2022-2023学年陕西省西安市重点中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市重点中学九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算：的值是( )
A. B. C. D.
2. 如图，该几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 计算：( )
A. B. C. D.
4. 如图，是一个棱长为的正方体纸盒若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点爬到顶点去觅食，则需要爬行的最短路程是( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知直线的表达式为，若直线与直线关于轴对称，且经过点，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，内接于，连接、，若，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
9. 将数据用科学记数法表示为______ ．
10. 如图，小明从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点，，照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为______米．
11. 中国古代数学家刘徽在九章算术注中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作于，将分割后拼接成矩形若，，则的面积是______．
12. 已知点，都在反比例函数上，且，则的取值范围是______ ．
13. 如图，在四边形中，，于点，点为上一动点，过点作交于点，若，，，则的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. 本小题分
计算：．
15. 本小题分
解方程组：．
16. 本小题分
化简：．
17. 本小题分
如图，在中，，请用尺规作图法在边上找一点，使得的长最小保留作图痕迹，不写作法
18. 本小题分
如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：．
19. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：、、．
在图中作出，使得与关于轴对称．
请在坐标系内找一个点，使得四边形为“平行四边形”，则点的坐标为______ ，并求出平行四边形的面积．
20. 本小题分
如图，是两个可以自由转动的转盘，转盘是圆形转盘，转盘是正方形转盘，转盘被分成的面积相等的三个扇形，转盘被分成了三个部分，其中红色部分的面积是正方形面积的，黄色、蓝色部分的面积分别是正方形面积的，同时转动两个转盘，若其中一个指针指向红色，而另一个指针指向蓝色，那么指针指向的两种颜色就可以配成紫色若指针指向分界线，则需要重新转动
若转动一次盘，则指针指向红色的概率是______ ．
若同时转动盘和盘，请通过列表或画树状图的方法，求出指针指向的两种颜色恰好配成紫色的概率．
21. 本小题分
小明和小亮两位同学春节期间在游览某景区时，对景区内一座古塔产生浓厚的兴趣，他们想用所学的知识测量古塔的高度为了保护古塔，工作人员在古塔底部设有栅栏，古塔底部不可直接到达经询问得知栅栏长米即米，小亮在处利用米高的栅栏即米，且，在栅栏顶端处测得塔的顶部处的仰角为，小明同学在古塔另一侧的处放置平面镜点、、、四点在一条直线上，当他站在处时恰好能从平面镜中看到古塔的塔顶，已知小明的身高为米即米，且，小明到平面镜的水平距离为米即米，求古塔的高．
22. 本小题分
如图，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中上、下车时间忽略不计小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图所示．
小刚家与学校的距离为______ ，小刚骑自行车的速度为______ ；
求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；
小刚出发分钟时，他离家有多远？
23. 本小题分
为了解某品牌电动汽车的性能，对该品牌电动汽车进行了抽检，将一次充满电行驶里程数分为，、，四个等级，其中相应等级的里程依次为千米，千米，千米，千米，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
这次被抽检的电动汽车共有______ 辆，并补全条形统计图；
本次调查数据的中位数落在______ 等级，扇形统计图中的圆心角度数为______ ；
估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为多少千米？
24. 本小题分
如图，为的内接三角形，为的直径，为上一点，连接并延长交于点，交的切线于点，且．
求证：．
若，，求的长．
25. 本小题分
如图，是一块抛物线型板材，工人师傅以为坐标原点，边所在直线为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，根据测量得知边长为分米，最高点到的距离为分米．
求该抛物线的解析式．
工人师傅计划在抛物线型板材上截出一个正方形，要求、两点在抛物线上在的左侧，点在抛物线的对称轴上，工人师傅的计划能否实现？若能请你帮助工人师傅在抛物线上找出到点的位置即求出点的坐标，若不能请说明理由．
26. 本小题分
问题提出
如图，在中，，，若，则的值为______ ．
问题探究
如图，在四边形中，对角线、相交于点，、、、分别为、、、的中点，连接、、、若，，，求四边形的面积．
问题解决
