2022-2023年湖北省武汉市江夏区重点学校九年级（下）期中考试数学试卷 (含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市江夏区重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
2．某运动员在罚球线上投篮一次，投中，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
3．现实世界中，对称现象无处不在，下列字母既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．E B．W C．H D．T
4．（﹣2a2）3的计算结果是（　　）
A．8a6 B．﹣8a6 C．6a6 D．﹣6a6
5．如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
7．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则﹣m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，则线段DE的长为（　　）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
10．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣1，2，4，﹣5，6，﹣7，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　）
A．1或﹣1 B．﹣1或﹣4 C．﹣3或﹣6 D．1或﹣8
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数　 　．
12．世界文化遗产长城总长约21000千米，数21000用科学记数法表示为 　 　．
13．有红、橙、黄、绿4种颜色的小球和四种对应颜色的盒子各一个，现从4个小球中任取两种颜色的小球随机放入其中的两个盒子，小球的颜色和盒子的颜色一致的概率是 　 　．
14．如图是武汉某地铁站的一个智能通道闸机，扇形ABC和扇形DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，通道关闭时AD＝10cm，则闸机通道的宽度　 　cm．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B
①3a+b＜0；
②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；
③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x≤1；
④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数t，y1＞y2．
其中正确的结论是 　 　．
16．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，点E在线段AB上，且AE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交FA的延长线于点M，则四边形AEPN的面积为 　 　．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得 　 　；
（2）解不等式②，得 　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 　 　．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）求证：AB∥DC；
（2）点E在线段BC的延长线上，点F在线段AD上，EF交CD于点M，∠DFE＝50°，直接写出∠DME的度数．
19．（8分）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 　 　人；条形统计图中m的值为 　 　，扇形统计图中α的度数为 　 　；
（2）根据调查结果，请估计该校600名学生中最喜欢“美术社团”的人数．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，，BE交AC于F．
（1）求证：CB＝CF；
（2）若⊙O的半径，sinC＝，求EF的值．
21．（8分）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，画出点F；再在边AB上画点G；
（2）在图（2）中，在边AB上找一点P，使PA＝PC，使tan．
22．（10分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 　 　；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 　 　；
（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
23．（10分）问题提出如图（1），在△ABC中，AD⊥BC，连接DE，探究
问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当AD＝BD时的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当AD＝nBD时，求的值；
问题拓展如图（3），在△ADC中，AD⊥CD，P是△ADC内一点，DP＝1，CE交AD于F，当△CDE的面积最大时的值．
24．（12分）如图1，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），对称轴为x＝1．
（1）直接写出抛物线C1的解析式；
（2）如图1，直线经过点A1于另一点B，点P在线段AB上，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ，若PA＝PQ；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2，点M，N在抛物线在抛物线C2上，点M在点N的右边，如果△MNE的两条边ME2都有唯一共同点且ME，NE都与y轴不平行，△MNE的面积为2，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．
答案解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．﹣5的绝对值是（　　）
A． B．5 C．﹣5 D．﹣
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的绝对值是5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．某运动员在罚球线上投篮一次，投中，这个事件是（　　）
A．必然事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．随机事件
