课时培优作业
第1节 探索勾股定理(2)
2.如图所示,已知△ABC 中,AB=17,AC=
10,BC 边上的高AD=8,则边BC 的长为 ( )
勾股定理的证明方法是面积法,同时灵活利用
勾股定理解决简单的实际问题时主要是从实际问
题中抽象出直角三角形这一几何模型,然后利用勾
股定理解决问题.
活动一:做一做 A.21 B.15
1.打开课本,看一看课本中的图1-4、图1-5、 C.6 D.
以上答案都不对
3.把直角三角形的两条直角边同时扩大到原
图1-6.
来的2倍,则斜边也扩大到原来的 ( )
思考:证明勾股定理常用的方法是什么
A.2倍 B.4倍
C.3倍 D.以上都不对
4.如图所示是传说中毕达哥拉斯证明勾股定
2.列出你所知道的勾股定理的证明方法. 理的一种方法,图(1)中大正方形面积是边长分别
为a、b的两个小正方形和四个直角三角形面积的
和,即大正方形面积为 ;图(2)中大正方形
活动二:练一练 面积为边长为c的正方形与四个直角三角形的面积
1.完成课本例题. 的和,即大正方形面积为 ;因为(1)(2)中
正方形边长都为a+b,面积相等,所以 =
,即: .
2.写出日常生活还有哪些可以利用勾股定理
解决的实际问题.
3.运用勾股定理解决实际问题时要注意哪些
问题
5.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角
边AB=6,BC=8,将直角边AB 折叠使它落在斜
边AC 上,折痕为AD,则BD= .
1.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图
所示的图形,其中两个全等直角三角形的两边AE,
EB 在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是
( )
6.如图所示,在△ABC 中,∠B=90°,AB=3,
AC=5,将△ABC 折叠,使点C 与点A 重合,折痕
为DE,则△ABE 的周长为 .
A.S△EDA=S△CEB
B.S△EDA+S△CEB=S△CDE
C.S四边形CDAE=S四边形CDEB
D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD
4
数学 八年级上册
7.如图所示,一根垂直于地面的电线杆AC= 3.如图,分别以直角△ABC 的三边AB、BC、
16m,因特殊情况,在点B 处折断,顶端C 落在地 CA 为直径向外作半圆,设直线AB 左边阴影部分
面上的点C'处,测得AC'的长是8m,求电线杆底端 面积为S1,右边阴影部分面积为S2,则 ( )
A 到折断点B 的距离.
A.S1=S2 B.S1C.S1>S2 D.无法确定
4.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=12,CB=
5,AM=AC,BN=BC,则MN 的长是 ( )
8.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们
发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒
A.2 B.2.6 C.3 D.4
的一个侧面ABCD 倒下到AB'C'D'的位置,连接
二、填空题
CC',设 AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形
5.在Rt△ABC 中,∠C=90°.
BCC'D'的面积验证勾股定理:a2+b2=c2. (1)若c=61,b=60,则a= .
(2)若a∶b=3∶4,c=10,则a= ,b=
.
6.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=6
cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD 沿BD
折叠,使点C 落在AB 边的C'点,那么△ADC'的面
积是 .
7.如图所示,要建一个一面靠墙的西红柿大
棚,棚宽a=4m,墙高b=3m,棚长d=12m,则覆
盖在顶上的塑料薄膜需要的面积至少为 .
一、选择题
1.如果梯子的底端离建筑物5米,那么13米长
的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( )
A.10米 B.11米
C.12米 D.13米 8.如图,用四块两直角边长分别为a,b,斜边长
2.如图所示,如果大正方形的面积为13,小正 为c的直角三角形拼成一个正方形,求图形中央的
方形的面积为1,直角三角形的较短直角边长为a, 小正方形的面积.
较长直角边长为b,那么(a+b)2 的值为 ( )
解法(1):小正方形的面积= ;
A.13 B.19 解法(2):小正方形的面积= .
C.25 D.169 由解法(1)、(2),可以得到a,b,c 之间的关系
5
课时培优作业
式为 . 2.(牡 丹 江 中 考 题)如图,在等腰△ABC 中,
三、解答题 AB=AC,BC 边上的高AD=6cm,腰AB 上的高
9.有一架飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好 CE=8cm,则△ABC 的周长等于 cm.
飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,这
架飞机距离这个男孩头顶5000米(这段时间内男孩
未移动),那么这架飞机每小时飞行多少千米
3.(温州中考题)勾股定理神秘而美妙,它的证
法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小
聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形
如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来进行说
明.下面是小聪利用图1来说明勾股定理的过程:
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其
中∠DAB=90°,试求:a2+b2=c2.
解:连接DB,过点D 作BC 边上的高DF,DF
10.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧
, “ ” , =EC=b-a.妙各有不同 其中的 面积法 给了小明以灵感 他
1 1
惊喜地发现,当四个全等的直角三角形如图所示摆 ∵S 2四边形ADCB=S△ACD+S△ABC= ,2b +2ab
放时,可以用“面积法”来验证a2+b2=c2.你能说明 1 2 1
其中的道理吗 请试一试(提示:结合图中所作辅 又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=2c +2a
(b
助线利用面积相等验证). -a),
1
∴ b2
1 1
+ ab= c2
1
2 2 2 +2a
(b-a).
