课件17张PPT。第二章 二次函数
1 二次函数1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系. 函数变量之间的关系一次函数y=kx+b (k≠0)反比例函数二次函数正比例函数y=kx(k≠0) 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.
问题1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量.
其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数是因变量.问题2：假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
解：果园共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子.
问题3：如果果园橙子树的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.
解：y=(100+x)(600-5x) =-5x2+100x+60 000在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？y=-5(x2-20x)+60 000=-5(x2-20x+102-102)+60 000=-5(x-10)2+60 500 ≤60 500【解析】想一想123 45678910111213146009560180602556032060375604206045560480604956050060495604806045560420y=-5x2+100x+60 000 =-5(x-10)2+60 500合作探究做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.y=100(x+1)2=100x2+200x+100.定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，其中,ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项， b叫做一次项系数；c叫做常数项.如 y=100 x2 + 200 x + 100abc揭示新知1.下列函数中,哪些是二次函数？如果是二次函数请指出二次函数中a,b,c分别为多少？（1）y=3(x-1)2+1.（3）s=3-2t2.（5）y=(x+3)2-x2.（6）v=10πr2.（是）其中a=3,b=-6,c=4（不是）（是）其中a=-2,b=0,c=3（不是）（不是）（是）其中a=10π,b=c=0【跟踪训练】2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是函数关系且为二次函数关系.ABCD1.（衢州·中考） 如图，四边形ABCD中，∠BAD=
∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形
ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）【答案】选C .A.C.D.B. 3.如果函数y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k
的值一定是______ . 02.如果函数y= +kx+1是二次函数,则k的值
一定是______ . 0或3【规律方法】1.关于x的二次函数表达式y=ax2+bx+c一定是整式，a，b，c为常数,且 a≠0.2.等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
2.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0).
(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax2+bx (a≠0,b≠0,c=0).
3.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
——塞内加课件18张PPT。二次函数的图象与性质
第3课时 1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
2.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.
3.能够作出y=a（x-h）2和y=a（x-h）2+k的图象，并能理解它与y=ax2的图象的关系.理解a，h和k对二次函数图象的影响.
4.能够正确说出y=a（x-h）2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.1.函数 的图象的顶点坐标是 ；
开口方向是 ；最 值是 .
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数 的
图象向 平移 个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数
__________的图象.(0,3)小向上3y=-2x2上3y=-3x2-2在同一坐标系中画出下列函数
的图象：思考：它们的图象之间有
什么关系？探究一函数 的图象向上平移2个单位向右平移1个单位【解析】函数y=a（x-h）2的图象对称轴是 直线x=h ；顶点是（h ，0）函数 的图象函数y=a（x-h）2的图象：0xy（h ，0）函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象关系：【归纳升华】（h ，0）1.抛物线y=3x2－4与抛物线y =3x2 的_______相同，
_________不同.
2.抛物线y =3(x－1)2与抛物线y =3x2 的______相同，
_________不同.
3.抛物线y =3x2+5的开口_______，对称轴是______，
顶点坐标是____________.
4.抛物线y =－2(x+1)2的开口__________，对称轴是___________，顶点坐标是_____________.形状形状位置位置向上向下y 轴直线x =－1(0，5)(－1，0)【跟踪训练】画出二次函数y=3（x-1）2+2的图象，并与二次函数y=3x2的图象进行比较，说明它们之间的关系.探究二函数 的图象函数 的图象对称轴：直线x= h顶点： (h，k)【规律方法】 （当k,h都大于0时）的图象特点. 顶点坐标 对称轴 开口方向 抛物线向上向上向上向上向上向下向下y 轴(或直线x=0)y 轴(或直线x=0)直线x=－1直线x=1直线x=1直线x=－1直线x=h(h ，k)(1，2)(－1，－2)(1，－2)(－1，2)(0，2)(0，0)【跟踪训练】1.（无锡·中考）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ).
