本册综合测试(A)
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知点A(a,3)、B(－1，b＋2)且直线AB的倾斜角为90°，则a、b的值为( )
A．a＝－1，b∈R且b≠1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝3，b＝1 D．a＝3，b＝－1
[答案] A
[解析] ∵直线AB的倾斜角为90°，∴AB⊥x轴，∴a＝－1，b∈R且b≠1.
2．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点( )
A．(3,8) B．(8,3)
C．(－3,8) D．(－8,3)
[答案] C
[解析] 直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为
m(x＋3)－2x－y＋2＝0，
∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C.
3．(2014·山东东营广饶一中高一期末测试)一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且这个等腰梯形的面积为，则原梯形的面积为( )
A．2 B.
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 由平面图形的斜二测画法规则，得＝，∴S原梯形＝4.
4．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a?α，b?α B．a?α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α
[答案] B
[解析] 已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得A?b.过A作直线c∥b，则过a、b必存在平面α，且使得a?α，b∥α.
5．(2014·福建安溪八中高一期末测试)若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1的外部，则有直线ax＋by＋1＝0与圆C的位置关系是( )
A．相切 B．相离
C．相交 D．相交或相切
[答案] C
[解析] ∵点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1的外部，∴a2＋b2>1.
∴圆C的圆心(0,0)到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝<1，
即直线ax＋by＋1＝0与圆C相交．
6．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
[答案] C
[解析] 当a>0时，直线y＝ax的斜率k＝a>0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a>0，此时，选项A、B、C、D都不符合；当a<0时，直线y＝ax的斜率k＝a<0，直线y＝x＋a在y轴上的截距等于a<0，只有选项C符合，故选C.
7．(2014·广西南宁高一期末测试)已知平面α外不共线的三点A、B、C到平面α的距离相等，则正确的结论是( )
A．平面ABC必平行于α
B．平面ABC必不垂直于α
C．平面ABC必与α相交
D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内
[答案] D
[解析] 平面ABC与平面α可能平行也可能相交，排除A、B、C，故选D.
8．过点P(－2,4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线l1?ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 直线l1的斜率k＝－，l1∥l，
又l过P(－2,4)，∴l?y－4＝－(x＋2)，
即ax＋3y＋2a－12＝0，
又直线l与圆相切，
∴＝5，∴a＝－4，
∴l1与l的距离为d＝，∴选B.
9．光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝，b＝6 B．a＝－，b＝－6
C．a＝3，b＝－ D．a＝－3，b＝
[答案] B
[解析] 由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0,2)关于y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－选B.
10．圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa的正方形，则这个圆柱的体积是( )
A．2π2a3 B．π2a3
C.a3 D.a3
[答案] A
[解析] 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2πa的正方形，所以圆柱的底面半径是a，高为2πa，所以V圆柱＝πa2·(2πa)＝2π2a3，故选A.
11．圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线y＝－x的最小距离为( )
A．2－1 B．2
C. D．1
[答案] A
[解析] 圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(2,2)，半径r＝1.
圆心(2,2)到直线y＝－x的距离d＝＝2.
故动点P到直线y＝－x的最小距离为2－1.
12．一个几何体的三视图如下图所示，该几何体的表面积为( )
A．280 B．292
C．360 D．372
[答案] C
[解析] 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面的面积之和．
S＝2×(10×8＋10×2＋8×2)＋2×(6×8＋8×2)＝360.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．过点P(－2,0)作直线l交圆x2＋y2＝1于A、B两点，则|PA|·|PB|＝________.
[答案] 3
[解析] 如图所示．
|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|＝1×3＝3.
14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则它的体积为__________．
[答案] 4
[解析] 由已知得，正四棱柱的底面边长为1，高为4，体积V＝12×4＝4.
15．若点P在坐标平面xOy内，点A的坐标为(0,0,4)且d(P，A)＝5，则点P的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝9
[解析] 设P(x，y,0)，则d(P，A)＝＝5，即x2＋y2＝9.
16．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：__________________.
