2022-2023学年山东省枣庄市峄城区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省枣庄市峄城区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列互为倒数的是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 如图是由四个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 年月第届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5. 为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案，旨在锚定到年我国风电、太阳能发电总装机容量达到千瓦以上的目标．数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
6. 老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是( )
A. B. C. D.
7. 如图，，是的两条弦，于点，于点，连结，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点，之间的距离为( )
A. B. C. D.
9. 幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图就是一个幻方．图是一个未完成的幻方，则与的和是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点下列结论：∽；平分；，其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连结，则的度数是 ．
12. 为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是条、条，可以初步估计鱼苗数目较多的是______鱼池．填甲或乙
13. 若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是______．
14. 如图，在矩形中，，，以为圆心，的长为半径画弧，交于点则图中阴影部分的面积为______结果保留
15. 如图，在边长为的正方形网格中，是的外接圆，点，，在格点上，则的值是______．
16. 抛物线的函数表达式为，给出下面四个结论：
当时，取得最小值；
若点，在其图象上，则；
将其函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得到的抛物线的函数表达式为；
函数图象与轴有两个交点，且两交点的距离为．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中为满足的整数．
19. 本小题分
家务劳动是劳动教育的一个重要方面某校为了了解七年级学生参加家务劳动的情况，随机调查七年级男、女生各名，得到他们上周末进行家务劳动的时间单位：分钟如下：
男生：，，，，，，，，，，，，，，，，，；
女生：，，，，，，，，，，，，，，，，，．
统计数据，得到家务劳动时间分钟的频数分布表
时间
男生人数频数
女生人数频数
整理并分析数据，得到以下统计量．
统计量 平均数 中位数 众数 方差
男生
女生 和
根据以上信息，回答下列问题：
该年级共名学生，且男、女生人数基本相同，则该年级上周末进行家务劳动的时间超过分钟的学生约有多少人？
政教处老师认为上周末该校七年级女生比男生进行家务劳动的时间长，你同意吗？请说明理由．
20. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，反比例函数的图象经过点和点，且点为的中点．
求的值和点的坐标；
求的周长．
21. 本小题分
某老年活动中心欲在一房前高的前墙上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度结果精确到参考数据：，，；，，
22. 本小题分
如图，点在的边上，与边相切于点，与边，分别交于点，，且．
求证：；
当，时，求半径的长．
23. 本小题分
已知四边形中，连接，过点作的垂线交于点，连接．
如图，若，求证：四边形是菱形；
如图，连接，设，相交于点，垂直平分线段求的大小．
24. 本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为点，连结．
求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点的坐标；
在抛物线的对称轴上取一点，点为抛物线上一动点，使得以点、、、为顶点、为边的四边形为平行四边形，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，
和互为倒数，符合题意；
B、，
和不互为倒数，不符合题意；
C、，
和不互为倒数，不符合题意；
D、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是的两个数叫互为倒数是解题的关键．
2.【答案】
【解析】
解：选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据多项式除以单项式判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项；根据完全平方公式判断选项；根据幂的乘方判断选项．
本题考查了整式的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由图可知主视图为：
故选：．
根据主视方向判断出主视图即可．
本题主要考查视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握它们的定义是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．据此解答即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
6.【答案】
【解析】解：老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，事件的等可能性有种，选中甲同学的可能性有一种，
选中甲同学的概率是，
故选：．
利用事件概率的意义解答即可．
本题主要考查了概率的公式，熟练应用概率的公式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
，
故选：．
根据四边形的内角和等于计算可得，再根据圆周角定理得到，进而可以得到答案．
本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8.【答案】
【解析】解：四边形为边长为的正方形，
，
由平移的性质可知，，
，
故选：．
根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
本题考查的是平移的性质、正方形的性质，根据平移的概念求出是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，
最左下角的数为：，
最中间的数为：，或，
最右下角的数为：，或，
，
解得：，
，
故选：．
由题意：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握旋转的性质，相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
由旋转的性质得出，，，，进而得出，得出，得出平分，可判断结论符合题意；由，，得出∽，可判断结论符合题意；由，得出，由相似三角形的旋转得出，进而得出，可判断结论符合题意；即可得出答案．
【解答】
解：将以点为中心逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
