2022-2023学年河南省濮阳市重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省濮阳市重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 四个数，，，中，相反数最小的那个数是( )
A. B. C. D.
2. 近几年我国新能源汽车发展迅猛，产能与销售都位居世界第一乘联会公布了年月乘用车销量预测情况，新能源汽车零售销量预计为万辆数字万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3. 下列几何体从左面看到的图形是的是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，直线，点、分别在、上，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点；作射线交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
6. 小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩在网上购票时若系统已将两人分配到同一车厢同一排如图是高铁座位示意图小亮和爸爸分分配的座位挨在一起过道两侧也认可是座位挨在一起的概率是( )
A. B. C. D.
7. 小明与小颖相约开展数学学习竞赛，下表记录的是两人一周的自评成绩：关于以上数据，说法正确的是( )
小明
小颖
A. 小明、小颖成绩的中位数相同 B. 小明成绩的平均数小于小颖成绩的平均数
C. 小明、小颖成绩的众数相同 D. 小明成绩的方差小于小颖成绩的方差
8. 如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，，则的长是( )
A. B. C. D.
10. 如图，正方形的对角线相交于点，点为的中点，点为边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，点从点出发匀速运动到点，设，，随变化的图象如图所示，图中的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 不等式组的解集为______ ．
12. 写出函数的一条性质______ ．
13. 写出一个一元二次方程，使这个方程有两个解______ ．
14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点、、、、、是圆与小正方形边的交点，其中、、也是小正方形的顶点则图中阴影部分的面积是______ ．
15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，当为直角三角形时，的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
化简：．
17. 本小题分
阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气某初级中学为了解学生近两周平均每天在家阅读时长单位：小时的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数；
若该校有学生人，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数．
18. 本小题分
如图，在中，，点在轴的正半轴上，点坐标为，函数的图象过斜边的中点，交于点求这个函数的解析式及的面积；
将沿轴向右平移到的位置，若四边形是菱形，求与的图象交点的坐标．
19. 本小题分
某校“数学实践小组”的同学为测量濮阳市绿城隧道的长度，他们利用无人机先从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得点的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为，请你帮助“数学实践小组”的同学计算隧道的长度结果精确到，参考数据：，，，
20. 本小题分
濮阳市为改善空气质量，降低空气污染，决定让公交公司逐步淘汰原有的汽油公交车，更换节能环保的电动公交车公司准备采购型和型两种公交车共辆，其中每辆的价格，年均载客量如下表所示：
型 型
价格万元辆
年载客量万人车
若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元．
求、两种型号公交车的单价分别是多少万元；
如果该公司要确保这辆公交车的年均载客量总和不少于万人次请你设计一个方案，使购买的总费用最少．
21. 本小题分
如图是我国明末崇祯历书之割圆勾股八线表中所绘的割圆八线图，如图，将图中的丙、戊、乙、庚、辛、丁点分别表示、、、、、，扇形的圆心角为，切弧所在的于点，交于点．
证明：是弧所在的的切线；
若，扇形的半径为，求线段的长．
22. 本小题分
如图所示，濮阳湿地公园中，金堤河大桥是一座非常有艺术性造型的大桥桥身是由两条抛物线钢架建造如图所示，两条抛物线有共同的对称轴，已知，过原点，两抛物线最高点的距离为．
求抛物线的解析式；
求主桥长为多少米？
过点与轴平行的直线为河面的水平线，，若要在与水面的交点、处建造两个桥墩，其中一个桥墩到岸边轴的距离是多少米？说明：题中个单位长为米
23. 本小题分
数学综合实践课上，老师与同学们探索了下列问题：
如图，矩形中，点为中点，点为上一动点，将四边形沿折叠，、的对应点分别为、连接、．
【问题解决】
如图，当时，的大小为______ ．
A.
B.
C.
D.
【问题探究】
如图，连接．
分别判断与，与的位置关系，并给出证明；
若，，当与相似时，直接写出的长度．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：四个数，，，中，相反数分别为：，
，
相反数最小的那个数是，
故选：．
根据有理数的大小比较，相反数的定义即可求解．
本题考查了有理数的大小比较，相反数的定义，熟练掌握有理数的大小比较，相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：左面看到的图形是 的是，
从左面看到的是并排的个正方形，不合题意．
故选：．
根据左面看到的图形是，逐个分析判断即可求解．
本题考查了左视图，掌握从左边看，仔细观察是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确．
故选：．
分别根据完全平方公式，积的乘方运算法则，合并同类项法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
，
根据作图可知是的角平分线，
，
故选：．
根据作图可知是的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解．
本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：列表如下，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共有种等可能结果，其中符合题意的有种，
小亮和爸爸分配的座位挨在一起过道两侧也认可是座位挨在一起的概率是，
故选：．
根据题意，根据列表法求概率即可求解．
本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、小明的中位数为，小颖的中位数为，故原题说法错误，不合题意；
B、小明的平均数为，小颖的平均数为，故原题说法错误，不合题意；
C、小明的众数为，小颖的众数为，故原题说法错误，不合题意；
D、小明的方差为，小颖的方差为，故原题说法正确，符合题意．
故选：．
分别根据中位数、平均数、众数和方差判断即可．
此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，分别过，作轴的垂线，垂足分别为，，则．
点坐标为，点坐标为，
，，
将线段绕点逆时针旋转至，
，，
，
≌，
，，
，
，
故选：．
分别过，作轴的垂线，垂足分别为，，则，证明≌，结合坐标性即可求解．
本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