【分析】根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，进而判断得出答案．
【解答】解：某运动员在罚球线上投篮一次，投中．
故选：D．
【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握随机事件的定义是解题关键．
3．现实世界中，对称现象无处不在，下列字母既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．E B．W C．H D．T
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．“E”是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．“W”是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．“H”既是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．“T”是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．（﹣2a2）3的计算结果是（　　）
A．8a6 B．﹣8a6 C．6a6 D．﹣6a6
【分析】根据积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可．
【解答】解：（﹣2a2）8＝（﹣2）3a6＝﹣8a6．
故选：B．
【点评】考查了积的乘方，注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
5．如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看上边看得到的图形是俯视图．注意看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线．
6．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定正确的是（　　）
A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2
【分析】根据反比例函数图象与性质即可得到答案．
【解答】解：y＝﹣的k＝﹣1＜7，
∴反比例函数y＝﹣的图象在第二，
∵点A（x1，y2），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上1＜0＜x8，
∴y1＞0＞y6，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，熟练掌握反比例函数中k与图象的象限关系是解决问题的关键．
7．如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，列出函数解析式，再选择出适合的图象．
【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝7﹣t，
当1≤t≤2时，S＝6，
当2＜t≤3时，S＝t+8，
故选：A．
【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据列出函数的解析式是解题的关键．
8．已知m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则﹣m+n的值是（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】先将﹣m+n通分、化简得，再利用配方法得，根据一元二次方程根与系数的关系可知m+n＝＝2，mn＝＝﹣1，最后整体代入计算即可求解．
【解答】解：﹣m+n
＝
＝
＝
＝，
∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根，
∴m+n＝＝2＝﹣1，
则原式＝＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系时解题关键．根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，则线段DE的长为（　　）
A．6.4 B．7 C．7.2 D．8
【分析】如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF，由圆周角定理得到∠DEF＝90°，解Rt△ABC得到sin∠ABC＝，证明∠ABC＝∠F得到sin∠ABC＝sinF，解Rt△DEF即可求出答案．
【解答】解：如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，
∵DO是直径，
∴∠DEF＝90°，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，
∴AB＝＝15，
∴sin∠ABC＝＝，
∵四边形BDFE是圆内接四边形，
∴∠F+∠DBE＝180°，
又∵∠ABC+∠DBE＝180°，
∴∠ABC＝∠F，
∴sin∠ABC＝sinF，
在Rt△DEF中，sinF＝＝，
∴DE＝DF＝10×，
故选：D．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将﹣1，2，4，﹣5，6，﹣7，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（　　）
A．1或﹣1 B．﹣1或﹣4 C．﹣3或﹣6 D．1或﹣8
【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数，确定a＝﹣1或a＝2，从而求出d的值，即可求解．
【解答】解：∵﹣1+2﹣5+4﹣5+3﹣7+8＝8，
∴横、竖、外圈，
∴﹣7+6+6+b＝2，
∴b＝﹣5，
∵2+4+b+c＝2，a+5﹣7+d＝2，
∴c＝﹣8，a+d＝1，
∴a＝﹣1或a＝2，
当a＝﹣1时，d＝2，
当a＝4时，d＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出a、d的可能取值是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数　　．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
【解答】解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．世界文化遗产长城总长约21000千米，数21000用科学记数法表示为 　2.1×104　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【解答】解：数21000用科学记数法表示为2.1×104．
故答案为：2.1×104．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键．
