模块综合测评(一) 必修2(B版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程是
A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0
解析：设所求直线方程为－2x－y＋m＝0，则－2×(－1)－3＋m＝0，所以m＝1，即－2x－y＋1＝0，故直线方程为2x＋y－1＝0.
答案：B
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. B．3π
C. D．6π
解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V＝×π×12×4＝3π.21·cn·jy·com
答案：B
3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是
A．20π B．25π
C．50π D．200π
解析：设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R＝，所以S球＝4πR2＝50π.
答案：C
4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，设A，B，C，则
A．OA⊥AB B．AB⊥AC
C．AC⊥BC D．OB⊥OC
解析：|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.21教育网
答案：C
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析：A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．2·1·c·n·j·y
答案：D
6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：A
7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝＝，故∠ADE＝60°.2-1-c-n-j-y
答案：C
8．过点M(－2,4)作圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，且直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是 21*cnjy*com
A. B.
C. D.
解析：因为点M(－2,4)在圆C上，所以切线l的方程为(－2－2)(x－2)＋(4－1)(y－1)＝25，即4x－3y＋20＝0.【来源：21cnj*y.co*m】
因为直线l与直线l1平行，所以－＝，即a＝－4，所以直线l1的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直线l1与直线l间的距离为＝.【出处：21教育名师】
答案：D
9．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为【版权所有：21教育】
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
解析：令a＝0，a＝1，得方程组
解得所以C(－1,2)．
则圆C的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案：C
10．设P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上任意一点，则的最小值为
A.＋2 B.－2
C．5 D．6
解析：如图，设A(1,1)，＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r＝－2.
答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC的面积为__________．
解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO＝OC＝1，AO＝2.
∴S△ABC＝BC·AO
＝×2×2
＝2.
答案：2
12．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．21cnjy.com
解析：x＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，
∵kAB＝4，∴y－2＝4(x－1)，
即4x－y－2＝0.
答案：4x－y－2＝0或x＝1
13．与x轴相切并和圆x2＋y2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．
解析：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝，化简得x2＝2|y|＋1.
答案：x2＝2|y|＋1
14．圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线l1：x－y＋4＝0与直线l2：x＋3y＝0都对称，则D＝__________，E＝__________.21世纪教育网版权所有
解析：由题设知直线l1，l2的交点为已知圆的圆心．
由得
所以－＝－3，D＝6，－＝1，E＝－2.
答案：6；－2
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)直线l经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．www.21-cn-jy.com
解：∵直线l过P(2，－5)，
∴可设直线l的方程为y＋5＝k·(x－2)，
即kx－y－2k－5＝0.(2分)
∴A(3，－2)到直线l的距离为
d1＝＝.
B(－1,6)到直线l的距离为
d2＝＝.(6分)
∵d1∶d2＝1∶2，∴＝.
化简得k2＋18k＋17＝0.(10分)
解得k1＝－1，k2＝－17.
∴所求直线方程为x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0.(12分)
16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．
(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；
(2)求点E到平面PBC的距离．
(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，www-2-1-cnjy-com
∴OE∥PC.(2分)
又PC⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又OE?平面EBD，
∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)
(2)解：∵OE∥PC，PC?面PBC，而OE?面PBC，∴OE∥面PBC，
∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．
过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC∩面ABCD＝BC，
∴OG⊥面PBC，即线段OG的长度为点O到平面PBC的距离．(8分)
在菱形ABCD中，
∵∠ABC＝120°，
∴∠BCD＝60°，
∴△BCD为正三角形，且BC＝a，由余弦定理可得AC＝a，
∴OB＝，OC＝a.(10分)
在Rt△BOC中，OG·BC＝OB·OC，
即OG·a＝·a，
∴OG＝a.
即E到平面PBC的距离为a.(12分)
17．(12分)已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．21·世纪*教育网
解：设C的坐标为(3a，a)，则圆C的半径为r＝|3a|.C到y＝x的距离d＝＝|a|.
