北师大版数学八年级上册1.1 探索勾股定理提升练习题 （含解析）

1.1 探索勾股定理（提升题） 北师大版八年级上册
一．选择题
．如图，在Rt△BOD中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为S1，S2，S3，若S1＝40，S3＝18，则S2＝（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
．勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c＝（a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
．点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
．已知直角三角形两边的长为5和12，则此三角形的周长为（　　）
A．30 B．+17 C．+17或30 D．36
．已知3，4，m是一个直角三角形的三条边长，则实数m的相反数为（　　）
A．5 B．﹣5 C．5或 D．﹣5或﹣
．如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝18，DE是线段AB的垂直平分线，则BD的长为（　　）
A．8 B．10 C．13 D．15
．如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，BC＝4，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离为2，则点P的位置有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
．勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
二．填空题
．若直角三角形的两边长分别为3，4，则该直角三角形的斜边长为 　 　．
．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，BC的垂直平分线交AC于点D，垂足为点E，则AD＝　 　．
．已知Rt△ABC中，AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，则图中阴影部分面积为 　 　．
．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝　 　．
．如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，长度为整数的线段有 　 　条．
三．解答题
．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，CD＝9．求△ABC的面积．
．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts，当△ABP为等腰三角形时，求t的取值？
．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC+BC＝，AB＝2．
（1）求△ABC的面积；
（2）求CD的长．
．如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE＝，BE＝4，点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
．如图，△ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜5且△BMN为直角三角形时，求t的值；
（2）当t为何值，△BMN为等边三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：∵∠DOB＝90°，
∴BO2+DO2＝DB2，
∵S1＝ π（）2＝；
S2＝π（）2＝；
S3＝π（）2＝；
∴S2+S3＝（OD2+BO2）＝BD2＝S3，
即S2+S3＝S1．
∵S1＝40，S3＝18，
∴S2＝40﹣18＝22，
故选：C．
．【解答】解：依题意“弦”为＝，
而3.5＝＜＜＝4，
∴“弦”最接近的整数是4．
故选：D．
．【解答】解：连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h，
∵S△ABC＝2×2﹣1×2﹣﹣＝，
AB＝＝，
∴×h＝，
∴h＝，
故点C到AB的距离是，
故选：D．
．【解答】解：如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，
根据勾股定理得：PM＝＝＝2．
故选：C．
．【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当12为直角三角形的直角边时，x为斜边，
由勾股定理得，x＝＝13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30；
②当12为直角三角形的斜边时，x为直角边，
由勾股定理得，x＝＝，此时这个三角形的周长＝5+12+＝+17，
综上所述，该三角形的周长为30或+17．
故选：C．
．【解答】解：当m为斜边时：32+42＝m2，
解得：m1＝5，m2＝﹣5（不符合题意）；
当m为直角边时：32+m2＝42，
解得：m1＝，m2＝﹣（不符合题意）．
故第三边长m为5或，
∴实数m的相反数为﹣5或﹣．
故选：D．
．【解答】解：∵正方形EFGH的面积＝正方形ABCD的面积﹣4S△ABE＝92﹣4×18＝9，
∴正方形EFGH的边长＝3，
故小正方形的边长为3，
故选：C．
．【解答】解：连接AD，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
设DB＝x，则CD＝BC﹣DB＝18﹣x，
∵∠C＝90°，AC＝12，
∴AD2＝CD2+AC2，
∴x2＝（18﹣x）2+122，
解得x＝13，
即BD＝13，
故选：C．
．【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，过点D作DG⊥AC于点G，如图所示：
则∠BHC＝90°，∠AGD＝90°，
∵∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠BCA＝60°，
∴∠CBH＝30°，
∵BC＝4，
∴HC＝2，
根据勾股定理，得HB＝2，
∴点P在点B处时，点P到AC的距离为2，
