2022-2023学年山东省青岛市高新区重点学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省青岛市高新区重点学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 我国脱贫攻坚战取得了全面胜利万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消灭绝对贫困的艰巨任务，把“万”用科学记数法表示应是( )
A. B. C. D.
2. 下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3. 如图，在下面四种用相同的正方体储物箱堆放在一起的形态中，主视图与左视图不相同的是( )
A. B.
C. D.
4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5. 下列计算正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 年某电影上映的第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点，的坐标分别为，，则的值为( )
A. B. C. D.
8. 如图，与的边相切，切点为，将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点，若，则为( )
A. B. C. D.
9. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10. 如图，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接给出以下结论：；四边形是菱形；；当，时，的长为，其中正确的结论个数是( )
A. B. C. D.
二、解答题（本大题共16小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
11. 本小题分
计算：．
12. 本小题分
甲、乙两名运动员的次射击成绩单位：环如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为，，射击成绩的方差依次记为，则 ______ ， ______ 均填“”、“”或“”
13. 本小题分
青岛市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了任务，设原计划每天绿化的面积为万平方米，则可列方程为______ ．
14. 本小题分
如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点，连接，若，则的值为______ ．
15. 本小题分
如图，在扇形中，，，交于点，过点作的垂线，交于点若，则图中阴影部分的面积之和为______ ．
16. 本小题分
如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：；；方程有两个相等的实数根；；当时，有其中正确的有：______ 填序号
17. 本小题分
已知：．
求作：，其中为的中点，且与直线相切．
18. 本小题分
计算：；
解不等式组：；
19. 本小题分
小明和小丽在做一个“配紫色”游戏：一个不透明的袋子中装有个白球，个蓝球和个红球，它们除颜色外都相同．从中摸出个球，若一个是红色，一个是蓝色，则可以配成紫色，游戏获胜、搅匀后，小明从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球；搅匀后，小丽从中任意摸出个球不放回，再从余下的个球中任意摸出个球．这个游戏公平吗？为什么？
20. 本小题分
如图，河南某建筑物上挂着“皇帝故里、天地之中”的宣传条幅，勘测队利用测倾器在斜坡的底部处测得条幅底部的仰角为沿斜坡走到处测得条幅顶部的仰角为，已知斜坡的坡度：，，点，，，在同一平面内，，测倾器的高度忽略不计，求条幅的长度约为多少米？参考数据：，，，，，
21. 本小题分
学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了名学生，进行了相关测试，获得了他们的成绩单位：分，并对数据成绩进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
信息：名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下数据分成组：，，，，，；
信息：所抽取的名学生中，各年级被抽取学生的人数及测试成绩的平均数如下表：
年级 七 八 九
相应人数
平均数
信息：测试成绩在这一组的是：，，，，，，，，，，，根据以上信息回答下列问题：
抽取的名学生测试成绩的中位数为______；
测试分及以上记为优秀，若该校初中三个年级名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
求被抽取名学生的平均测试成绩．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于，两点，连接，的面积为．
求一次函数与反比例函数的解析式．
当时，求的取值范围．
若为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
23. 本小题分
如图，个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为，，的面积为．
【规律探究】：
探究一 探究二 探究三
，
：：，
______ ． ：：，
：：，
______ ， ______ ． ：：，
：：，
______ ， ______ ．
【结论归纳】
______ 用含的式子表示
24. 本小题分
如图，在 中，、分别是、的中点，、、是对角线的四等分点，顺次连接、、、．
求证：≌；
已知，，求证：四边形是正方形．
25. 本小题分
如图，在水平地面点处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为有人在直线上点靠点一侧竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计．
如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；
如果竖直摆放个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？
26. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
求这个二次函数的解析式；
当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
连接，，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：左起第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
所以既是中心对称图形又是轴对称图形的有个．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】解：、主视图和左视图都相同，底层为三个小正方形，中层和上层的左边分别是一个小正方形，故本选项不合题意；
