北师大版八年级数学上册试题 1.1 探索勾股定理（含答案）

1.1 探索勾股定理
一、选择题
1．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则第三边长的平方是（　　　）
A．36 B．64 C．100 D．100或28
2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）
A．10 B．13 C．7 D．14
3．如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使是直角，测得AC的长为85m，BC的长为75m，则点A与点B的距离是（ ）
A．20m B．40m C．30m D．50m
4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．4.75 cm C．6 cm D．5cm
5．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（ ）m的路，却踩伤了花草．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．在中，斜边，则等于（ ）
A．5 B．25 C．50 D．100
7．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、，已知，，（ ）．
A．90 B．100 C．110 D．120
8. 在中，若，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
9. 如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
1．在中，，
（1）如果a=3，b=4，则c=____；
（2）如果a=6，b=8，则c=____；
（3）如果a=5，b=12，则c=____；
（4）如果a=15，b=20，则c=____
2．如图，在2×2的网格中，线段AB的端点均在网格线的交点上，若每个小正方形的边长均为1，则线段AB的长为_________________．
3．直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为______
4．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是__m．
5．如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会 标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为__________
6.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________．
7. 如图．在中，，平分，于E，若，则的长为________．
8.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）如图， 设门高为尺，根据题意，可列方程为________．
三、解答题
1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．
（1）已知，求b；
（2）已知，求c；
（3）已知，求a．
2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AD是△ABC的高，求AD的长．
3．1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用如图验证了勾股定理，你能利用它验证勾股定理吗？请写出证明过程．
4．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
5．根据勾股定理知识迁移，完成下列应用．
(1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________；
(2)应用：如图2，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，分别以三边为直径作半圆，若，，求图中阴影部分的面积．
6．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．
(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．
答案
一、选择题
C．A．B．D．B．B． B． D．D．
二、填空题
1. 5 10 13 25
2.． 3.30． 4.170． 5.4． 6.100．
7.．8.．
三、解答题
1.解：（1）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，
；
（2）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，
；
（3）直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，，，
．
2.解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=a，
∴BC=，
∵AD是△ABC的高，
∴S△ABC=×AB×AC=×BC×AD，
即×a×a=×a×AD，
解得AD=a．
故AD的长为a．
3.解：能，理由如下：
∵直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
∴ (a+b)(a+b)＝2×ab+c2，
∴（a+b）（a+b）=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
4.解：设秋千的绳索长为，则，
，
在中，
，即，
解得，
答：绳索的长度是．
5.(1)如图，设直角三角形的三边长分别为，则
故答案为：
(2)设直角三角形为S4，直角三角形三边为直径的半圆的面积，，
∵直角边a=3，斜边c=5
∴，则
∴阴影部分的面积S=S1+S2+S4-S3=S4=6
6.(1)
法一：，
另一方面，，
即，则．
法二：
另一方面，
∴
整理得：
(2)
，
设，依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
(3)
将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形一个的面积设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，且，
∴，
∴，
∴，
∴．