∴a2+b2=c2.
图1
请参照上述证法,利用图2完成下面的解题过
程.将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其
中∠DAB=90°.
试说明:a2+b2=c2.
解:连接 ,
1.(乐山中考题)如图,△ABC 的顶点A、B、C
∵S五边形
, ACBED
= ,
在边长为1的正方形网格的格点上 BD⊥AC 于点
又∵S五边形
, ( ACBED
= ,
D 则BD 的长为 )
∴ .
∴a2+b2=c2.
2 3
A.35 B.45
4 3
C.55 D.55 图2
6参考答案
第一章 勾股定理 已知AB=5000米=5千米,AC=4000
米=4千米.由勾股定理,得BC2=AB2
第1节 探索勾股定理(1) -AC2=52-42=9,所以 BC=3(千
米)这架飞机 秒飞行了 千米,那么
【 . 20 3课堂作业】
2 2 36001.C 2.A 3.C 4.勾股定理 a +b = 它1小时飞行的距离为 20 ×3=540
c2 5.1 1 2 P+Q=R AC2+BC2=AB2 (千米).答:这 架 飞 机 每 小 时 飞 行540千 米.
6.5 正北 7.解:∵∠BAD=∠DBC=90°, 1
∴△ADB,△BDC 均是直角三角形,由题意得, 10.解:图形的总面积可以表示为c2+2× ab=
AD=4cm,AB=3cm,DC=13cm,
2
在Rt△ABD
中,BD2=AD2+AB2=25,
1
在Rt△BDC 中,BC2 c2+ab,也可以表示为a2+b2+2× ab=a2+
=DC2-BD2=132-25=144,∴BC=12(
2
cm). b2+ab,所以c2+ab=a2+b2+ab,即a2+b2
8.12米
【 】 =c
2.
课后作业 【新题看台】
1.C 2.C 3.B 4.C 5.64 6.30 7.8
8.4 9.(1)a=45cm b=60cm (2)540 1.C 2.125
10.解:在Rt△ABC 中,AC2=AB2+BC2,在 Rt 3.解:
△FAC 中,FC2=AF2+AC2,即 FC2=AF2+
AB2+BC2=172+52+42=330.所 以 正 方 形
CDEF 的面积=FC2=330. 11.(1)24 (2)S1
+S2=S3 (3)设直角三角形的边从小到大分别
π
是a,b,c,则a2+b2=c2,两边同乘 ,即得:两小8
半圆的 面 积 和 等 于 大 半 圆 的 面 积,从 而 可 得
1
S阴影部分的面积=S直角三角形的面积= 解法一:连接 ,过点 作 边上的高2×3×4=6. BD B DE
【新题看台】 BF,则 BF =b-a.∵S五边形ACBED =S△ACB +
1 1 1
1.C 2.A 3.5或 7 4. 2013 S + S = ab+ b2△ABE △AED 2 2 + 2ab
,又 ∵
第1节 探索勾股定理(2) 1S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=2ab+
【课堂作业】 1 2 1
1.D 2.A 3.A 4.a2+b2+2ab c2+ c + a(b-a),
1 1 1 1
2 2 ∴2ab+
2
2b +2ab=2ab
2ab a2+b2+2ab c2+2ab a2+b2=c2 5.3 1 2 1 2 2 2
6.7 7.6m 8.证明:∵四边形BCC'D'为直 +2c+2a
(b-a).∴a +b =c .解法二:连接
1
角梯形,∴S梯形BCC'D'= (2 BC+C'D'
)·BD'= BD,过点B 作DE 边上的高BF,则BF=b-a.∵
1
(a+b)2 S五边形ACBED=S梯形ACBE+S△AED= b(2 a+b
)+
2 .∵Rt△ABC≌Rt△AB'C'
,∴∠BAC=
1
∠B'AC'.∴ ∠CAC'= ∠CAB'+ ∠B'AC'= ab,又2 ∵S五边形ACBED =S△ACB + S△ABD +
∠CAB'+∠BAC=90°.∴S梯形BCC'D'=S△ABC + 1 1 2 1 1
1 1 1 c2+2ab S△BDE= ab+ c + a(b-a),∴ b(a+b)
S△CAC'+S△D'AC'=2ab+2c
2+2ab= .
2 2 2 2
2 1 1 1 2 1 2 2
(a+b)2 c2+2ab +2ab=2ab+2c +
(
2a b-a
).∴a +b
∴ 2 = 2 .∴a
2+b2=c2.
=c2.
【课后作业】
1.C 2.C 3.A 4.D 5.(1)11 (2)6 8 第2节 一定是直角三角形吗
6.6cm2 7.60m2 8.c2-2ab b2-2ab+a2 【课堂作业】
c2=a2+b2 9.解:根据题意,画出图形,如图, 1.D 2.D 3.B 4.(1)(2)(3) 5.勾股数
— 1 —