13．有红、橙、黄、绿4种颜色的小球和四种对应颜色的盒子各一个，现从4个小球中任取两种颜色的小球随机放入其中的两个盒子，小球的颜色和盒子的颜色一致的概率是 　　．
【分析】画树状图，从4个小球中任取两种领色的小球随机放入其中的两个盒子，共有12种等可能的结果，其中小球的颜色和盒子的颜色一致的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
从4个小球中任取两种领色的小球随机放入其中的两个盒子，共有12种等可能的结果，
∴小球的颜色和盒子的颜色一致的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．如图是武汉某地铁站的一个智能通道闸机，扇形ABC和扇形DEF是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，扇形的圆心角∠ABC＝∠DEF＝28°，半径BA＝ED＝60cm，通道关闭时AD＝10cm，则闸机通道的宽度　66.4　cm．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
【分析】连接AD并延长交BC于点G，交EF于点H，结合题意可得GH⊥BC，GH⊥EF，GH的长度就是BC与EF的距离，AG＝DH，在Rt△ABG中，AG＝AB sin∠ABG＝28.2（cm），进而求出GH即可求解．
【解答】解：如图，连接AD并延长交BC于点G，
由点A与点D在同一水平线上，BC和EF均垂直于地面可知，GH⊥EF，
∴GH的长度就是BC与EF的距离，
由两圆弧翼成轴对称可知，AG＝DH，
在Rt△ABG中，AG＝AB sin∠ABG＝60×sin28°≈60×0.47＝28.2（cm），
∴AG＝DH＝28.2cm，
∵AD＝10cm，
∴GH＝AG+AD+DH＝28.2+10+28.2＝66.6（cm）．
故答案为：66.4．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，利用锐角三角函数解决问题是解题关键．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点为B
①3a+b＜0；
②过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；
③若a＞0，关于x的不等式a（x+1）2+b（x+1）＜0的解集为﹣1＜x≤1；
④若a＜0，点P（t，y1），Q（t﹣1，y2）在该抛物线上，当实数t，y1＞y2．
其中正确的结论是 　②　．
【分析】先由题意画出图象，再根据图象与系数的关系求解．
【解答】解：当a＞0时，如图L1，当a＜8时，如图L2，
①由题意得：﹣，a﹣b+c＝0，
∴b＝﹣2a，
∴a+4a+c＝0，即：3a+c＝3，
故①是错误的；
②当y＝c﹣a时，ax2+bx+c＝c﹣a，即：ax2+bx+a＝7，
∴Δ＝b2﹣4a5＝（2a+b）（b﹣2a）＝6，
∴ax2+bx+c＝c﹣a有两个相等的实数根，
∴过点（0，c﹣a）平行于x轴的直线与抛物线有唯一的公共点；
故②是正确；
③当a＞3时，如L1所示：
∴ax2+bx+c＜7的解集为：﹣1＜x＜3，
∴a（x+5）2+b（x+1）＜3的解集为：﹣1＜x+1＜3，即：﹣2＜x＜2，
故③是错误的；
④当a＜2时，如L2所示：当x≥1时，y4＞y2，
∴t﹣1≥2，即t≥0时，y1＞y5，
故④是错误的；
故答案为：②．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
16．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，延长AC至点P，点E在线段AB上，且AE，以PE为边向右作等边△PEF，过点E作EM∥AP交FA的延长线于点M，则四边形AEPN的面积为 　2　．
【分析】作PG∥CB交AB的延长线于点G，则AB＝BC＝AC＝3，∠PAG＝60°，∠APG＝∠ACB＝60°，∠G＝∠ABC＝60°，所以△ABP是等边三角形，AG＝GP＝AP＝AC+CP＝4，而△PEF是等边三角形，则PE＝PF，∠FPE＝∠PEF＝∠PFE＝60°，所以∠GPE＝∠APF＝60°﹣∠APE，即可证明△GPE≌△APF，得∠G＝∠PAF＝60°，所以∠PAG＝∠PAF＝60°，∠MAE＝60°，再证明△AEM是等边三角形，则∠M＝∠PAE＝60°，∠MEF＝∠AEP＝60°+∠AEF，可证明△MEF≌△AEP，得MF＝AP＝4，则MN＝MF＝2，AE+AN＝AM+AN＝2，作PH⊥AG于点H，PD⊥AF于点D，则PH＝PD，AH＝GH＝AG＝2，由勾股定理得PH＝PD＝＝2，所以S四边形AEPN＝S△APE+S△APN＝×2（AE+AN）＝×2×2＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：作PG∥CB交AB的延长线于点G，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠PAG＝60°，∠G＝∠ABC＝60°，
∴△ABP是等边三角形，
∵点P在AC的延长线上，CP＝5，
∴AG＝GP＝AP＝AC+CP＝4，
∵△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，∠FPE＝∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴∠GPE＝∠APF＝60°﹣∠APE，
在△GPE和△APF中，
，
∴△GPE≌△APF（SAS），
∴∠G＝∠PAF＝60°，
∴∠PAG＝∠PAF＝60°，
∴∠MAE＝180°﹣∠PAG﹣∠PAF＝60°，
∵EM∥AP，
∴∠M＝∠PAF＝60°，∠AEM＝∠PAG＝60°，
∴△AEM是等边三角形，∠M＝∠PAE＝60°，
∴ME＝AE＝AM，
在△MEF和△AEP中，
，
∴△MEF≌△AEP（ASA），
∴MF＝AP＝4，
∵点N为MF的中点，
∴MN＝MF＝，
∴AE+AN＝AM+AN＝MN＝2，
作PH⊥AG于点H，PD⊥AF于点D，AH＝GH＝×4＝2，
∵∠AHP＝90°，
∴PH＝PD＝＝＝2，
∵S四边形AEPN＝S△APE+S△APN＝AE PH+，
∴S四边形AEPN＝×2×2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得 　x＞﹣1　；
（2）解不等式②，得 　x≤3　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 　﹣1＜x≤3　．
【分析】（1）解不等式，填空即可；
（2）解不等式，填空即可；
（3）根据不等式的解集，再数轴上表示出即可；
（4）根据数轴上的解集的公共部分，确定不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）解不等式①，得x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣1；