[答案] ①②?③或(①③?②)
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)设A(1，－2，x)，B(x,3,0)，C(7，x,6)，且A、B、C三点能构成直角三角形，求x的值．
[解析] AB2＝2x2－2x＋26，BC2＝2x2－20x＋94，AC2＝2x2－8x＋76，
由(2x2－2x＋26)＋(2x2－20x＋94)＝2x2－8x＋76得x2－7x＋22＝0无解；
由(2x2－2x＋26)＋(2x2－8x＋76)＝2x2－20x＋94得x2＋5x＋4＝0，∴x1＝－4，x2＝－1；
由(2x2－20x＋94)＋(2x2－8x＋76)＝2x2－2x＋26得x2－13x＋72＝0无解，
∴x的值为－4或－1.
18．(本题满分12分)下面三条直线l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能构成三角形，求m的取值集合．
[解析] ①三条直线交于一点时，
由知l1和l2的交点A，
由A在l3上，可得2×－3m×＝4，得m＝或m＝－1.
②至少两条直线平行或重合时，l1，l2，l3至少两条直线的斜率相等，
当m＝4时，l1∥l2；当m＝－时，l1∥l3，
若l2∥l3，则需有＝?m2＝－，不可能．
综合①、②可知m＝－1，－，，4时，三条直线不能组成三角形，因此m的取值集合为{－1，－，，4}．
19．(本题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6，求证：平面PBD⊥平面PAC.
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.
又tan∠ABD＝＝.
tan∠BAC＝＝.
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AED＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
∵BD?平面PBD.
所以平面PBD⊥平面PAC.
20．(本题满分12分)在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0.若B的坐标为(1,2)，求△ABC三边所在直线方程及点C坐标．
[解析] BC边上高AD所在直线方程x－2y＋1＝0，
∴kBC＝－2，
∴BC边所在直线方程为：y－2＝－2(x－1)即2x＋y－4＝0.
由，得A(－1,0)，
∴直线AB：x－y＋1＝0，点B(1,2)关于y＝0的对称点B′(1，－2)在边AC上，
∴直线AC：x＋y＋1＝0，
由，得点C(5，－6)．
21．(本题满分12分)降水量是指水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38cm，底面直径为24cm，深度为35cm的圆台形容器(轴截面如图)来测量降水量，若在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的，则本次降雨的降水量是多少？(精确到mm)
[解析] 如图，作BE⊥CD于点E，交MN于点G，作AH⊥CD于H，交MN于点P，则＝，四边形ABEH、PGEH均为矩形．
∴BG＝·BE＝×35＝5(cm)．
EH＝PG＝AB＝24cm.
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴MN＝PG＋2GN.
又∵EC＝(CD－AB)＝(38－24)＝7(cm)，
∴GN＝EC＝1(cm)，
∴MN＝PG＋2GN＝24＋2＝26(cm)．
∴此次降雨中雨水的体积为
V＝π[()2＋()2＋(·)]·BG
＝π×5×(132＋122＋13×12)
＝(cm3)，
降雨中雨水面的面积S＝π()2＝361π(cm2)．
∴此次降雨的降水量为h＝＝≈2.2(cm)＝22(mm)．
即本次降雨的降水量是22mm.
22．(本题满分14分)已知⊙C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0.
(1)若⊙C的切线在x轴、y轴上截距相等，求切线的方程；
(2)从圆外一点P(x0，y0)向圆引切线PM，M为切点，O为原点，若|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．
[解析] ⊙C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
圆心C(－1,2)，半径r＝2.
(1)若切线过原点设为y＝kx，
则＝2，∴k＝0或.
若切线不过原点，设为x＋y＝a，
则＝2，∴a＝1±2，
∴切线方程为：y＝0，y＝x，
x＋y＝1＋2和x＋y＝1－2.
(2)＝，
∴2x0－4y0＋1＝0，
|PM|＝＝
∵P在⊙C外，∴(x0＋1)2＋(y0－2)2>4，
将x0＝2y0－代入得5y－2y0＋>0，
∴|PM|min＝.此时P.
本册综合测试(B)
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P、Q两点间的距离是( )
A．6 B．2
C．36 D．2
[答案] A
[解析] 由空间两点间距离公式，
得|PQ|＝＝6.
2．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3)，再延长同样的长度到C，则点C的坐标为( )
A．13 B．0
C．8 D．－2
[答案] C
[解析] 设点C的坐标为x，由题意，得
d(A，B)＝3－(－2)＝5；d(B，C)＝x－3＝5，
∴x＝8.