A.y=(x－2)2+1 B.y=(x+2)2+1
C.y=(x－2)2－3 D.y=(x+2)2－3
【解析】选C.根据以直线x=2为对称轴可知选项A，C符合，再根据图象经过点(0，1)知选项C符合. 2．（西宁·中考）将抛物线向左平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为
_______________.【答案】3．（襄樊·中考）将抛物线 先向上平移
2个单位，再向右平移1个单位后，得到的抛物线的表
达式为____________．【答案】【答案】选B. 4．（宁夏·中考）把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）B.C.D.A.5．（荆州·中考）若把函数y=x的图象用E（x，x）
记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，…,则
E（x，）可以由E（x，）怎样平移得到？
（ ）A.向上平移１个单位 B.向下平移１个单位
C.向左平移１个单位 D.向右平移１个单位【答案】选D.向上直线x=h(h,k)向下直线x=h(h,k)1.y=a(x-h)2+k的图象的特征.2.y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系.抓着今天，你就会前进一步；丢弃今天，你就会停滞不动. 课件27张PPT。二次函数的图象与性质
第4课时 2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决一些数学问题.1.经历探索y=ax2+bx+c的图象特征，会用配方法求其对称轴、顶点坐标公式.1.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y=2(x－3)2 －5(2)y=－0.5(x+1)2(3) y = 3(x+4)2+22.它们分别可以看成是由哪个函数图象通过怎样的平移得到的？【解析】1.（1）开口：向上，对称轴：直线x=3,顶点坐标（3，-5）（2）开口：向下，对称轴：直线x=-1,顶点坐标（-1，0）（3）开口：向上，对称轴：直线x=-4,顶点坐标（-4，2）2.（1）由y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位.（2）由y=-0.5x2向左平移1个单位.（3）由y=3x2向左平移4个单位，再向上平移2个单位.我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 那是怎样平移的呢？y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2只要将表达式右边进行配方就可以知道了.配方后的表达式通常称为配方式或顶点式这个结果通常称为顶点坐标公式.二次函数y=ax2+bx+c的顶点式【探究新知】因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.结论 顶点坐标公式根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 【跟踪训练】【解析】（1）对称轴为直线x=3,顶点坐标为（3，-5）.（2）对称轴为直线x=8,顶点坐标为（8，1）.（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y= x2+ x+10
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称． ⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
你有哪些计算方法？与同伴进行交流.【例题】（1）将函数y= x2+ x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.【解析】方法一（2）（1）由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.方法二确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.【跟踪训练】【解析】（1）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，0）.（2）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，-3）.（3）开口：向上，对称轴：直线x=1, 顶点坐标为（1，-1）.（4）开口：向上，对称轴：直线x=0.5, 顶点坐标为（0.5，
-2.25）.（5）开口：向下，对称轴：直线x=-6, 顶点坐标为（-6，27）.1. （菏泽·中考）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象,A , B, C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A.a+b=-1 B.a-b=-1
C.b<2a D.ac<0
【解析】选B.∵抛物线开口向上，∴a＞0, ∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，故D错；∵OA=OC=1，∴A，C两点的坐标分别为（-1，0），（0，1），∴当x=0时，y=1，即c=1；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a-b=-c=-1，故B对；由图象可知x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，∴a+b＞-1，故A错；
∵对称轴 ，∴b＞2a，故C错.2.（鄂州·中考）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0．其中正确的个数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4【答案】选C. A.0，5 B.0，1
C.-4，5 D.-4，1，的值分别为（ ）3．（安徽·中考） 若二次函数配方后为则【答案】选D.4．（福州·中考）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.a＞0 B.c＜0
C.b2－4ac＜0 D.a＋b＋c＞0【答案】选D. xyO【答案】选D.
6．（株洲·中考）已知二次函数(a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当a=-1, a=0, a=1, a=2时二次函数的图象.它们的顶点在同一条直线上，这条直线的解析式是 .【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的关系1.相同点: (1)形状相同(图象都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最大(或小)值.
(4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右侧,y随 x的增大而增大.a<0时,开口向下,在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随 x的增大而减小 .2.不同点: (1)位置不同.
(2)顶点不同:分别是 和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是 和y轴.
(4)最值不同:分别是 和 0.3.联系: (a≠0) 的图象可以看成y=ax2的
图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位（当
时向右平移，当 时向左平移）,再沿对称轴
整体上(下)平移| |个单位 (当 >0时
向上平移;当 <0时,向下平移)得到的.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随x的增大而减小. 根据图形填表：希望不能和忧愁结伴，忧愁会拖后腿，希望和欢乐交朋友，欢乐会催你前行.
——冰心 课件17张PPT。2 二次函数的图象与性质 第1课时1.探索经历二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.
2.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
3.能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象间的联系. 1.二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.（1）列表.（3）连线.（2）描点.2.画函数图象的主要步骤是什么？请你画出二次函数 y=x2 的图象.1.列表：… －3 －2 －1 0 1 2 3 …… 9 4 1 0 1 4 9 … xyO-4-3-2-11234108642y=x22.描点3.连线议一议
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≥0.
（3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.
（4）当 x= 0时，y最小值= 0.
