课件16张PPT。第二章 二次函数
1 二次函数二次函数的定义及相关概念：
一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=______
______________________的形式，则称y是x的二次函数.其中
__是二次项系数，__是一次项系数，__是常数项.ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)abc【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.y=ax2是二次函数.( )
2.二次函数可以不含常数项.( )
3.函数y=- x2+x-1不是二次函数.( )
4.长方形的长是宽的2倍,设长方形的宽为x,面积为y,则y关于x
的关系式为y=2x2.( )×√×√知识点一 二次函数的定义
【示范题1】如果函数y=(m-3)xm2－3m+2+mx+1是二次函数，求出它的表达式．
【思路点拨】二次函数的定义→确定m的值→确定二次函数的表达式.【自主解答】根据二次函数的定义得:
m2-3m+2=2,且m-3≠0,
∴m=0,
∴y=-3x2+1.【想一想】
函数y=x2+1,y=-3x2+x,y=5x2是否是二次函数?
提示:是.【微点拨】(1)对于二次函数y=ax2+bx+c,关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.【方法一点通】
判断一个函数是否是二次函数的“三步法”知识点二 列二次函数表达式
【示范题2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框,制成一面镜子.镜子的长与宽的比是2∶1.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元,边框的价格是每米30元,另外制作这面镜子还需加工费45元.设制作这面镜子的总费用是y元,镜子的宽度是xm,求y与x之间的关系式. 【解题探究】1.总费用y元由哪几部分组成?
提示:总费用y元由镜面玻璃的费用、边框的费用及加工费三部分组成.
2.如何求出这些费用?
提示:求出镜面玻璃的面积和边框的周长就可求出镜面玻璃和边框的费用,加工费是45元.【尝试解答】∵镜面玻璃的面积是2x·x=2x2,
∴镜面玻璃的费用是120×2x2=240x2.
∵边框的周长是2(2x+x),
∴边框的费用是2(2x+x)×30=180x.
∴y=240x2+180x+45.【想一想】
如果制作这面镜子共花了195元,那么这面镜子的长和宽分别是多少?
提示:由y=195可得240x2+180x+45=195,
解得x1=0.5,x2=-1.25(舍去),
∴x=0.5,
∴2x=1,
∴镜子的长和宽分别是1m和0.5 m.【方法一点通】
实际问题中建立二次函数表达式的“三步法”课件18张PPT。5 二次函数与一元二次方程1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的关系:两个不等实数根两个相等实数根无实数根2.一元二次方程的图象解法:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的_______就
是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的___.
3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的方法:
(1)先画出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.
(2)确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间.
(3)列表,在(2)中的两整数之间取值,从而利用计算器确定方程
的近似根.横坐标根【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.抛物线与y轴不一定有交点.( )
2.抛物线y=x2-x与x轴只有一个交点.( )
3.利用函数图象求得的一元二次方程的根一定都不是准确值.
( )
4.如果抛物线的顶点在x轴上,那么抛物线与x轴有一个交点.
( ) ×××√知识点一 二次函数与一元二次方程的关系
【示范题1】已知抛物线y= x2+x+c与x轴没有交点.
(1)求c的取值范围.
(2)试确定直线y=cx+1经过的象限,并说明理由. 【教你解题】【想一想】
若抛物线与x轴有两个交点,那么这两个交点的位置与一元二次方程两个根的符号有什么关系?
提示:若抛物线与x轴的两个交点分布在y轴的两侧,则相应的一元二次方程的两个根x1,x2异号;若两个交点分布在y轴的同侧,则相应的一元二次方程的两个根x1,x2同号.【备选例题】如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是 .【解析】∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),
而对称轴为x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0).
当y=ax2+bx+c>0时,图象在x轴上方,此时x<-1或x>3,
故不等式ax2+bx+c>0的解集是x<-1或x>3.
答案:x<-1或x>3【方法一点通】
二次函数y=ax2+bx+c与方程ax2+bx+c=0之间的关系
1.b2-4ac>0?抛物线与x轴有2个交点?方程有两个不相等的实数根.
2.b2-4ac=0?抛物线与x轴有1个交点?方程有两个相等的实数根.
3.b2-4ac<0?抛物线与x轴没有交点?方程没有实数根.知识点二 利用函数图象求一元二次方程的近似根
【示范题2】利用二次函数的图象求一元二次方程9x2-6x-5=0的近似根.(精确到0.1)
【思路点拨】画出抛物线y=9x2-6x-5的图象,由图象确定方程两个根的大致范围,借助计算器探索方程的根.【自主解答】画出抛物线y=9x2-6x-5的图象:
由图象可知,方程有两个根,一个在-1和0之间,一个在1和2之间.
利用计算器探索:
所以方程的近似根是x1=-0.5,x2=1.1.【想一想】
利用二次函数的图象求得的一元二次方程的根是否都是近似值?