（2）解不等式②，得x≤2，
故答案为：x≤3；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
．
（4）根据（3）中解集，可知不等式组的解集为﹣3＜x≤8，
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练解每个不等式，准确利用数轴确定不等式组的解集是解题关键．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
（1）求证：AB∥DC；
（2）点E在线段BC的延长线上，点F在线段AD上，EF交CD于点M，∠DFE＝50°，直接写出∠DME的度数．
【分析】（1）利用平行线性质及已知条件易得∠A+∠D＝180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可证得结论；
（2）利用平行线性质及已知条件易得∠A＝∠BCD＝110°，∠AFM＝130°，然后利用正多边形内角和公式求得五边形ABCMF的内角和，从而求得∠CMF的度数，根据对顶角相等即可求得答案．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠BCD+∠D＝180°，
∵∠A＝∠BCD，
∴∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∵∠DFE＝50°，
∴∠AFM＝180°﹣∠DFE＝180°﹣50°＝130°，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠AFM+∠CMF＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠CMF＝540°﹣180°﹣110°﹣130°＝120°，
∴∠DME＝∠CMF＝120°．
【点评】本题主要考查多边形内角和及平行线的性质与判定，它们均为几何图形中重要知识点，必须熟练掌握．
19．（8分）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）参加问卷调查的学生共有 　60　人；条形统计图中m的值为 　11　，扇形统计图中α的度数为 　90°　；
（2）根据调查结果，请估计该校600名学生中最喜欢“美术社团”的人数．
【分析】（1）利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数；根据m＝60﹣10﹣24﹣15，α＝360°×即可得出答案．
（2）用该校总人数乘以样本中最喜欢“美术社团”的占比即可．
【解答】解：（1）24÷40%＝60（人），
∴参加问卷调查的学生共有60人．
m＝60﹣10﹣24﹣15＝11（人），
α＝360°×＝90°，
故答案为：60，11．
（3）600×＝110（人），
∴估计该校600名学生中最喜欢“美术社团”的约有110人．
【点评】本题考查了条形统计图，熟练掌握条形统计图是解题的关键．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，，BE交AC于F．
（1）求证：CB＝CF；
（2）若⊙O的半径，sinC＝，求EF的值．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠AEB＝90°，于是有∠AFE＝90°﹣∠EAD，根据圆的切线的性质得出∠ABC＝90°，于是有∠CBF＝90°﹣∠ABE，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠ABE＝∠EAD，于是推出∠AFE＝∠CBF，根据对顶角相等得出∠AFE＝∠CFB，于是有∠CBF＝∠CFB，从而得证；
（2）在Rt△ABC中求出AC，BC的长，结合（1）中的结论即可求出AF的长，在Rt△ABD中求出AD，BD的长，即可求出DF的长，再证△AEF∽△BDF，得出AE＝2EF，最后在Rt△AEF中根据勾股定理即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣∠EAD，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°﹣∠ABE，
∵，
∴∠ABE＝∠EAD，
∴∠AFE＝∠CBF，
∵∠AFE＝∠CFB，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CB＝CF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∵⊙O的半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
由（1）知CB＝CF，
∴，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABD，
∴sinC＝sin∠ABD，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
在△AEF和△BDF中，∠EAF＝∠DBF，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∴AE＝2EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE7+EF2＝AF2，
∴，
∴EF＝1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理等知识，综合性较强，需认真思考．
21．（8分）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，画出点F；再在边AB上画点G；
（2）在图（2）中，在边AB上找一点P，使PA＝PC，使tan．
【分析】（1）点C绕点D旋转180° 即延长CD即可找到点F，最后构造平行四边形ABCF即可解决问题；
（2）先构造正方形，然后找到对角线交点和AC中点，连接两点的直线与AB的交点即为所作点P；点Q就是△ABC边AC高的垂足．
【解答】解：（1）如图，
    如图，AD＝BD，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AC∥BF，
∴四边形CEHB是平行四边形，
∴EH∥BC，即EG∥BC，
∴如图点F、G即为所求；
（2）如图，
    如图，四边形ACEF为正方形，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∴点O在AC垂直平分线上，点S在AC垂直平分线上，
∴MN垂直平分AC，
∴PA＝PC，
根据网格易得：∠BAI＝90°，AB＝Al，连接BH交AC于点Q，
∴，
在RtABH中，，
即，
∴如图点P、Q即为所求．