B、主视图和左视图相同，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
C、主视图和左视图相同，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项不合题意；
D、主视图底层是三个小正方形，上层的左边是两个小正方形；左视图底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符号题意；
故选：．
根据主视图是从正面看到的图形，可得主视图，从左面看到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图．
4.【答案】
【解析】解：是一元二次方程，
，
方程有两个相等的实数根，
，
解得或，
．
故选：．
由已知先确定，再由方程根的情况，利用根的判别式，求解即可．
本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
算式不符合题意；
，
算式符合题意；
，
算式不符合题意；
，
算式符合题意，
计算正确的有个，
故选：．
运用同底数幂相乘、积的乘方、合并同类项及算术平方根的知识进行计算、辨别．
此题考查了整式运算和算术平方根的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6.【答案】
【解析】解：某电影上映的第一天票房为亿元，且平均每天票房的增长率为，
该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元．
根据题意得：．
故选：．
根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，结合三天累计票房为亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：、两点的坐标分别为，，点，的坐标分别为，，
线段向右平移个单位，向上平移了个单位得到线段，
点，的坐标分别为，，
，故B正确．
故选：．
根据点、平移后横纵坐标的变化可得线段向右平移个单位，向上平移了个单位，然后再确定、的值，进而可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
8.【答案】
【解析】解：与的边相切，
，
，
连接，如图，
绕点按顺时针方向旋转得到，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据切线的性质得到，连接，如图，再根据旋转的性质得，，，则判断为等边三角形得到，所以，然后利用三角形外角性质计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了旋转的性质．
9.【答案】
【解析】解：二次函数，
对称轴为直线，
一次函数，
当，则，
直线与二次函数的对称轴交于轴上同一点，
故A、、不合题意，
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项正确；
故选：．
求得抛物线的对称轴和直线与轴的交点即可判断、、不合题意，然后根据中二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出，，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据抛物线的对称轴、直线与轴的交点以及函数图象经过的象限判断是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
．
由翻折的性质可知：，，，
．
故正确；
．
四边形为菱形，故正确；
如图所示：连接，交于点．
四边形为菱形，
，．
，，
∽．
，即．
，，
故错误；
如图所示：过点作，垂足为．
，，，
，整理得：．
解得：或舍去．
，，
，
，，
．
∽．
，即，
，
，故正确，
故选：．
先依据翻折的性质和平行线的性质证明，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明，连接，交于点由菱形的性质可知，，接下来，证明∽，由相似三角形的性质可证明，于是可得到、、的数量关系，过点作，垂足为利用的结论可求得，然后再中依据勾股定理可求得的长，然后再证明∽，利用相似三角形的性质可求得的长，最后依据求解即可．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得的长是解答问题的关键．
11.【答案】解：原式
．
【解析】依据题意，由二次根式的乘除法法则进行计算可以得解．
本题主要考查了二次根式的乘除法，解题时要熟练运用法则并准确计算．
12.【答案】
【解析】解：；
；
；
；
，，
故答案为：，．
分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．
本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】
【解析】解：实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，且原计划每天绿化的面积为万平方米，
实际每天绿化的面积为万平方米．
根据题意得：．
故答案为：．
根据时间与原计划工作效率间的关系，可得出实际每天绿化的面积为万平方米，利用工作时间工作总量工作效率，结合时间比原计划提前天完成了任务，即可列出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
因为反比例函数的图象在第二象限，
所以，
故答案为：．
设交轴于点，根据反比例函数值的几何意义，求出三角形的面积即可导出值．
本题考查了反比例函数值的几何意义，图象上点的坐标之积等于值．
15.【答案】
【解析】解：连接，过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
图中阴影部分的面积之和
．
故答案为：．
连接，过点作于，证明和是等腰直角三角形，利用勾股定理可得和，的长，最后运用面积差可得结论．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及应用求不规则图形面积的方法进行求解是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：抛物线对称轴为直线，
，
，故正确；
抛物线开口向下，与轴相交于正半轴，
，，
，
，故错误；
抛物线的顶点坐标，
方程有两个相等的实数根，故正确；
由抛物线对称性，与轴的一个交点，则另一个交点坐标为，
当时，，
，
，故错误；
由图象可知，当时，，故正确．
故答案为：．
根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
17.【答案】解：如图，即为所求．

【解析】作的垂直平分线找到的中点，过点作直线的垂线，垂足为，以点为圆心，长为半径作即可．
本题考查了作图复杂作图，切线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18.【答案】解：原式