提示:不一定,也可能是准确值.【方法一点通】
求一元二次方程近似根的“四步法”课件18张PPT。2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象的性质向上向下(0,0)(0,0)增大减小减小增大小大【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.二次函数y=x2的图象与x轴没有交点.( )
2.二次函数y=x2的图象与y=-x2的图象关于x轴对称.( )
3.二次函数y=-x2有最小值.( )
4.点(-2,4)在二次函数y=-x2的图象上.( )×√××知识点一 二次函数y=x2和y=-x2的性质
【示范题1】已知点(-2,y1),(-2.5,y2),(-0.5,y3)都在函数y=
-x2的图象上,试比较y1,y2,y3的大小.【教你解题】【想一想】
如果这三个点在函数y=x2上,那么y1,y2,y3的大小关系如何?
提示:y2>y1>y3.【微点拨】1.画二次函数y=x2和y=-x2的图象时必须用平滑的曲线,特别是顶点处不能画成尖形.
2.它们的图象没有端点,应向上或向下无限延伸.
3.抛物线的增减性在对称轴的两侧是不同的,要分x<0和x>0两种情况说明.【方法一点通】
比较y=x2和y=-x2的图象上若干个点的纵坐标的大小的“三个步骤”
1.比大小:比较各点横坐标及0之间的大小关系.
2.定位置:确定这些点是在对称轴的左边还是右边.
3.下结论:根据y=x2或y=-x2的增减性确定各点纵坐标的大小.知识点二 y=x2和y=-x2图象的应用
【示范题2】如图,直线l过点P(0,5),与抛物线y=x2交于A,B两点,P在A的左侧,且S△AOP∶S△BOP=5∶4,求l的表达式.【思路点拨】设直线l的表达式为y=kx+5,然后与抛物线方程联立求解关于x的一元二次方程,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比列出方程,求解得到k的值,从而得解.【自主解答】∵直线l过点P(0，5)，∴设直线l的表达式为
y=kx+5，
联立 消掉y得,x2-kx-5=0,解得
∵S△AOP∶S△BOP=5∶4,
整理得, =9k,两边平方得,k2=
解得 (舍去),∴直线l的表达式为【想一想】
试求出本题中△AOB的面积是多少？
提示：∵
∴直线l与抛物线两个交点的横坐标分别为 和-2，
∴S△AOB=S△BOP+S△AOP【方法一点通】
利用二次函数图象解题
1.两种思想:
(1)数形结合的思想.
(2)转化的思想,能把实际问题转化为数学问题.2.两点注意:
(1)要注意线段的长度与点的坐标之间的转化.
(2)在实际问题中函数的图象往往不是一条完整的抛物线,而是抛物线的一部分.课件23张PPT。2 二次函数的图象与性质
第2课时1.二次函数y=ax2(a≠0)和y=ax2+c(a,c为常数,a≠0)的图象和性质向上向下向上向下(0,0)(0,0)(0,c)(0,c)y轴y轴y轴y轴增大减小减小增大增大减小减小增大最小值最大值cc2.抛物线y=ax2+c与抛物线y=ax2的关系
(1)当c>0时,抛物线y=ax2向___平移|c|个单位得到抛物线
y=ax2+c.
(2)当c<0时,抛物线y=ax2向___平移|c|个单位得到抛物线
y=ax2+c.上下【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.二次函数y=ax2与y=ax2+c(a≠0)的图象的开口大小一样.( )
2.把y=x2向下平移2个单位得到的抛物线是y=-x2-2.( )
3.二次函数y=-2x2-3有最小值-3.( )
4.抛物线y=2x2+1可由抛物线y=-2x2平移得到.( )√×××知识点一 二次函数y=ax2的图象与性质
【示范题1】(2013·南通中考)如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物
线y= x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,与x轴正半轴相交于点
D,与y轴相交于点C.设△OCD的面积为S,且kS+32=0.(1)求b的值.
(2)求证点(y1,y2)在反比例函数y= 的图象上.
(3)求证x1·OB+y2·OA=0.【解题探究】
(1)结合kS+32=0这一条件,先求什么条件,才能求出b的值?
提示:先求出点C和点D的坐标,再结合kS+32=0及b>0即可求出b
的值.
(2)已知y1和y2是A,B两点的纵坐标,如何才能判断点(y1,y2)在
反比例函数y= 的图象上?
提示:先确定x1·x2的值,再求出y1·y2=64即可.(3)要证明x1·OB+y2·OA=0,只要证明 即可,如何构造三角形,利用相似等知识证明x1·OB+y2·OA=0?
提示:过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB,由相似三角形对应边成比例即可证明.【尝试解答】(1)由题意，得C(0，b)，D(－ ，0)，
∴
∵kS+32=0，∴k· ＝－32，∵b＞0，∴b=8．
(2)把y=kx+8代入y= x2,
并整理，得x2－8kx－64＝0，解得x＝
x1·x2＝(4k+4 )(4k－4 )＝－64,
由题意，
∴点(y1 ，y2)在反比例函数y＝ 的图象上.(3)分别过点A和点B作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别为E,F，
则OE＝－x1，AE＝y1，OF＝x2，BF＝y2.
由(2)，得y1·y2＝－x1·x2 ，即
又∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB.