3．空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是( )
A．线段AB的中垂线
B．线段AB的中垂面
C．过AB中点的一条直线
D．一个圆
[答案] B
[解析] 空间中线段AB的中垂面上的任意一点到A、B两点距离相等．
4．若一个三角形的平行投影仍是三角形，则下列命题：
①三角形的高线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的高线；
②三角形的中线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中线；
③三角形的角平分线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的角平分线；
④三角形的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．
其中正确的命题有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
[答案] D
[解析] 垂直线段的平行投影不一定垂直，故①错；线段的中点的平行投影仍是线段的中点，故②正确；三角形的角平分线的平行投影，不一定是角平分线，故③错；因为线段的中点的平行投影仍然是线段的中点，所以中位线的平行投影仍然是中位线，故④正确．选D.
5．在圆柱内有一个内接正三棱锥，过一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是( )
[答案] D
[解析] 如图所示，由图可知选D.
6．已知圆x2＋y2－2x＋my＝0上任意一点M关于直线x＋y＝0的对称点N也在圆上，则m的值为( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
[答案] D
[解析] 由题可知，直线x＋y＝0过圆心(1，－)，
∴1－＝0，
∴m＝2.
7．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
[答案] D
[解析] 设圆心C(a,0)，由题意r＝＝，∴|a|＝5，∵a<0，∴a＝－5，∴圆C的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
8．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是 ( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
[答案] C
[解析] 对于选项C，∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，
又∵m?α，∴α⊥β.
9．油槽储油20m3，若油从一管道等速流出，则50min流完．关于油槽剩余量Q(m3)和流出时间t(min)之间的关系可表示为( )
[答案] B
[解析] 由题意知，油流出的速度为＝0.4m3/min，故油槽剩余油量Q和流出时间t(min)之间的关系式为Q＝20－0.4t，故选B.
10．若两圆分别为C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0，则两圆的公切线的交点有且只有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．6个
[答案] B
[解析] ∵C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
∴圆C1的圆心坐标为(－2,2)，半径r1＝1，
圆C2的圆心坐标为(2,5)，半径r2＝4，
两圆心的距离d＝|C1C2|＝＝5，
∵r1＋r2＝5，∴d＝r1＋r2，两圆外切，
∴有3个交点．
11．点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．(－1,1) B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，∴(5a＋1－1)2＋(12a2)<1，
即25a2＋144a2<1，∴a2<，
∴－
12．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0切于点P(－1,2)，则ab的为( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 由题意，得点P(－1,2)在直线ax＋by－3＝0上，∴－a＋2b－3＝0，即a＝2b－3.
圆x2＋y2＋4x－1＝0的圆心为(－2,0)，半径r＝，∴＝，
∴a2－12a＋5b2－9＝0.
由，得.
故ab＝2.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知两条直线l1：ax＋8y＋b＝0和l2：2x＋ay－1＝0(b<0)，若l1⊥l2且直线l1的纵截距为1时，a＝________，b＝________.
[答案] 0 －8
[解析] ∵l1⊥l2，∴2a＋8a＝0，
∴a＝0.
又直线l1：ax＋8y＋b＝0，即8y＋b＝0的纵截距为1，
∴b＝－8.
14．已知圆M：x2＋y2－2mx－3＝0(m<0)的半径为2，则其圆心坐标为________．
[答案] (－1,0)
[解析] 方程x2＋y2－2mx－3＝0可化为(x－m)2＋y2＝3＋m2，
∴3＋m2＝4，∴m2＝1，∵m<0，∴m＝－1.故圆心坐标为(－1,0)．
15．正三棱锥的侧面积是27cm2，底面边长是6cm，则它的高是________．
[答案] cm
[解析] 如图所示，正三棱锥P－ABC的底边长为6，
过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，
取AB的中点D，连接PD、OD，
由题意，得3××AB×PD＝27，
∴PD＝3.又OD＝×6＝，
∴PO＝＝＝(cm)．
16．一个半球的表面积为Q，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的表面积是________．
[答案] Q
[解析] 设半球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，设圆柱的高为h.
