2022-2023学年广东省深圳市重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下面的几何体中，主视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
3. 深圳年市地区生产总值约为亿元，用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 某班进行演讲比赛，其中人的成绩如下：，，，，，单位：分，则下列说法不正确的是( )
A. 这组数据的众数是分 B. 这组数据的方差是
C. 这组数据的平均数是分 D. 这组数据的中位数是分
5. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
7. 一元一次不等式组解集为( )
A. B.
C. D.
8. 下列命题中真命题是( )
A. 平分弦的直径必垂直于弦
B. 有一组邻边相等的四边形为菱形
C. 关于轴的对称点为
D. 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
9. 九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元，问组团人数和物价各是多少？若设人参与组团，物价为元，则以下列出的方程组正确的是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，，交的延长线于点连接交于点，交于点于点，连接有下列结论：；；：：；，则上述结论中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式：______．
12. 欢欢考试需要复习语文、数学和英语三科，现在需要安排科目顺序，从前到后的顺序恰好为“数学、英语、语文”的概率是______ ．
13. 如图，在中，，，按以下步骤作图：以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，交于点若点到的距离为，则的长为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在第一象限内，顶点在轴上，经过点的反比例函数的图象交于点若，平行四边形的面积为，则的值为______ ．
15. 如图，在中，，点是上的一点，，，且，连接交的延长线于点，，则 ______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算：．
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
月日是“世界献血日”，某市组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“型”、“型”、“型”、“型”种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
血型
人数 ______ ______
这次随机抽取的献血者人数为______人，______；
本次抽取的样本中，型部分所占的圆心角的度数是______；
若这次活动中该市有人义务献血，请你根据抽样结果估计这人中大约有多少人是型血？
19. 本小题分
如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．
求证：；
若，，求的长．
20. 本小题分
某公司根据市场需求代理甲，乙两种型号的电脑，每台甲型电脑比每台乙型电脑进价多元，用万元购进甲型电脑与用万元购进乙型电脑的数量相等．
求每台甲型、乙型平板的进价各是多少元？
该公司计划购进甲、乙两种型号的电脑共台进行试销，其中甲型电脑为台，购买资金不超过万元并且甲型电脑不少于乙型电脑的倍，试销时甲型电脑每台售价元，乙型电脑每台售价元，问该公司应如何购进甲、乙两种型号的电脑使得销售完后获得的利润最大？
21. 本小题分
小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象请根据函数图象，回答下列问题：
观察探究：
写出该函数的一条性质：______ ；
方程的解为：______ ；
若方程有四个实数根，则的取值范围是______ ．
延伸思考：
将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？写出平移过程，并直接写出当时，自变量的取值范围．
22. 本小题分
如图，在中，，，点为的中点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，且交线段于点，的平分线交于点．
如图，若，则线段与的数量关系是______ ， ______ ；
如图，在的条件下，过点作交于点，连接，．
试判断四边形的形状，并说明理由；
求证：；
如图，若，，过点作交于点，连接，，请直接写出的值用含的式子表示．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的绝对值是：．
故选：．
直接利用绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确把握定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：长方体的主视图是长方形，因此选项A不符合题意；
B.圆锥的主视图是三角形，因此选项B符合题意；
C.圆柱的主视图是长方形，因此选项C不符合题意；
D.三棱柱的主视图是长方形中间带有一条竖线，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据每个选项中的几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的主视图，掌握各种几何体的主视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用移动小数点的方法确定值，根据整数位数减一原则确定值，最后写成的形式即可．
本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定，运用整数位数减去确定值是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：这组数据从大到小排列为，，，，，，分出现次数最多，则这组数据的众数是分，故A选项正确，不符合题意；
处于中间的两个数是，，则这组数据的中位数是分，故D选项错误，符合题意；
这组数据的平均数为，故C选项正确，不符合题意；
方差为，故B选项正确，不符合题意；
故选：．
根据平均数、众数、中位数和方差的定义分别计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数和方差的定义．
5.【答案】
【解析】解：、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意；
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方、幂的乘方运算法则、完全平方公式分别计算得出答案．
此题考查同底数幂的乘法运算以及积的乘方、幂的乘方、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质定理和外角的性质，求出，的度数是解本题的关键．利用三角形的内角和定理可得，，由平行线的性质定理可得，利用三角形外角的性质可得结果．
【解答】
解：如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
故选A．
7.【答案】
【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：．
先解每个不等式的解集，再求两个不等式的解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：、平分弦非直径的直径必垂直于弦，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、有一组邻边相等的平行四边形为菱形，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、关于轴的对称点为，原命题是假命题，本选项不符合题意；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，真命题，本选项符合题意；