（5）图象关于y轴对称.xyoy=x2xyoy=x2 函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称. 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.揭示新知二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流.xyoy=x2 做一做说说二次函数y=-x2的图象
有哪些性质,与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0).
（2）y≤0.
（3）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.
（4）当x=0时，y最大值=0.
（5）图象关于y轴对称.oxyy=－x2 议一议1.抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是
.在 侧,y随着x的增大而增
大；在 侧,y随着x的增大而减小,当
x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛
物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).2.抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0【跟踪训练】【答案】选C.1．（盐城·中考）给出下列四个函数：；②；③；④①时y随x的增大而减小的函数有（ ）A.1 B.2个 C.3个 D.4个2．（盐城·中考）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ．【答案】y=x2-2x（答案不唯一）3．（烟台·中考）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）【答案】选D. tsAtsBtsCtsDOOOOA.（4，4） B.（1，－4）
C.（2，0） D.（0，4）4．（哈尔滨·中考）在抛物线上的一个点是（ ）【答案】选C. 1.函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，它的开口方向是由a的符号决定的，a＜0开口向下,a＞0开口向上，图象是关于y轴对称的轴对称图形.2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低（高）点.【规律方法】二次函数y=±x2的性质１.顶点坐标与对称轴.２.位置与开口方向.３.增减性与最值.o奋斗就是生活，人生只有前进。
——巴金 课件30张PPT。二次函数的图象与性质
第2课时的图象，并能够比较它们1.能作出二次函数和与对二次函数图象的影响.的图象的异同，理解2.能说出二次函数和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.函数y=x2和y=-x2的图象x24-2y=x2y=-x2图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线抛物线向上向下y轴y轴(O,0)(O,O)yo-2-42晴天刹车距离s晴= v2雨天刹车距离s雨= v2你能作出 的图象吗？列表做一做答：都在s轴的右侧.【合作探究】2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？112
96
80
64
48
32
16
【解析】如图，s=s雨-s晴
3.在某一个雨天，有一个司机在限速为30km/h的路口停了下来，这时过来一个警察告诉他超速驾驶了，可他说没有，如果他的刹车距离为32m,你认为他有没有撒谎？【解析】由图可
知当刹车距离是
32m时速度是40km/h,所以该司机超速.即该司机撒谎.··探究一 在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象问题：它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？yx26481002-2-4 y=x2··y=2x2图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上y轴（0，0）抛物线向上（O，O）y轴【解析】yx264810O2-2-4y=x2y=2x2y=-x2y=-2x24问题：它们与二次函数y=x2和y=2x2的图象又有什么异同？在下列平面直角坐标系中，
作出y=-x2及y=-2x2的图象做一做图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上y轴（0，0）抛物线向下（O，O）y轴抛物线向上（0，0）y轴抛物线向下（0，0）y轴【解析】 函数y=3x2及y=-3x2的图象会有哪些特点？图象形状 开口方向对称轴顶点坐标抛物线向上y轴（0，0）抛物线向下（O，O）y轴探究二y=ax2 （a≠0）的图象是一条抛物线，y=ax2（a≠0）的图象有哪些特征？yx26481002-2-4y=x2y=2x2y=-x2y=-2x2其顶点坐标是（0，0）对称轴是y轴（也可写作直线x=0）当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小探究三二次函数y=2x2+1、y=2x2-1与二次函数y=2x2的图象有什么相同与不同？动手验证一下你的想法.探究四yx2648024-2-4-2二次函数y=-3x2+ , y=-3x2- 的图象与二次函数y=-3x2 的图象有什么关系？探究五二次函数y=-3x2+ 由二次函数y=-3x2的图象向
上平移 个单位二次函数y=-3x2- 由二次函数y=-3x2的图象向
下平移 个单位【解析】二次函数y=ax2（a≠0）的图象与y=ax2+c（a≠0）的图象有什么异同？探究六y=ax2+c的图象是由 y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0 时，向上平移c个单位;
当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.抛物线a>0向上,a<0向下y轴（0，0）抛物线a>0向上,a<0向下y轴（0，c）y=ax2及y=ax2+c（a≠0）的图象和性质【规律方法】1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的
时间t(s)的关系为h=4.9t2, h是t的________函数，它的
图象是_________________________，顶点坐标为_______.
2.上题中若物体从100米高的地方落下，它离地面的高
度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=100-4.9t2,则h是t的
_____函数，图象是_______________________，顶点
坐标是___________.二次抛物线在第一（0，0）二次抛物线在第一象限的部分（0，100）象限的部分【跟踪训练】（乐山·中考）将抛物线y=-x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.