由题意有：r2－d2＝()2，得a＝±1.
故C(3,1)或C(－3，－1)．
所以圆C的方程为：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点O、E分别是A1C1、AA1的中点，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2.
(1)证明：OE∥平面AB1C1；
(2)求异面直线AB1与A1C所成的角；
(3)求A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值．
(1)证明：∵点O、E分别是A1C1、AA1的中点，
∴OE∥AC1，
又∵EO?平面AB1C1，AC1?平面AB1C1，
∴OE∥平面AB1C1.(4分)
(2)解：∵AO⊥平面A1B1C1，
∴AO⊥B1C1，
又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝O，
∴B1C1⊥平面A1C1CA，
∴A1C⊥B1C1.
又∵AA1＝AC，
∴四边形A1C1CA为菱形，
∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，
∴A1C⊥平面AB1C1，
∴AB1⊥A1C，即异面直线AB1与A1C所成的角为90°.(9分)
(3)解：设点C1到平面AA1B1的距离为d，
∴A1C1与平面AA1B1所成角的正弦值为.
(14分)
模块综合测评(二) 必修2(B版)
(时间：90分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．如图所示，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(左视时沿AB方向)是www.21-cn-jy.com
A B
C D
解析：几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影．
答案：D
2．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是21·世纪*教育网
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：根据“斜二测画法”可得BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝.
故原△ABC是一个等边三角形．
答案：C
3．已知直线l的倾斜角为α，若cosα＝－，则直线l的斜率为
A. B.
C．－ D．－
解析：由cosα＝－得sinα＝，所以tanα＝－，即直线l的斜率为－.
答案：C
4．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
C. D．(6，－5,11)
解析：设点A关于点(0,1，－3)的对称点的坐标为A′(x0，y0，z0)，则∴
∴A′(－3,4，－10)．
答案：A
5．已知平面α，β和直线a，b，若α∩β＝l，a?α，b?β，且平面α与平面β不垂直，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则
A．直线a与直线b可能垂直，但不可能平行
B．直线a与直线b可能垂直，也可能平行
C．直线a与直线b不可能垂直，但可能平行
D．直线a与直线b不可能垂直，也不可能平行
解析：①当a∥l；b∥l时，a∥b；②当a与b在α内的射影垂直时a与b垂直．
答案：B
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：因为MN⊥DC，MN⊥MC，
所以MN⊥面DCM.
所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1，
所以AD1⊥DM.
答案：D
7．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是
A．2 cm3 B．4 cm3
C．6 cm3 D．12 cm3
解析：由三视图知该几何体为三棱锥，它的高等于2，底面是等腰三角形，底边边长等于3，底边上的高为2，所以几何体的体积V＝××3×2×2＝2(cm3)．【来源：21·世纪·教育·网】
答案：A
8．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx－2y＝0的两个交点恰好关于y轴对称，则k＝
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由
得(1＋k2)·x2＋kx－1＝0，
∵两交点恰好关于y轴对称．
∴x1＋x2＝－＝0.
∴k＝0.
答案：A
9．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为www-2-1-cnjy-com
A. B.
C. D.
解析：如图所示，连接OA，OB(O为球心)．
∵AB＝2，
∴△OAB为正三角形．
又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC为直径，
∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．
∴BO⊥SC，AO⊥SC.
又AO∩BO＝O，
∴SC⊥面ABO.
∴VS－ABC＝VC－OAB＋VS－OAB
＝·S△OAB·(SO＋OC)
＝××4×4
＝，故选C.
答案：C
10．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是
A．[－1,1＋2] B．[1－2，1＋2]
C．[1－2，3] D．[1－，3]
解析：曲线y＝3－表示圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y＝x＋b经过点(0,3)时，b取最大值3，当直线与半圆相切时，b取最小值，由＝2?b＝1－2或1＋2(舍)，故bmin＝1－2，b的取值范围为[1－2，3]．21cnjy.com
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝__________.21·cn·jy·com
解析：由于两直线平行，所以＝≠，
∴m＝4.