由作图得，
四边形是菱形，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质得，，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：当点与点重合时，如图，
四边形为正方形，
，
此时，点与点重合，
，
当点与点重合时，如图，
四边形为正方形，
，，
此时，点与点重合，
由图可知，，
设，
点为的中点，
，
在中，，
，
解得：，或舍去，
，即．
故选：．
当点与点重合时，此时点与点重合，，当点与点重合时，此时点与点重合，由函数图象可得，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可．
本题主要考查动点问题的函数图象、正方形的性质、勾股定理，读懂题意，利用数形结合和分类讨论思想得出，是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
12.【答案】随的增大而减小答案不唯一
【解析】解：函数，，
随的增大而减小答案不唯一．
故答案为：随的增大而减小答案不唯一．
根据一次函数的解析式可得增减性，经过的象限等性质，写出一条性质即可求解．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：依题意，如，，
故答案为：答案不唯一．
根据题意写出一个一元二次方程，且方程有两个解即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：设圆心为，连接，．
观察图象可知是等腰直角三角形，，，
，
．
根据勾股定理，扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，三角形中位线定理，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：在中，，，，
，
的垂直平分线交于，交于点，
，，
在中，，，
，，
，，
由线段绕点顺时针旋转得到，
，
在中，，，
当为直角边时，，
当为斜边时，，
故答案为：或．
在中，，，，则，根据垂直平分线的性质得出，，继而根据勾股定理以及含度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的中得出，进而在中，，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】分别根据数的开方法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
先算除法，再算减法即可．
本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，涉及到数的开方法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值等知识，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：名，
故答案为：；
类的人数为人，类所对应扇形的圆心角的度数为，补全频数分布直方图如下：
人，
答：该校名学生中，近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数大约有人．
从两个统计图中可知，类的频数为，占调查人数的，根据频率可求出答案；
求出类的人数即可补全条形统计图，根据类所占的调查人数的百分比可计算相应的圆心角的度数；
求出样本中近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数所占的百分比，进而估计整体中近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数所占的百分比，由频率即可求出答案．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
18.【答案】解：，点为的中点，
，，
点，
把代入，
得：，
反比例函数的解析式为：，
在上，，
设点，代入，
得：，
，
，
，
；
在中，，，
，
四边形是菱形，
，，
设直线的解析式为：，
把，，代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
直线与反比例函数的图象交点，
联立方程组可得：，
解得：，

【解析】根据待定系数法得出反比例函数的解析式，进而利用三角形的面积公式得出面积即可；
根据菱形的性质和联立方程组解答即可．
此题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质、菱形的性质，关键是根据待定系数法得出解析式解答．
19.【答案】解：如图过点作点，则四边形为矩形，，
在中：，，
，
，
，
在中：，
，
，
答：隧道的长度约为．
【解析】过点作点，则四边形为矩形，，，在中，求得，进而求得，即可得，在中求得的长，进而即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
答：型公交车的单价是万元辆，型公交车的单价是万元辆；
设该公司采购辆型公交车，则采购辆型公交车，
根据题意得：，
解得：．
设采购这辆公交车的总费用为万元，则，
．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，此时．
总费用最少的购买方案为：购买辆型公交车，辆型公交车．
【解析】根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该公司采购辆型公交车，则采购辆型公交车，根据采购这辆公交车的年均载客量总和不少于万人次，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设采购这辆公交车的总费用为万元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
21.【答案】证明：，，
，
，
又点是半径的外端点，
是弧所在的的切线，
解：，
，
，
，
切弧于点，
，
，
，
，
，
，
，
在中：，，
，
．
【解析】根据平行线的性质得出，则，即可得出是弧所在的的切线
根据得出，由可知，根据切线的性质得出，则，得出，根据平行线的性质可得，在中：，求得，进而即可求解．
本题考查了切线的系数，解直角三角形，掌握以上知识熟练掌握是解题的关键．
22.【答案】解：由题知：，
则抛物线对称轴为，最高点，
过原点，两抛物线最高点的距离为．
设抛物线的解析式为，
把点代入得，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，，
，
答：主桥长为米，
由题知：令，则，
解得：或舍去，
，
答：其中一个桥墩到岸边轴的距离是米．
【解析】根据题意可得抛物线对称轴为，最高点，过原点，两抛物线最高点的距离为把点代入得，即可求解．
令，则，解方程即可求解；
令，解方程即可求解．
本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
四边形折叠得到四边形，
，，
，
度，
，
故选：，
，，
理由如下：由翻折得得到，，，
点为中点，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
如图过点作于点，
，
四边形折叠得到四边形，
，，
，
四边形是矩形，
，，
∽，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，为中点，
，
，
如图，过点作于，
由图可得，，，
∽，
，
设，则，，
，
，
解得，，
，
不符合题意舍去，
，
，
综上所述：的长度为或，
根据矩形的性质及折叠前后的全等图形的性质计算角度．
根据轴对称的性质得到对应边，对应角相等，从而推到出角相等及互余的数量关系，从而得到结论．
根据动点的位置不同分类讨论，利用已知相似图形得到角相等，根据动点位置不同证明三角形全等或者相似，得到线段数量的关系，得出结论．
本题考查矩形，轴对称的性质，全等及相似的应用，利用轴对称得到对应线段，对应角相等是解决问题的关键，还要注意动点环境下的分类讨论．
第1页，共1页