A. B.
C. D.
【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右减”即自变量加减左右移.A．3 B．2 C．1 D．0【答案】选B.3．坐标平面上有一函数y=24x2?48的图象，其顶点坐标为（ ）
A.(0，?2) B.(1，?24)
C.(0，?48) D.(2，48) 【答案】选C. 4．（郴州·中考）将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．【答案】y=x2－15．（西宁·中考）小汽车刹车距离s（m）与速
度v（km/h）之间的函数关系式为一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆
故障车，此时刹车 有危险（填“会”或
“不会”）. 【答案】会(1)y=ax2的图象是一条抛物线.(2)其顶点坐标是（0，0）.(3)对称轴是y轴（也可写作直线x=0）.(4)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.随着︱a︱的增大，开口将越来越小.1.y=ax2(a≠0)的图象的特征2.二次函数y=ax2的图象与y=ax2+c(a≠0)的图象的关系y=ax2+c是由 y=ax2的图象上下平移得到的
当c>0 时，向上平移c个单位;
当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.人要学会走路，也得学会摔跤，
而且只有经过摔跤才能学会走路.
——马克思课件12张PPT。3 确定二次函数的表达式1.会用待定系数法确定二次函数的解析式.
2.会求简单的实际问题中的二次函数解析式.二次函数解析式有哪几种表达方式？ 一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k如何求二次函数的解析式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其解析式. 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：a-b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7，解方程组得：因此，所求二次函数的解析式是：a=2,
b=-3,
c=5.y=2x2-3x+5.【例1】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的解析式.【例题】【例2】已知抛物线的顶点为
(-1，-3),与y轴交点为
(0，-5),求抛物线的解析式.yox解析：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3,由点( 0,-5 )在抛物线上得：a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.-1-3【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次函数的解析式.
2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,
将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.
求该抛物线的解析式.【解析】设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得 解之 得∴所求抛物线的解析式为【跟踪训练】1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是( )C2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的解析式 .y=x2?4x+33.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，
点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，
沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN
的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则
能大致反映S与t的函数关系的图象是( )解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE= ，当点M在OA
上时，ON=t，MN= ，所以S= （0≤t≤2）；当点M在AB上时，MN的
值不变为 ，所以S= （2≤t≤4），故选C.你学到哪些二次函数解析式的求法？（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式.（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式. 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式. （3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.
——佚名课件21张PPT。4 二次函数的应用
第1课时1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二次函数的最值求法(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.MN【例题】解析：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?【跟踪训练】解析：即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．【答案】2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．解析：3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．
（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？
（2）如图铺设白色地面砖的费用为
每平方米30元，铺设绿色地面砖的费
用为每平方米20元，当广场四角小正
方形的边长为多少米时，铺设广场地
面的总费用最少？最少费用是多少？（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意
得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，
整理得x2－45x＋350＝0，
解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，
所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，
则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．【解析】（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，
广场四角的小正方形的边长为x米，则
y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋
20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]
即y＝80x2－3 600x＋240 000，配方得
y＝80（x－22．5）2＋199 500，
当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，
所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，
铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元．4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式.
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若 ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，
∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，
又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠BFE，
∴Rt△BFE∽Rt△CED，【解析】，，.∵△DEF中∠FED是直角，
∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，
此时， Rt△BFE≌Rt△CED，⑵当m=8时，，得 ∴当x=4时，y的值最大，最大值是2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.当EC=6时,m=CD=BE=2.5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由． （1）依题意得：y=(40-2x)x．
∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20．
（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵ a=1，b=-20，c=105，∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．【解析】【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.“最大面积” 问题解决的基本思路.1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.失败是坚韧的最后考验.
——俾斯麦课件23张PPT。4 二次函数的应用
第2课时1.经历探索T恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.
2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 顶点坐标为(h,k)①当a>0时，y有最小值k②当a<0时，y有最大值k【例1】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.
请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【例题】【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为 : 件;每件T恤衫的利润为: 元;所获总利润可以表示为: 元;∴当销售单价为 元时,可以获得最大利润,
最大利润是 元.即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.59 112.5（x-2.5）1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)
之间满足关系式y=–x2+24x+2 956，则获利最多为______元.2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)
与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x2+80x+28 400，要使
所获营业额最大,则此旅行团有_______人.203 100【跟踪训练】【例2】桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？【解析】建立如图所示的坐标系,根据
题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).