故选：．
根据菱形的判定、垂径定理、轴对称和全等三角形的判定判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9.【答案】
【解析】解：设人参与组团，物价为元，由题意可得，．
故选：．
根据等量关系“每人出元，则多了元；每人出元，则少了元”列出方程组即可．
此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据物价得到等量关系是解决本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：在菱形中，，，
又，
≌，
，，故正确；
，
，
，
又，
，
，即，故正确；
在菱形中，，
，
又，
在中，，
，
在菱形中，，
又，
∽，
，
由已证，
设，，
，，
：：，故正确；
由已知，
设，，
，
在中，，
在中，，，
在中，，，
，
在中，，
又由已证，，：：，
设，，则，
，解得负值舍去，
，
，故正确，
故选：．
利用菱形的性质和全等三角形的判定证明，证明∽，从而证明，由含直角三角形的性质和相似三角形的性质分析求解，从而证明和．
本题考查菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理以及解直角三角形，题目有一定难度，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
，
．
故答案为：．
观察原式，找到公因式，提出公因式后发现是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法完全平方公式要求灵活运用各种方法进行因式分解．
12.【答案】
【解析】解：画树形图
由树形图可知所有可能情况共种，其中顺序恰好为“数学、英语、语文”的情况只有种，
所以顺序恰好为“数学、英语、语文”的概率为．
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与顺序恰好为“数学、英语、语文”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：过点作，则，
由题目作图知，是的平分线，
则，
为等腰直角三角形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
由题目作图知，是的平分线，过点作，则，进而求解．
本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
14.【答案】
【解析】解：过点作轴于，过点作轴于，
，
，
，
，即，
设，，则，
平行四边形的面积为，
，
，
∽，
，
，
，
，
，点坐标分别为，
，
，
，
故答案为：．
过点作轴于，过点作轴于，可得，设，，则，根据平行四边形的面积为表示出的长度，根据求出的长，进而表示出，两点的坐标，根据反比例函数系数的几何意义即可求出．
本题主要考查了平行四边形的性质和反比例函数的几何意义，相似三角形的性质和判定，利用数形结合思想是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：在上截取，连接，
，
设，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
故答案为．
在上截取，连接，设，，先证明≌，再证明≌，从而推出，即可求解．
本题考查等腰直角三角形，通过截长线段构造全等三角形，利用全等三角形的性质进行边角转化是解题的关键．
16.【答案】解：
．
【解析】利用有理数的乘方、零指数幂法则、绝对值的意义以及特殊角的三角函数值进行化简即可得到结果．
本题考查有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】
【解析】解：这次随机抽取的献血者人数为人，
所以；
故答案为：，；
型献血的人数为人，
型献血的人数为人，
，
故答案为：；
人，
答：估计这人中大约有人是型血．
用型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算的值；
先计算出型的人数，再计算出型人数，从而可补全上表中的数据；
用样本中型的人数除以得到血型是型的百分比，然后用乘以此百分比可估计这人中是型血的人数．
本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19.【答案】证明：点是的内心，
平分，平分，
，，
又与所对弧为，
．
，，
即，
故DB．
解：，，
∽，
，
，，设，
由可得，
则式化为，
解得：，不符题意，舍去，
则．
【解析】依据三角形内心的性质可得，，由圆周角定理的推论可得从而可证，根据等角对等边即可得结论；
由，，即可判定∽，所以，设，可化为，解得，从而可求的长．
本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
20.【答案】解：设每台乙型电脑的进价为元，则每台甲型电脑的进价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
元．
答：每台甲型电脑的进价为元，每台乙型电脑的进价为元；
设利润是元，购进台甲型电脑，则购进台乙型电脑，
依题意得：，
，
解得：，
由，
，
随值的增大而增大，
当时，利润取得最大值，
最大值元．
答：购进台甲型平板，台乙型平板时利润取得最大，最大利润为元．
【解析】设每台乙型电脑的进价为元，则每台甲型电脑的进价为元，利用“用万元购进甲型电脑与用万元购进乙型电脑的数量相等”构建分式方程，解之即可得到答案；
由题意：购买资金不超过万元，并且甲型电脑不少于乙型电脑的倍，列出一元一次不等式组，解得，然后由一次函数的性质即可得出的最大值．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
21.【答案】函数关于轴对称
或或
将函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位可得到函数的图象，
当时，自变量的取值范围是．

【解析】解：观察探究：
该函数的一条性质为：函数关于轴对称；
方程的解为：或或；
若方程有四个实数根，则的取值范围是．
故答案为函数关于轴对称；或或；．
见答案
根据图象即可求得；
根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，根据图象即可得到结论．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】解：在中，，点为的中点，
，
，
，是等边三角形，
，
，
，
．
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，
故答案为：；．
四边形是正方形，理由如下，
平分，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
菱形是正方形．
由可知，，，，
，，
，
，
，，
，
，
由知，，
，
，，
∽，
，
，，
．
如图，过点作于点，
，
，
是等边三角形，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
平分，，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
．
【解析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到，根据旋转的性质可以得到，则；又在中，含的直角三角形边之间的关系可得结论；
由，得，又，则四边形是菱形，又，可得结论：菱形是正方形．
由题意可得，，，则∽，又，，所以．
过点作于点，由，得，所以，又∽，所以．
本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含的直角三角形的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到∽是解题关键．
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