2022-2023学年山西省晋中市平遥县重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山西省晋中市平遥县重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2. 地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市文化的缩影，下列图案分别为北京，上海，深圳，太原四个城市的地铁标志，其中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 我国第七次人口普查数据结果公布了，数据显示，全国人口共万人，相比于第六次人口普查，增加了万人这个数据结果也表明我国人口在这年来保持低速增长态势其中数据万用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是( )
A.
B.
C.
D.
5. 某商场把一个双肩包按进价提高标价，然后按八折出售，这样商场每卖出一个书包仍可盈利元．设每个双肩书包的进价是元，根据题意列一元一次方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6. “数形结合”是我们解决问题常用的一种数学思想，请根据图象，可得关于的不等式的解集是( )
A.
B.
C.
D.
7. 小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边，在同一条直线上，现将三角板绕点顺时针旋转，当第一次与平行时，的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8. 公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂当用撬棍撬动一块石头时，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂，下列说法错误的是( )
A. 与的积为定值
B. 随的增大而减小
C. 当为时，撬动石头至少需要的力
D. 关于的函数图象位于第一、第三象限
9. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点若，，则的长度是( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：______．
12. “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是和，则飞镖投到小正方形阴影区域的概率是______．
13. 如图是甲、乙两名射击运动员次射击训练成绩的统计图，如果甲、乙这次射击成绩的方差为，，那么 填“”，“”或“”
14. 如图，中，弦于，若，的半径等于，则弧的长为______ 结果保留
15. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，连接，反比例函数的图象经过点，点是该反比例函数图象上任意一点，若的面积等于，则点坐标为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：；
解不等式组：，并写出它的整数解．
17. 本小题分
已知：如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，，求证：．
18. 本小题分
小明的爸爸在小区开了一个文具店，准备购进甲、乙两种钢笔进行销售，经过市场调查，两种钢笔每支进价和利润列出下表：
甲钢笔 乙钢笔
每支进价元
每支利润元
已知花费元购进甲钢笔的数量和花费元购进乙钢笔的数量相等．
求甲，乙两种钢笔每支进价分别为多少元？
本月社区组织“全民书写规范字”大赛，文具店准备拿出元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的倍请你帮小明爸爸分析一下，如何进货能使利润最大，最大利润是多少元？
19. 本小题分
为增强学生爱国意识，激发爱国情怀，某校月开展了“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：主题征文，书法绘画，红歌传唱，经典诵读为了解最受学生喜爱的活动方式，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
参与此次抽样调查的学生人数是 ，扇形统计图中部分圆心角的度数是 ；
学校从班，班，班，班中随机选取两个班参加“红歌传唱”的活动，求恰好选中班和班的概率．
20. 本小题分
有一块矩形板材需要加工，如图所示，矩形中，，，现要在边上确定一点作为切割点请你帮忙完成以下任务．
利用尺规在边上求作点，使得不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若连结，过点作，垂足为，需要在矩形板材按以上操作下裁掉四边形，求完成裁剪的切割线的长．
21. 本小题分
下表是小明进行数学学科项目化学习时候的记录表，填写活动报告的部分内容．
项目主题：测量河流的宽度．
项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些工具，比如：小镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模板各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出河流的宽度．
项目成果：下面是小明进行交流展示的部分测量方案及测量数据：
题目 测量河流宽度
目标示意图
测量数据 ，，
如果你参与了这个项目学习，请你完成下列任务．
任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度；
任务二：请你写出这个方案中求河流的宽度时用的数学知识______ ；写出一个即可
任务三：请你设计一个测量方案，简要说明一下．
22. 本小题分
【问题呈现】如图，和都是等边三角形，连接，请判断与的数量关系：______ ．
【类比探究】如图，和都是等腰直角三角形，连接，请写出与的数量关系：______ ．
【拓展提升】如图，和都是直角三角形，，且连接，．
求的值；
延长交于点，交于点求的值．
23. 本小题分
综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在点的左侧，与轴交于点，且点的坐标为．
求点的坐标；
如图，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
如图，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
，
则最小的数为：，
故选：．
正数负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案．
本题考查有理数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】
【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，
连接，作出、的垂直平分线，其交点即为圆心．
点的坐标为，
该圆弧所在圆的圆心坐标是．
故选：．
连接，作出、的垂直平分线，其交点即为圆心．
此题主要考查了垂径定理，根据线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等，找到圆的半径，半径的交点即为圆心是解题关键．
5.【答案】
【解析】解：设每个双肩背书包的进价是元，根据题意得：
．
故选：．
首先根据题意表示出标价为，再表示出售价为，然后利用售价进价利润即可得到方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程．
6.【答案】
【解析】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
关于的不等式的解集是．
故选：．
直接根据一次函数的图象即可得出结论．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作直线，
由题意得，，，，
，，
，
，，
，
．
故选：．
当第一次与平行时，过点作直线，则，由平行线的性质可得，，进而得到，再利用平角的定义即可求解．
本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．平行线性质定理：定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
8.【答案】