．
由题意，，
由得，；由得，．
原不等式组的解集为：．
【解析】依据题意，根据分式的混合运算法则进行计算可以得解；
依据题意，由一元一次不等式组的解法进行计算即可得解．
本题主要考查了分式的混合运算及解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
19.【答案】解：不公平，理由如下：
小明摸球情况列表如下：
白 蓝 红 红
白 白，白 蓝，白 红，白 红，白
蓝 白，蓝 蓝，蓝 红，蓝 红，蓝
红 白，红 蓝，红 红，红 红，红
红 白，红 蓝，红 红，红 红，红
由表知，共有种等可能结果，其中小明能配成紫色的有种结果，
所以小明获胜的概率为；
小丽摸球情况列表如下：
白 蓝 红 红
白 蓝，白 红，白 红，白
蓝 白，蓝 红，蓝 红，蓝
红 白，红 蓝，红 红，红
红 白，红 蓝，红 红，红
由表知，共有种等可能结果，其中小丽能配成紫色的有种结果，
所以小丽获胜的概率为，
，
此游戏不公平．
【解析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式分别计算出两人获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：在中，，，
，
，
，
在中，
，，
．
在中，，
，
，
，
，
，
条幅的长度的为．
【解析】在中，根据坡度的定义得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角函数的定义得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：由题意可知，抽取的名学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别、，故中位数为，
故答案为：；
人；
答：该校初中三个年级名学生中优秀的学生约为人；
分，
答：被抽取名学生的平均测试成绩为分．
根据中位数的定义直接求解即可；
用样本估计总体即可；
利用加权平均数公式计算即可．
本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数．
22.【答案】解：一次函数与坐标轴分别交于，两点，
，解得．
一次函数的解析式为：．
的面积为，
，
，
点在一次函数图象上，
令解得，
点在反比例函数的图象上，
．
一次函数的解析式为：反比例函数的解析式为：．
令，解得或，
，
由图象可知，当时，的取值范围为：或．
如图，作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，
，
直线的解析式为：．
令，解得．
．
．
当最小时，的面积为．
【解析】根据待定系数法可求出直线的解析式，根据的面积可得出点的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点的坐标，结合图象可直接得出的取值范围；
作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
23.【答案】
【解析】解：个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，则，，，在一条直线上，作出直线．
探究一：
，
，
，
是等边三角形，且边长，
∽，
：：，
，
探究二：
同理：：：，
：：，
，；
探究三：
同理：：：，
：：，
，，
结论归纳：
：：，
：：，
．
故答案为：；；；；；．
由个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，则，，，在一条直线上，可作出直线求得的面积，然后由相似三角形的性质，求得的值，同理求得的值，继而求得的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
、分别是、的中点，
，
、、是对角线的四等分点，
，
在与中，
，
≌；
连接，，如图，
、分别是、的中点，、、是对角线的四等分点，四边形是平行四边形，
点是的中点，，
点，，在同一直线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形．
【解析】由平行四边形的性质可得，，从而有，再由中点可得，由四等分点得，利用可判定≌；
连接，，可求得，，在同一直线上，则可求得，再由四等分点可得，则有，即，再由垂直可得，则有，故可判定四边形是正方形．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正方形的判定，解答的关键是明确对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
25.【答案】解：，，，，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点和点，
则，．
即抛物线解析式为；
当时，；当时，．
即，
当竖直摆放个圆柱形桶时，桶高．
且，
网球不能落入桶内；
设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内，
由题意，得，，
解得：；
为整数，
的值为，，，，．
当竖直摆放圆柱形桶至多个时，网球可以落入桶内．
【解析】以抛物线的对称轴为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式；
利用当时，；当时，得出当竖直摆放个圆柱形桶时，得出桶高进而比较；即可得出答案；
由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定的范围，根据为正整数，得出的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．
此题考查了抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．
26.【答案】解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为．
答：二次函数的解析式为．
如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
此时，点的坐标为，的面积的最大值为．
存在．
如图，设点，交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
，
解得，不合题意，舍去，

【解析】利用待定系数法即可求解．
设出点的坐标，作辅助线，表示出三角形和三角形的面积，即可求解．
设出点的坐标，求出的坐标，利用菱形的性质即可求解．
本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，还要牢记菱形的性质：菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等，对于求三角形面积最大值的问题，一般是将三角形分割成两个三角形，即作轴的平行线或轴的平行线，然后再利用面积公式得出一个二次函数，求出顶点的纵坐标即是最大值．
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