【点评】本题考查无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握平行四边形，正方形的性质和判定，垂直平分线的性质，锐角三角函数的应用．
22．（10分）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）c的值为 　66　；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a＝﹣，b＝；
②若a＝﹣时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 　b＞　；
（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【解答】解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（8﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣8+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
23．（10分）问题提出如图（1），在△ABC中，AD⊥BC，连接DE，探究
问题探究（1）先将问题特殊化．如图（2），当AD＝BD时的值．
（2）再探究一般情形．如图（1），当AD＝nBD时，求的值；
问题拓展如图（3），在△ADC中，AD⊥CD，P是△ADC内一点，DP＝1，CE交AD于F，当△CDE的面积最大时的值．
【分析】（1）通过证明△BDE∽△BAC，可得，即可求解；
（2）通过证明△BDE∽△BAC，可得，即可求解；
（3）由题意可得当CP⊥DP时，△CDE的面积最大，先证明△ACF∽△EDF，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
∴，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵AD＝BD，AD⊥BC，
∴AB＝BD，
∴＝；
（2）∵AD＝nBD，AD⊥BC，
∴AB＝＝BD，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BCE，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE；
∴，
∴，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝；
（3）∵DP＝2，
∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上，
∵AE⊥CP，
∴点E在以AC为直径的圆上，
∴当CP⊥DP时，△CDE的面积最大，
如图，
∵DP＝1，CD＝6，
∴sin∠DCP＝，
∴∠DCP＝30°，
∴∠DFC＝60°＝∠AFE，
∴∠FDP＝30°＝∠EAF，
∴AF＝4EF，
∵∠AEC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点E，点C四点共圆，
∴∠DAC＝∠DEC＝45°，∠ACE＝∠ADE，
∴△ACF∽△EDF，
∴＝（）2＝．
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
24．（12分）如图1，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），对称轴为x＝1．
（1）直接写出抛物线C1的解析式；
（2）如图1，直线经过点A1于另一点B，点P在线段AB上，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ，若PA＝PQ；
（3）如图2，将抛物线C1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2，点M，N在抛物线在抛物线C2上，点M在点N的右边，如果△MNE的两条边ME2都有唯一共同点且ME，NE都与y轴不平行，△MNE的面积为2，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系．
【分析】（1）根据对称轴求出b＝﹣2，再将A点代入y＝x2﹣2x+c，求出c的值即可确定函数解析式；
（2）将点A代入直线解析式求出a的值，再设P（t，﹣t+4），（﹣＜t＜3），由PQ∥y轴，可得Q（t，t2﹣2t﹣3），根据PA＝PQ，建立方程（3﹣t）＝﹣t2+t+7，求出t的值即可求P点坐标；
（3）根据平移的性质求出平移后抛物线C2解析式为y＝x2，设直线ME的解析式为y＝k（x﹣m）+m2，联立，整理得x2﹣kx+km﹣m2＝0，再由题意可得Δ＝（k﹣2m）2＝0，求出k＝2m，则直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，同理可得直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，联立，求出E（，mn），根据△MNE的面积为2，得到方程[（n2﹣mn）+（m2﹣nm）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，即可求m﹣n＝2．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝4，
∴b＝﹣2，
∴抛物线C1：y＝x7﹣2x+c，
将点A（3，7）代入y＝x2﹣2x+c，则6﹣6+c＝0，
∴c＝﹣5，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵直线经过点A，
∴a＝4，
∴直线y＝﹣x+4，
联立方程组，
解得，
∴B（﹣，），
∵点P在线段AB上，
设P（t，﹣t+4）＜t＜3），
∵PQ∥y轴，
∴Q（t，t2﹣6t﹣3），
∵PA＝PQ，
∴（3﹣t）＝﹣t2+t+7，
解得t＝﹣或t＝3（舍），
∴P（﹣，）；
（3）∵y＝x8﹣2x﹣3＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线C3向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C3解析式为y＝x2，
设直线ME的解析式为y＝k（x﹣m）+m2，
联立，
整理得x2﹣kx+km﹣m4＝0，
∵ME所在直线与抛物线C2有唯一共同点，
∴Δ＝（k﹣3m）2＝0，
∴k＝4m，
直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，
同理可得直线NE的解析式为y＝6nx﹣n2，
联立，
解得，
∴E（，mn），
∵△MNE的面积为2，
∴[（n2﹣mn）+（m8﹣nm）]×（m﹣n）﹣（n7﹣mn）×（﹣n）﹣2﹣mn）×（m﹣）＝3，
∴（m﹣n）3﹣＝4，
∴m﹣n＝2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，抛物线平移的性质，利用割补法求三角形面积的方法是解题的关键．