动点问题的应用讲解[上下学期通用]
图片预览
文档简介
课件21张PPT。一类动点问题的应用郑州市第六十八中学 栗立1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从点C出发，以2cm／s速度沿CA、AB移到点B，则P点出发_______秒时，可使S△BCP＝ S△ABC？分析：由于P点的位置未确定，应按P点在AC边或AB边分两种情况讨论，设时间为t秒．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从点C出发，以2cm／s速度沿CA、AB移到点B，则P点出发_______秒时，可使S△BCP＝ S△ABC？CP＝2tcm，BC＝6cm，由题意知：
CP·BC＝ · AC·BC，解:①当点P在AC边上时，即 ·2t·6= · ·8·6解得 t＝1（秒）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从点C出发，以2cm／s速度沿CA、AB移到点B，则P点出发_______秒时，可使S△BCP＝ S△ABC？解：②当点P在AB边上时， 则t＝ ＝7.75（秒） 由S△BCP＝ S△ABC 得BP︰AB=1︰4
而 BP＝2.5cm，AP＝7.5cm， ∴ 2t = 8 + AP2、如图所示，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8厘米，AD＝24厘米，BC＝26厘米，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，求
（1）t 分别为何值时四边形PQCD为平行四边形，等腰梯形？
（2）t 分别为何值时，线段PQ分别与以O为圆心,AB为直径 的⊙O相切、相交、相离？（1）t 分别为何值时四边形PQCD为平行四边形？解：（1）如图所示， 分别过P、D作BC垂线PE、DF，垂足分别为E、F，如图所示，当CF＝EQ时，PQCD为等腰梯形。 （1）t 分别为何值时四边形PQCD为等腰梯形？（2）t 分别为何值时，线段PQ与以O为圆心,AB为直径的
⊙O相切 、相交、相离？
解：当运动到 t 秒时，PQ切⊙O于M，∵PA=PM QM=QB
∴ PQ＝PM＋QM＝PA+QB=1·t＋(26－3t )＝26－2tC解得: t1＝ ，t2＝8作PH⊥BC于H，PH＝8，QH＝(26－3t)－t＝26－4t
在Rt△PHQ中:（26－2t）2＝82＋（26－4t）2．下面 我们求 t 分别为何值时，线段PQ与以O为圆心,AB为直径的
相交、相离？当 0 ≤t ＜当 t＝当 t＝8当 8＜t ≤当 ＜t ＜8总结：
以上例题说明图形的变化是可以通过点沿线动来实现。此类题目中蕴含着丰富的数形结合思想、函数和方程思想，分类和转化思想等等。解决此类问题：
① 首先要搞清楚动点的起点、终 点、方向、速度及运动路线等要素。
② 根据题中的条件，模拟出动点的运动轨迹，画出草图
③ 结合提出的问题，提取有价值的信息，从中找出规律，建立数学模型（列出函数关系或方程）。
如第二题通过两点分别沿着两条平行线段相向运动，将平行四边形，等腰梯形以及直线与圆的三种位置关系综合在一起，生动地体现了运动变化，相互联系，相互转化的观念。它要求我们能用动态思维去分析问题和解决问题。课堂练习:如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P, 点 Q运动时间为t（秒）．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分
面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；
若没有，请说明理由．
3、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P,点Q运动时间为（秒）．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；依题意 =2
解得 ＝1， ＝2 ∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2； （2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围（点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒）当0＜ t ≤2时 当2＜ t ≤3时 当3＜ t ≤4.5时 ①当0＜t≤2时，此时 点P在边AB上，点Q在边CB上PC=3 －t CQ=2t②当2＜ t ≤3时，此时 点P在边AB上，点Q在边
BA上,过点P作AB的垂线PH,垂足为H=③当3＜t ≤4.5时，此时 点P在边CB上，点Q在边AB
上,过点P作AB的垂线PH,垂足为H==（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若