如图，某市有一块五边形空地，其中，米，米，米，米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园，使点、、、分别在边、、、上，要求，，，请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：原式，
故选：．
根据有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数进行计算即可．
此题主要考查了有理数的减法，关键是掌握计算法则．
2.【答案】
【解析】解：此几何体的俯视图如下：
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握所看的位置．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4.【答案】
【解析】解：需要爬行的最短路程即为线段的长，如图：
正方体棱长为，
，，
，
需要爬行的最短路程为；
故选：．
把，展到同一个平面内，用勾股定理即可得到答案．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是把，展到同一个平面内，求出线段的长度．
5.【答案】
【解析】解：经过点，
点关于轴的对称点为，
直线与直线关于轴对称，
点在直线上，
，
．
故选：．
先求出点关于轴的对称点的坐标，再代入直线，求出的值即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换及一次函数的性质，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过点作于，
四边形是菱形，且，，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
先由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由锐角三角函数的定义即可得出答案．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
故选：．
因为，是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得的度数，继而求得的度数，又由圆周角定理，可求得的度数．
此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：抛物线与坐标轴有且仅有两个交点，
即与轴有一个交点，与轴一个交点．
令得，
与轴一个交点时，
，
解得，
当与轴有两个交点，且其中一个交点与轴交点相重合时，
此时，
，
故选：．
抛物线必定与轴有一交点，另一交点为轴，根据二次函数与一元二次方程之间的关系求解．
本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点，解题关键是明确抛物线与轴的交点数量借助根的判别式判定．
9.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：小明每次都是沿直线前进米后向左转，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故答案为：．
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以米即可．
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意，，，，
，
，
的边上的高为，
，
故答案为：．
根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
12.【答案】
【解析】解：，都在反比例函数图象上，
点、点在双曲线同一分支上，
又，且，
随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数的增减性可判断的正负性，从而得到的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据两点纵横坐标的大小比较，可得到函数的增减性．
13.【答案】
【解析】解：作，与的延长线交于点，分别过点，点作于点，于点，如图，
，
是的平分线，
，，
，
，
的最小值为的长；
，
，
，
，
，是等腰直角三角形，
，
，
在中，
，
的最小值为，
故答案为：．
作，与的延长线交于点，分别过点，点作于点，于点，推出的最小值为的长，再求出的长即可．
本题考查轴对称变换，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，能用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．
14.【答案】解：原式
．
【解析】先计算负整数指数幂，再化简绝对值，代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、特殊角的函数值及绝对值的意义是解决本题的关键．
15.【答案】解：，
把变形为，
代入得，
解得．
把代入得．
所以方程组的解为：．
【解析】此题用代入法或加减法都可．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键．
16.【答案】解：
．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：点如图所示：

【解析】过点作直线的垂线交于一点，点即为所求．
本题考查了作图，掌握过一点作直线的垂线，掌握作图方法是解题的关键是解题的关键．
18.【答案】证明：，
，，
．
，
在和中，
，
≌．
．
【解析】首先根据平行线的性质可得，，再由可得，再利用证明≌，进而证明即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19.【答案】
【解析】解：如图，为所作；
如图，四边形为平行四边形，点坐标为，
平行四边形的面积．
故答案为：．
根据关于轴对称的点的坐标得到点、、的坐标，然后描点即可；