平分，
符合题意；
，，
∽，
符合题意；
，
，
，
∽，
，
，
符合题意，
故选：．
11.【答案】或
【解析】
解：根据题意，补全图如下图所示；
在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：的度数是或．
故答案为：或．
【分析】分两种情况画图，由作图可得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
本题考查了尺规作图作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
12.【答案】甲
【解析】解：由题意可得，
甲鱼池中的鱼苗数量约为：条，
乙鱼池中的鱼苗数量约为：条，
，
初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池，
故答案为：甲．
根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．
本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是求出两个鱼池中鱼苗的数量．
13.【答案】
【解析】解：设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为，
直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
，，
斜边，
故答案为：．
设直角三角形两条直角边分别为、，斜边为，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由勾股定理即可求出斜边长．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及勾股定理、完全平方公式的应用，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，得到，．
14.【答案】
【解析】解：以为圆心，的长为半径画弧，交于点，
，
在矩形中，，，，
，
，
，
，
阴影部分的面积：，
故答案为：
先根据锐角三角函数求出，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，，和相交于点，
是的直径，
，
，，
，
，
，
的值是，
故答案为：．
先连接，，然后根据题意，可以求得的值，再根据圆周角定理可以得到，从而可以得到的值．
本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是求出的余弦值．
16.【答案】
【解析】解：二次函数解析式为：，
当时，取得最小值，
故正确；
函数的对称轴为，函数开口方向向上，
时随的增大而增大，
，
，
故正确．
二次函数解析式为：，
将其函数图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，
二次函数解析式为：，
故错误．
二次函数解析式为：，
，
，
，，
二次函数与轴有两个交点，且两交点的距离为．
故正确．
故答案为：．
根据二次函数的性质对各项判断分析即可求出正确结论．
本题考查了二次函数与轴的交点，熟记二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握是解题的关键．
解：原式
．
18.【答案】解：
，
为满足的整数
，，
可以取和
当时，原式
．
当时，原式
．
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
19.【答案】解：人，
答：该年级上周末进行家务劳动的时间超过分钟的学生约有人；
同意，
因为女生劳动时间的平均数、中位数均大于男生，
所以上周末该校七年级女生比男生进行家务劳动的时间长．
【解析】用总人数乘以家务劳动时间超过分钟人数所占比例即可得出答案；
根据平均数、中位数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数、平均数，理解平均数、中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．
20.【答案】解：把点代入反比例函数得，
；
如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为、，则，，
，，
，
又为的中点．
，，
把代入反比例函数得，
，
点，即，
，
，
即点，
答：，；
在中，
，
在中，
，
的周长为：．
【解析】把点代入反比例函数的关系式可求出的值，利用相似三角形的性质可求出的坐标，进而得出点坐标；
利用勾股定理求出、的长即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，掌握勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
21.【答案】解：如图，作交于点，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，，
，
解得，
，
，，
．
即此遮阳篷的长度约为．
【解析】
【分析】
根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得的长，然后再根据锐角三角函数，即可得到的长．
【解答】
解：如图，作交于点，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
，，
，
，
，，
，
解得，
，
，，
．
即此遮阳篷的长度约为．
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
22.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
；
解：在，，，，
，
设的半径为，则，
，
∽，
，
即，
．
【解析】连接，因为，所以，从而易证，所以，从可证明；
设的半径为，则，根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的值，根据线段的和差即可得解．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解方程等知识，综合程度较高，根据题意证出是解题的关键．
23.【答案】证明：设与交于点，
，，
，
，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：垂直平分，
且，
，
又且，
垂直平分，
，
，
，
又，
．
【解析】利用证明≌，得，从而得出四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论；
根据线段垂直平分线的性质得，，，则，再根据平角的定义，可得答案．
本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
24.【答案】解：抛物线经过、，，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点的坐标为；
设直线的解析式为，
把，代入，得，
，
直线的解析式为，
过点作于点，
以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，
，，
，
，
≌，
，
设，则，
，
或，
当时，，
，
当时，，
综上所述，满足条件点的坐标为或；
【解析】利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可；
过点作于点，证明≌，推出，设，则，可得，推出或，即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
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