2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练（含解析）

2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修第一册课时分层练
【夯实基础】
知识点1 函数的奇偶性
1.设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
2.设函数为奇函数，则实数( )
A.-1 B.1 C.0 D.-2
3.已知是定义在R上的偶函数，且在区间上为增函数，若，则满足不等式的x的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( )
A.-7 B.7 C.-5 D.5
知识点2 简单幂函数的图像和性质
5.下列函数既是偶函数又是幂函数的是( )
A. B. C. D.
6.若幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
7.若幂函数的图像经过点，，则( )
A.4 B. C.2 D.
8.已知幂函数的图象不过原点，则实数( )
A.1 B.-1 C.4 D.-4
9.若幂函数的图像不过原点，则m的取值是( )
A. B.或 C. D.
【提升能力】
10.（多选）已知幂函数（，m，n互质），下列关于的结论正确的是( )
A.m，n是奇数时，是奇函数
B.m是偶数，n是奇数时，是偶函数
C.m是奇数，n是偶数时，是偶函数
D.时，在上是减函数
11. （多选）若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②若对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有( )
A. B. C. D.
12.若是R上的奇函数，且，则的值为________.
13.若幂函数过点，则满足不等式的实数a的取值范围是___________.
【核心素养】
14.已知函数的定义域为，函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式的解集.
15.已知幂函数在上是单调递减函数.
（1）求m的值；
（2）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为为偶函数，所以关于对称，①
因为为奇函数，所以②
在②中，令，可得
因为关于对称，所以，
再在②中，令，得，故选B.
2.答案：A
解析：根据题意，函数为奇函数，则有，即，变形可得，则有.
3.答案：D
解析：本题考查函数的奇偶性，单调性，不等式的解法.据题，得，又因为函数在上为增函数，所以，从而有或，故选D项.
4.答案：D
解析：本题考查函数的奇偶性.根据题意，当时，，则，又由函数为R上的奇函数，得.
5.答案：B
解析：对于A，函数是奇函数，不合题意；
对于B，函数是偶函数且是幂函数，符合题意；
对于C，函数不是偶函数，不合题意；
对于D，函数不是幂函数，不合题意.故选B.
6.答案：D
解析：幂函数的图像过点，，解得，，它的单调递增区间是.故选D.
7.答案：B
解析：因为函数为幂函数，所以设.
由函数的图像经过点，得，即，所以，
故，故选B.
8.答案：B
解析：本题考查幂函数性质.幂函数不过原点，则，解得.
9.答案：B
解析：由幂函数的定义，可得，解得或2.当时，，其图像不过原点；当时，，其图像不过原点.故或.
10.答案：AB
解析：，当m，n是奇数时，是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，在时无意义，故C中的结论错误；当时，在上是增函数，故D中的结论错误.故选AB.
11.答案：BD
解析：由题中①知，为奇函数；由题中②知，为减函数.在A中，函数为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，所以不是“理想函数”；在B中，函数为定义域上的奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”；在C中，函数为定义域上的偶函数，且在定义域内不单调，所以不是“理想函数"；在D中，函数的大致图像如图所示，
显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，所以是“理想函数”，综上，选BD.
12.答案：-13
解析：因为是R上的奇函数，所以，且.
因为，所以，则.
13.答案：
解析：设幂函数为，因为其图象过点，所以，解得，所以.因为在R上为增函数，所以由，得，解得.
所以满足不等式的实数a的取值范围是.
14.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可知，解得，
的定义域为.
（2）由得，
.
是奇函数，，
又在上单调递减，
，解得.
不等式的解集为.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）在区间上是单调递减函数，则，
解得，又，所以.
（2），则在上恒成立，
则，可知当时，，
所以实数a的取值范围是.