答案：4
12．将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为__________．2·1·c·n·j·y
解析：原正四面体的表面积为4×＝9，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少4×2×＝2，故所得几何体的表面积为7.2-1-c-n-j-y
答案：7
13．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，另一顶点C的轨迹方程是__________． 21*cnjy*com
解析：设点C的坐标为(x，y)，
则由|AB|＝|AC|得
＝，
化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.
因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．
答案：(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)
14．已知m，l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行α内所有直线；③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；④若l?β，且l⊥α，则α⊥β；⑤若m?α，l?β，且α∥β，且m∥l.21教育网
其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上)．
解析：通过正方体验证．
答案：①④
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)△ABC中，A(0,1)，AB边上的高线方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线方程为2x＋y－3＝0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．
解：由题意知直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为2x－y＋1＝0.
(4分)
直线AB与AC边中线的交点为B，
设AC边中点D(x1,3－2x1)，C(4－2y1，y1)，
∵D为AC的中点，由中点坐标公式得
∴y1＝1，∴C(2,1)，
∴BC边所在的直线方程为2x＋3y－7＝0，
(8分)
AC边所在的直线方程为y＝1.(12分)
16．(12分)如图，在三棱锥S－ABC中，已知点D、E、F分别为棱AC，SA，SC的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC；
(2)若SA＝SC，BA＝BC，求证：平面SBD⊥平面ABC.
证明：(1)∵EF是△SAC的中位线，
∴EF∥AC.
又∵EF?平面ABC，AC?平面ABC，
∴EF∥平面ABC.(6分)
(2)∵SA＝SC，AD＝DC，
∴SD⊥AC，
又∵BA＝BC，AD＝DC，
∴BD⊥AC，又∵SD?平面SBD，BD?平面SBD，SD∩DB＝D，
∴AC⊥平面SBD，(10分)
又∵AC?平面ABC，
∴平面SBD⊥平面ABC.(12分)
17．(12分)已知点P(2,0)，及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时，求直线l的方程；
(2)设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|＝4时，求以线段AB为直径的圆的方程．
解：(1)当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y－0＝k(x－2)，又圆C的圆心为(3，－2)，r＝3，由＝1?k＝－.
(4分)
所以直线l的方程为y＝－(x－2)，即3x＋4y－6＝0，
当k不存在时，l的方程为x＝2，符合题意．
(6分)
(2)由弦心距d＝ ＝，
又|CP|＝，知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4.(12分)
18．(14分)多面体P－ABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求证：PA∥平面EFG；
(2)求三棱锥P－EFG的体积．
(1)证明：方法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH.
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD.(2分)
∵G、H分别为BC、AD的中点，
∴GH∥CD.
∴EF∥GH.
∴E，F，H，G四点共面．(4分)
∵F，H分别为DP、DA的中点，
∴PA∥FH.
∵PA?平面EFG，FH?平面EFG，
∴PA∥平面EFG.(6分)
方法二：∵E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．
∴EF∥CD，EG∥PB.(2分)
∵CD∥AB，
∴EF∥AB.
∵PB∩AB＝B，EF∩EG＝E，
∴平面EFG∥平面PAB.
∵PA?平面PAB，
∴PA∥平面EFG.(6分)
(2)解：由三视图可知，PD⊥平面ABCD，
又∵GC?平面ABCD，
∴GC⊥PD.
∵四边形ABCD为正方形，
∴GC⊥CD.
∵PD∩CD＝D，
∴GC⊥平面PCD.(8分)
∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，
∴S△PEF＝EF·PF＝.(10分)
∵GC＝BC＝1，
∴VP－EFG＝VG－PEF
＝S△PEF·GC
＝××1
＝.(14分)
