成立，此时在上无零点，
若，则在上恒成立，故在上为增函数，
而，，故在上无零点，
故，
设，则，
故在上为增函数，
而，，
故在上存在唯一零点，
且时，；时，；
故时，；时，；
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，
因为在上有零点，故，故，
而，故即，
设，则，
故在上为增函数，
而，故.
（ii）因为曲线和有公共点，
所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故.
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离，
故，所以，
下证：对任意，总有，
证明：当时，有，故成立.
当时，即证，
设，则（不恒为零），
故在上为减函数，故即成立.
综上，成立.
下证：当时，恒成立，
，则，
故在上为增函数，故即恒成立.
下证：在上恒成立，即证：，
即证：，即证：，
而，故成立.
故，即成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点坐标，再利用点斜式和转化法得出函数在处的切线方程。
（2） （i）当时，利用曲线和有公共点，故有解，设，故，故在上有解，设，故在上有零点，再利用求导的方法判断函数的单调性和零点存在性定理，再结合不等式恒成立问题求解方法和函数的单调性求最值的方法，进而得出实数b的取值范围。
（ii）利用曲线和有公共点，所以有解，其中，若，则，该式不成立，故，故，考虑直线，再利用表示原点与直线上的动点之间的距离，再结合几何法得出，当时，有，故成立，当时，即证，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法和分析法证出不等式成立。
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