【解析】解：阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别为和，
动力和动力臂的关系式为：，即与的积为定值，故选项A不合题意；
，
，故F随的增大而减小，故此选项B不合题意；
当为时，撬动石头至少需要的力，故此选项C不合题意；
，
关于的函数图象位于第一象限，故选项D符合题意．
故选：．
根据杠杆平衡条件：动力动力臂阻力阻力臂，代入有关数据计算即可．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出反比例函数解析式是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：由作法得，则，
，
在中，．
故选：．
利用基本作图得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
10.【答案】
【解析】解：
，
故选：．
根据计算即可．
本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：直角三角形的两条直角边的长分别是和，则小正方形的边长为，根据勾股定理得大正方形的边长为，，针扎到小正方形阴影区域的概率是．
首先确定小正方形的面积在大正方形中占的比例，根据这个比例即可求出针扎到小正方形阴影区域的概率．
本题将概率的求解设置于“赵爽弦图”的游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．易错点是得到两个正方形的边长．
13.【答案】
【解析】解：由图中知，甲的成绩为，，，，，，，，，，
乙的成绩为，，，，，，，，，，
，
，
甲的方差，
乙的方差，
，
故答案为：．
从统计图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算．
本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
，
，
，
由圆周角定理得，，
弧的长．
故答案为：．
连接、，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，掌握弧长公式是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：点关于轴的对称点为点，
点，
把代入得，
反比例的函数解析式为，
设，
轴，
，
解得或，
点坐标为或 ，
故答案为：或 ．
利用关于轴对称的点的坐标特征得到点，然后把点坐标代入可得到的值，设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出即可得到点坐标．
本题考查了反比例函数图象上点得坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式．
16.【答案】解：原式
；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、、、．
【解析】先计算零指数幂、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
【解析】欲证明，只要证明≌；
本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：由题意可得，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲，乙两种钢笔每支进价分别为元、元；
设利润为元，甲种钢笔笔购进支，
，
，
随的增大而增大，
购进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的倍，
，
解得，
为整数，
当时，取得最大值，此时，，
答：该文具店购进甲种钢笔支，乙种钢笔支时，能使利润最大，最大利润是元．
【解析】根据花费元购进甲钢笔的数量和花费元购进乙钢笔的数量相等，可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲，乙两种钢笔每支进价分别为多少元；
根据题意，可以得到利润与购进甲种钢笔数量的函数关系，然后根据要求购进甲种钢笔的数量不超过乙种钢笔数量的倍，可以得到购进甲种钢笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
19.【答案】解：， ；
将班，班，班，班分别记为，，，，
根据题意，列表如下：
如表，所有可能发生的结果共有种，并且它们发生的可能性相等，其中恰好选中班和班的有种，
恰好选中班和班的概率是．
【解析】解：参与此次抽样调查的学生人数是：人，
类的人数有：人，
扇形统计图中部分圆心角的度数是：；
故答案为：；．
见答案。
根据部分的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用乘以部分的人数所占的百分比，即可得出扇形统计图中部分圆心角的度数；
根据题意画出图表，得出所有等可能的情况数，找出恰好选中班和班的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：如图，点即为所求；
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
≌，
，，
切割线的长．
【解析】以为圆心，为半径作弧交与点，点即为所求；
证明≌，可得结论．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】相似三角形的对应边成比例
【解析】解：任务一：由题知，
∽．
，
又，，，
，
解得．
故河流的宽度为．
任务二：本题利用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识．
任务三：在河对岸找一个参照物，站在的正对面的位置，沿着河岸向东走一段距离，到达处，继续向东行走到处，使得，再沿着与河岸垂直的位置行走，当走到与、共线时停下，位置记为，这时的长度即表示河流的宽度．
任务一：利用相似三角形的对应边成比例，可求出的长；
任务二：用了“相似三角形的对应边成比例”这一数学知识；
任务三：除了利用相似来测量河的宽度，我们还可以利用全等来测量．
本题考查了用相似三角形解决实际问题，找准相似三角形，利用对应边成比例建立等量关系是解题的关键．
22.【答案】 或
【解析】解：和都是等边三角形，
，
，
在，中，
，
≌，
，
故答案为：．
结论：或，理由如下：
和都是等腰直角三角形，，
，
，
，且，
∽，
，
或，
故答案为：或；
，，
∽，
，即，
，
设，，
在中，，
同理，在中，设，，则，
，，即，
∽，
；
由得：∽，
，
，
∽，
，
，
在中，
，
．
根据等边三角形的性质，证明≌，即可得解；
根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明∽，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解；
根据，，可证∽，可得，在中，求出，在中，求出，再证∽，根据相似三角形的性质即可求解；
由得：∽，由此可证∽，得，在中，根据余弦的计算方法即可求解．
本题主要考查等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形，全等三角形，相似三角形的综合，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】解：点在抛物线的图象上，
，
抛物线，
令，得，
解得：或，
点的坐标为；
由知，抛物线的表达式为：，
令，解得：或，
故点；
过作于点，过点作轴交于点，如图：
，，
，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
，
直线解析式为，
设，，则，
，
，
当时，的最大为，
，
此时最大为，即点到直线的距离值最大；
存在，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设点的坐标为，点的坐标为，
分三种情况：当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，
则，解得：，
点的坐标为；
当为平行四边形对角线时，
则，
解得：，
点的坐标为；
综上，点的坐标为：或或．
【解析】用待定系数法即可求解；
证明是等腰直角三角形，则，即可求解；
当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解．
本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．
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