∵∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴GD＝AC
∵AC＝2BC＝8，
∴GD＝4，
∵4＞2，
∴在AD边和CD边上各有一点P，使得点P到AC的距离为2，
综上，满足条件的点P有3处，
故选：C．
．【解答】解：由图可得，
a2+b2＝c2＝25，故①正确；
∵小正方形面积为1，
∴小正方形的边长为1，
∴a﹣b＝1，故②正确；
∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，
∴ab＝（25﹣1）÷4，
解得ab＝12，故③正确；
∵a2+b2＝25，ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∴a+b＝7，故④正确；
故选：D．
二．填空题
．【解答】解：分两种情况：
①当3和4都为直角边时，
由勾股定理得斜边长为：＝5；
②当4为斜边时，斜边＝4；
综上所述：该直角三角形的斜边长为5或4．
故答案为：5或4．
．【解答】解：∵BC的垂直平分线交AC于点D，
∴BD＝CD，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝4，
设AD＝x，则CD＝BD＝4﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴AD＝，
故答案为：．
．【解答】解：∵AB＝8，BC＝10，∠BAC＝90°，
∴AC＝＝＝6，
分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，
由圆的面积计算公式知：S3＝πBC2，S2＝πAC2，S1＝πAB2，
则S1+S2＝π（AB2+AC2），
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝CB2，
∴S1+S2＝S3．
∵阴影部分面积等于：S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC＝×6×8＝24，
故答案为：24．
．【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴AC＝AB＝2，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AC＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
．【解答】解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝，
…，
∴OAn＝，
∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA10中，完全平方数有1，4，9，
故长度为整数的线段有3条．
故答案为：3．
三．解答题
．【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝13，BD＝5，
∴AD＝＝＝12，
∵CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝14，
∴△ABC的面积＝BC AD
＝×14×12
＝84，
∴△ABC的面积为84．
．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝8（cm），
当AB＝AP时，由△ABC≌△APC可知：
PC＝BC＝8cm，
∴BP＝16cm，
∴t＝16，
当BA＝BP时，BP＝10cm，
∴t＝10，
当PA＝PB时，设BP＝xcm，
在Rt△ACP中，
由勾股定理得：
（8﹣x）2+62＝x2，
∴x＝，
∴BP＝cm，
∴t＝，
故t的取值为：16或10或．
．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+BC＝，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC＝8+4，
∵AB＝2，
∴AB2＝8，
∴AC BC＝2，
∴△ABC的面积＝AC BC＝；
（2）∵△ABC的面积＝AC BC＝，CD⊥AB，
∴AB CD＝，
∴CD＝＝．
．【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE＝，
∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，
∴AB＝＝＝5；
（2）①当BF＝BE＝4时，
AF＝AB﹣BF＝5﹣4；
②如图，当BF＝EF时，有∠FEB＝∠B＝45°，
∴∠BFE＝90°，BF＝EF，
设BF＝EF＝x，
∵BF2+EF2＝BE2，
∴x2+x2＝42，
∴x＝2（负值舍去），
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣2＝3；
③如图，当BE＝EF时，有∠EFB＝∠B＝45°，
∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，
∴BF＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝5．
综上所述，AF的长为5﹣4或3或．
．【解答】解：（1）当0＜t＜5时，点M在BC上，点N在AB上，BN＝4t，MB＝20﹣4t，
△BMN为直角三角形，则∠BNM＝90°或∠NMB＝90°，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BM＝2BN，
∴20﹣4t＝2×4t，
解得：t＝；
②当∠NMB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BN＝2BM，
∴4t＝2（20﹣4t），
解得：t＝．
③点M在AC上，点N在AB上，AN＝CM＝40﹣4t，（80﹣8t）+（40﹣4t）＝20，
t＝（不合题意舍去），
综上，当t＝或时，△BMN为直角三角形；
（2）点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动，则0＜t≤10，
①当0＜t≤5时，当MB＝BN时，△BMN为等边三角形，
此时，4t＝20﹣4t，
解得：t＝；
②当5＜t≤10时，△BMN为等边三角形，只能点M与点A重合，点N与点C重合，
此时，t＝10，
综上，t＝或t＝10时，△BMN为等边三角形．