平移是点与重合，则点的对应点为，从而得到点坐标，然后用一个矩形的面积分别减去个直角三角形的面积去计算平行四边形的面积．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
20.【答案】
【解析】解：转盘被分成的面积相等的三个扇形，分别为红色、黄色、蓝色，
若转动一次盘，则指针指向红色的概率是，
故答案为：；
列表如下：
红 黄 蓝
红 红，红 红，黄 红，蓝
红 红，红 红，黄 红，蓝
黄 黄，红 黄，黄 黄，蓝
蓝 蓝，红 蓝，黄 蓝，蓝
共有种等可能的结果，其中指针指向的两种颜色恰好配成紫色的结果有种，
指针指向的两种颜色恰好配成紫色的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中指针指向的两种颜色恰好配成紫色的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：，米，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
由题意得：，，，
，
∽，
，
，
解得：，
，
解得：，
米，
古塔的高为米．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据题意可得：，，，从而可得，进而可得∽，最后利用相似三角形的性质进行计算可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】；
小刚从图书馆返回家的时间：，
总时间：，
设小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式为，
把，代入得：
，解得，
；
小刚出发分钟时，即当时，
．
答：此时他离家．
【解析】解：由题意得，小刚家与学校的距离为，
小刚骑自行车的速度为：，
故答案为：；；
根据函数图象和题意可以求得小刚家与学校的距离为，小刚骑自行车的速度为；
先求出小刚从图书馆返回家的时间，进而得出总时间，再利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
把代入的结论解答即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用该数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
23.【答案】
【解析】解：这次被抽检的电动汽车共有：辆，
所占的百分比为：，所占的百分比为：，
所占的百分比为：，
等级电动汽车的辆数为：辆，
补全统计图如图所示：
辆电动汽车中，第，辆电动汽车均落在等级，
的圆心角度数，
故答案为：，；
这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为：
千米，
估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为千米．
根据条形统计图和扇形图可知，将一次充电后行驶的里程数分为等级的有辆电动汽车，所占的百分比为，用即可求出电动汽车的总量；分别计算出、所占的百分比，即可得到所占的百分比，即可求出的电动汽车的辆数，即可补全统计图；
直接根据中位数的定义即可求解，用等级所占的百分比乘以可得等级对应的扇形的圆心角；
用总里程除以汽车总辆数，即可解答．
本题考查条形统计图；扇形统计图；加权平均数，正确提取信息是解题的关键．
24.【答案】证明：，
，
，
，
与相切于点，点在上，点在上，
，
，
，
是的直径，
，
，
．
解：，，
，
，，
∽，
，
，，
，
的长是．
【解析】由，得，而，则，由切线的性质得，则，由是的直径得，则，所以；
由，，得，再证明∽，得，则，，所以．
此题重点考查直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、切线的性质、等角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长是解题的关键．
25.【答案】解：边长为分米，最高点到的距离为分米．
点的坐标为，
根据抛物线的对称性可知：顶点的坐标为，
设这个抛物线的解析式为：，
将点代入，得：，解得：，
抛物线的解析式为：，
能够实现，点的坐标为：．
点在抛物线上，
可设点的坐标为，
连接交于点，如图：
四边形为正方形，
，，
为抛物线的对称轴，点的坐标为，
点的坐标为，
，，
，
整理得：，
解得：或不合题意，舍去，
当时，，
点的坐标为．
【解析】先根据已知条件求出点，顶点，然后可设抛物线的解析式为，再将点代入之中求出即可得出抛物线的解析式；
设点的坐标为，连接交于点，由正方形的性质得，，再根据为抛物线的对称轴得点，由此可求出，，然后根据得，由此解出即可得到点的坐标．
此题主要考查了二次函数的应用，解答此题的关键是熟练掌握的待定系数法求二次函数的解析式；理解正方形的对角线互相垂直平分且相等．
26.【答案】
【解析】问题提出
解：，
，
，
，
故答案为：；
问题探究
解：如图，
设，交于点，，交于点，作于，
、、、分别为、、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，
，
，
；
问题解决
解：如图，
延长，，交于，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，
可设，，
，
，
，
当米时，平方米．
问题提出
由得出，进一步得出结果；
问题探究
根据三角形中位线性质可得出，，，，从而得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而，进一步得出结果；
问题解决
延长，，交于，可得出四边形是矩形，设，，表示出和的面积，进而表示出四边形的面积，配方后求出结果．
本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是设变量，建立函数关系式．
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