根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,
才能使喷出的水流不致落到池外.设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.OA(0,1.25)B(1,2.25)●
C(2.5,0)●
D(-2.5,0)●●1.（兰州·中考） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.【答案】0.5【跟踪训练】2.（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.
（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：
(5+x)(200－10x)=1 500，
解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10
所以 x=5.
答：每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，
当x= 时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A.4米 B.3米
C.2米 D.1米
【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米. 2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.
（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？即1006 000x-10x2；【解析】（1）由题意可知，
当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;(2) 当0≤x≤100时，y1=5 000x≤500 000<1 400 000；
当100y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 000<1 400 000；故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯．得由得所以，由3.（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】（1）y=50- （0≤x≤160）；所以x= =170时，w有最大值，而170>160,故由函数
性质知x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34，
此时的利润为10 880元.4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量） （1）由题意，得：w = (x－20)·y
=(x－20)·(-10x+500)
=-10x2+700x-10 000答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．
答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.【解析】当 时，w有最大值.∴抛物线开口向下.
∴当30≤x≤40时，w≥2 000．
∵x≤32，
∴当30≤x≤32时，w≥2 000．
设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=
-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.
∴当x = 32时，P最小＝3 600.
答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.虽然言语的波浪永远在我们上面喧哗，而我们的深处却永远是沉默的.
——纪伯伦 课件26张PPT。5 二次函数与一元二次方程1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？当b2－4ac≥0时，当b2－4ac<0时，方程无实数根.2.解下列一元二次方程：
（1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0.解：（1）x1=0, x2=-2.（2）x1=x2=1.（3）没有实数根.我们已经知道，竖直上抛物体的高度 h (m) 与运动时间t (s)的关系可以用公式
h=－5t2+v0t +h0 表示，
其中h0 (m)是抛出点距地面
的高度，v0 (m/s)是抛出时
的速度.一个小球从地面被
以40 m/s的速度竖直向上抛
起，小球的高度h (m)与运
动时间t(s)的关系如图所示，
那么Oh/mt/s1 2 3 4 5 6 7 880
70
60
50
40
30
20
10（1）h与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴交流.解析：（1）由图象知函数过点（0，0）与点（8，0）
代入关系式h=－5t2+v0t+h0得h0=0, 由已知可知v0=40，
得h=－5t2+40t.（2）由图象可知小球经过8秒后落地.可以令h=0，得t=0s（舍去）或t=8s.二次函数①y=x2+2x，②y=x2-2x+1，③y=x2-2x+2的
图象如图所示. （1）每个图象与x轴有几个交点？
（2）一元二次方程x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？
解方程验证一下，一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？（2）①x1=0, x2=-2,两个不相等实数根.②x1=x2=1,两个相等实数根.③没有实数根.解:（1）每个图象与x轴的交点个数分别是2个，1个，0个.（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.【规律方法】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：
有两个交点、有一个交点、没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.例：利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）. xy用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？方法: (1)先作出y=x2-x-3的图象;
(2)写出交点的坐标：
（-1.3，0），（2.3，0）
(3)得出方程的解：
x1=-1.3，x2=2.3. 【例题】CA【跟踪训练】3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点
情况是( )
A.无交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.不能确定C4.根据下列表格的对应值:
判断方程ax2+bx+c=0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )
A.3C.3.24程ax2+bx+c=0的解是 .x1=0，x2=57.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实
数根,则m=＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿个交
点.
8.已知抛物线 y=x2–8x+c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.
9.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2，x2= ,
那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿和
___________.1116（-2，0）1.（崇左·中考）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①abc＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=
-1，x2=3；③当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④Oxy13－1答案:D 2.（河北·中考）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A， B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
A．（2，3） B．（3，2）
C．（3，3） D．（4，3）答案:D 3.（汕头·中考）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图
所示，它与x轴的一个交点坐标为（－1，0），与y轴的
交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式.
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．【解析】（1）由题意得解得故所求解析式为解得∴由图象可知，函数值y为正数时，自变量x的取值范围
是－1＜x＜3．（2）令∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),4．（株洲·中考）二次函数y=x2-mx+3的图象与x轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m的值是_______．答案:45.（咸宁·中考）已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0），(-3m,0)(m≠0).
（1）证明:4c=3b2.
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．∴二次函数的最小值为-4.【解析】（1）依题意，m,-3m是一元二次方程的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得 ,∴，，（2）依题意，，，，1.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.根据一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是两个不相等的实根、两个相等实根、没有实数根，图象上对应与x轴的交点个数是两个、一个、没有.失败往往是黎明前的黑暗，继之而出现的就是成功的朝霞.
——霍奇斯