由题意得2πR2＋πR2＝Q，∴R2＝.
又πR3＝πR2h，∴h＝R.
∴圆柱的表面积S＝2πRh＋2πR2＝πR2＋2πR2＝πR2＝π·＝Q.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本题满分12分)直线l过点P(，2)，且与x轴，y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．
[解析] 当斜率k不存在时，不合题意．设所求直线的斜率为k，则k≠0，l的方程为y－2＝k(x－)．
令x＝0，得y＝2－k>0，
令y＝0，得x＝－>0，
∴k<.
由S＝(2－k)(－)＝6，解得k＝－3或k＝－.
故所求直线方程为y－2＝－3(x－)或y－2＝－(x－)，
即3x＋y－6＝0或3x＋4y－12＝0.
18．(本题满分12分)一个圆切直线l1：x－6y－10＝0于点P(4，－1)，且圆心在直线l2：5x－3y＝0上，求该圆的方程．
[解析] 解法一：过点P(4，－1)且与直线l1：x－6y－10＝0垂直的直线的方程设为6x＋y＋c＝0.
把点P的坐标代入上式，得c＝－23，
即6x＋y－23＝0.
设所求圆的圆心为M(a，b)，
则满足6a＋b－23＝0. ①
又由题设知圆心M在直线l2：5x－3y＝0上，
则5a－3b＝0. ②
联立式①②，解得a＝3，b＝5，
即圆心M(3,5)，
因此半径r＝|PM|＝＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
解法二(待定系数法)：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意，得，得.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.
19．(本题满分12分)已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6,1)，求圆C的方程．
[解析] ∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴设圆心坐标为(3a，a)，
又圆C与y轴相切，∴半径r＝3|a|，圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝9a2，
又∵过点A(6,1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，即a2－38a＋37＝0，
∴a＝1或a＝37，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝12 321.
20．(本题满分12分)如图所示，圆锥的轴截面为等腰直角△SAB，Q为底面圆周上一点．
(1)若QB的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
(2)如果∠AOQ＝60°，QB＝2，求此圆锥的体积．
[解析] (1)连接OC，∵SQ＝SB，OQ＝OB，QC＝CB，
∴QB⊥SC，QB⊥OC，∴QB⊥平面SOC.
∵OH?平面SOC，∴QB⊥OH，
又∵OH⊥SC，∴OH⊥平面SQB.
(2)连接AQ.∵Q为底面圆周上的一点，AB为直径，
∴AQ⊥QB.
在Rt△AQB中，∠QBA＝30°，QB＝2，
∴AB＝＝4.
∵△SAB是等腰直角三角形，∴SO＝AB＝2，
∴V圆锥＝π·OA2·SO＝π.
21．(本题满分12分)如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
(1)求证：直线MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
[解析] (1)延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.
∵F是BB1的中点，
∴F为C1N的中点，B为CN的中点．
又∵M是线段AC1的中点，
∴MF∥AN.
又∵MF?平面ABCD，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD.
(2)连接BD，由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1可知，A1A⊥平面ABCD，
又∵BD?平面ABCD，
∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A?平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，
∴四边形DANB为平行四边形，
∴NA∥BD，
∴NA⊥平面ACC1A1.
又∵NA?平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
22．(本题满分14分)如图所示，M、N、P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的点．
(1)若＝，求证：无论点P在DD1上如何移动，总有BP⊥MN；
(2)棱DD1上是否存在这样的点P，使得平面APC1⊥平面ACC1？证明你的结论．
[解析] (1)如图所示，连接B1M、B1N、AC、BD，则BD⊥AC.
∵＝，∴MN∥AC.
∴BD⊥MN.
∵DD1⊥平面ABCD，MN?面ABCD，∴DD1⊥MN.
∴MN⊥平面BDD1.
∵无论P在DD1上如何移动，总有BP?平面BDD1，故总有MN⊥BP.
(2)存在点P，且P为DD1的中点，使得平面APC1⊥平面ACC1.
∵BD⊥AC，BD⊥CC1，
∴BD⊥平面ACC1.
取BD1的中点E，连接PE，
则PE∥BD.∴PE⊥面ACC1.
又∵PE?面APC1，
∴面APC1⊥面ACC1.