有，请求出最大值；若没有，请说明理由．①在0＜t ≤2时②在2＜t ≤3时③在3＜t ≤4.5时∵S1＜S2＜S3 ∴t＝ 时，S最大值＝当 t＝ ， S有最大值，S1＝ 当t＝3 ， S有最大值， S2＝当t＝ ， S有最大值， S3＝谢谢光临郑州市第六十八中学 栗 立
2006.5
CP·BC＝ · AC·BC，解:①当点P在AC边上时，即 ·2t·6= · ·8·6解得 t＝1（秒）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，动点P从点C出发，以2cm／s速度沿CA、AB移到点B，则P点出发_______秒时，可使S△BCP＝ S△ABC？解：②当点P在AB边上时， 则t＝ ＝7.75（秒） 由S△BCP＝ S△ABC 得BP︰AB=1︰4
而 BP＝2.5cm，AP＝7.5cm， ∴ 2t = 8 + AP2、如图所示，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8厘米，AD＝24厘米，BC＝26厘米，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米／秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米／秒的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，求
（1）t 分别为何值时四边形PQCD为平行四边形，等腰梯形？
（2）t 分别为何值时，线段PQ分别与以O为圆心,AB为直径 的⊙O相切、相交、相离？（1）t 分别为何值时四边形PQCD为平行四边形？解：（1）如图所示， 分别过P、D作BC垂线PE、DF，垂足分别为E、F，如图所示，当CF＝EQ时，PQCD为等腰梯形。 （1）t 分别为何值时四边形PQCD为等腰梯形？（2）t 分别为何值时，线段PQ与以O为圆心,AB为直径的
⊙O相切 、相交、相离？
解：当运动到 t 秒时，PQ切⊙O于M，∵PA=PM QM=QB
∴ PQ＝PM＋QM＝PA+QB=1·t＋(26－3t )＝26－2tC解得: t1＝ ，t2＝8作PH⊥BC于H，PH＝8，QH＝(26－3t)－t＝26－4t
在Rt△PHQ中:（26－2t）2＝82＋（26－4t）2．下面 我们求 t 分别为何值时，线段PQ与以O为圆心,AB为直径的
相交、相离？当 0 ≤t ＜当 t＝当 t＝8当 8＜t ≤当 ＜t ＜8总结：
以上例题说明图形的变化是可以通过点沿线动来实现。此类题目中蕴含着丰富的数形结合思想、函数和方程思想，分类和转化思想等等。解决此类问题：
① 首先要搞清楚动点的起点、终 点、方向、速度及运动路线等要素。
② 根据题中的条件，模拟出动点的运动轨迹，画出草图
③ 结合提出的问题，提取有价值的信息，从中找出规律，建立数学模型（列出函数关系或方程）。
如第二题通过两点分别沿着两条平行线段相向运动，将平行四边形，等腰梯形以及直线与圆的三种位置关系综合在一起，生动地体现了运动变化，相互联系，相互转化的观念。它要求我们能用动态思维去分析问题和解决问题。课堂练习:如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P, 点 Q运动时间为t（秒）．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；
（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分
面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；
若没有，请说明理由．
3、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P,点Q运动时间为（秒）．
（1）当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；依题意 =2
解得 ＝1， ＝2 ∴当时间为1秒或2秒时，S△PCQ＝2厘米2； （2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围（点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒）当0＜ t ≤2时 当2＜ t ≤3时 当3＜ t ≤4.5时 ①当0＜t≤2时，此时 点P在边AB上，点Q在边CB上PC=3 －t CQ=2t②当2＜ t ≤3时，此时 点P在边AB上，点Q在边
BA上,过点P作AB的垂线PH,垂足为H=③当3＜t ≤4.5时，此时 点P在边CB上，点Q在边AB
上,过点P作AB的垂线PH,垂足为H==（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若
有，请求出最大值；若没有，请说明理由．①在0＜t ≤2时②在2＜t ≤3时③在3＜t ≤4.5时∵S1＜S2＜S3 ∴t＝ 时，S最大值＝当 t＝ ， S有最大值，S1＝ 当t＝3 ， S有最大值， S2＝当t＝ ， S有最大值， S3＝谢谢光临郑州市第六十八中学 栗 立
2006.5