∴－x1·OB＝y2·OA，即x1·OB＋y2·OA＝0.【想一想】
本题中△OAB是什么形状的三角形？为什么？
提示：△OAB是直角三角形，理由如下：由勾股定理，
得OA2=x12+y12，OB2=x22+y22，
AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2，
由(2)得y1·y2=64，
同理，将y=kx+8代入y= x2，
得kx+8= x2，
即x2-8kx-64=0，∴x1·x2=-64，
∴AB2=x12+x22+y12+y22-2x1·x2-2y1·y2=x12+x22+y12+y22，
又∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22，
∴OA2+OB2=AB2，
∴∠AOB=90°，
即△OAB是直角三角形．【方法一点通】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a＞0?开口向上?有最小值?
x＞0时，y随x的增大而增大，
x＜0时，y随x的增大而减小.
2.a＜0?开口向下?有最大值?
x＞0时，y随x的增大而减小，
x＜0时，y随x的增大而增大.知识点二 二次函数y=ax2+c的图象与性质
【示范题2】(2013·毕节中考)如图,抛物
线y=ax2+b与x轴交于点A,B,且A点的坐标
为(1,0),与y轴交于点C(0,1).
(1)求抛物线的表达式,并求出点B坐标.
(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D,连接BC,CA,AD,求四边形ACBD的周长.(结果保留根号)【思路点拨】(1)把点A和点C的坐标代入y=ax2+b,即可求出抛物线的表达式;根据对称性求出点B的坐标.
(2)求出点D的坐标,再利用勾股定理分别求出四边形ACBD四个边的长度.【自主解答】(1)把A(1,0)，C(0，1)代入y=ax2+b得，
所以，抛物线的表达式为y=-x2+1.
因为A点与B点关于y轴对称，所以B(-1,0).
(2)设直线AC的表达式为y=kx+b，由题意得，
∴y=-x+1,∵BD∥CA，B(-1,0),∴直线BD的表达式为y=-x-1，
由 求得D点坐标为(2，-3).【想一想】
请求出四边形ACBD的面积是多少?
提示:∵AB=2,点C的坐标是(0,1),点D的坐标是(2,-3),
∴四边形ACBD的面积=S△ABC+S△ABD
= ×2×1+ ×2×3=4.【备选例题】把抛物线y=3x2沿x轴对折后再向下平移2个单位,则所得的图象对应的函数表达式是 .
【解析】把抛物线y=3x2沿x轴对折后的抛物线是y=-3x2,再向下平移2个单位后,所得图象对应的函数表达式是y=-3x2-2.
答案:y=-3x2-2【方法一点通】
二次函数y=ax2+c的应用三步骤课件18张PPT。2 二次函数的图象与性质
第3课时1.二次函数y=a(x-h)2的性质:
其对称轴是x=__,顶点坐标是______.
2.二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系:
它们_____相同,只是_____不同.当h>0时,抛物线y=ax2向___平
移h个单位,得到y=a(x-h)2;当h<0时,抛物线y=ax2向___平移
|h|个单位,得到y=a(x-h)2.h(h,0)形状位置右左3.二次函数y=a(x-h)2+k的性质:上下hh(h,k)(h,k)减小增大增大减小小大【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.二次函数y=3x2与y=-3(x+1)2+2的图象的开口大小不一样.
( )
2.在二次函数y=a(x-h)2+k中,a决定抛物线的开口方向和开口
大小,k,h决定抛物线的位置.( )
3.二次函数y=-2x2向右平移2个单位得到的抛物线是y=-2(x+
2)2.( )
4.二次函数y=(x-3)2的最小值是3.( )×√××知识点一 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
【示范题1】将抛物线y=ax2向右平移,所得新抛物线的顶点横坐标为3,且新抛物线经过点(5,2),求a的值.【教你解题】【想一想】
二次函数y=a(x-h)2的顶点和x轴有什么关系?
提示:二次函数y=a(x-h)2的顶点在x轴上.【方法一点通】
y=ax2左右平移规律的“四字法”
左加:y=ax2向左平移h(h>0)个单位?y=a(x+h)2.
右减:y=ax2向右平移h(h>0)个单位?y=a(x-h)2.知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【示范题2】(2013·泉州中考)已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2).
(1)求a的值.
(2)若点A(m,y1),B(n,y2)(m(2)先求出抛物线的对称轴,再判断A(m,y1),B(n,y2)(m∴a(1-3)2+2=-2,∴a=-1.
(2)由(1)得a=-1<0,抛物线的开口向下,
A(m,y1),B(n,y2)(m在对称轴x=3的左侧,y随x的增大而增大,
∵m在示范题2中如何用作差法比较y1与y2的大小?
提示:由(1)得y=-(x-3)2+2,
∴当x=m时,y1=-(m-3)2+2,
当x=n时,y2=-(n-3)2+2,
y1-y2=(n-3)2-(m-3)2=(n-m)(m+n-6),
∵m0,m+n<6,即m+n-6<0,
∴(n-m)(m+n-6)<0,
∴y1(1)y=3x2-2.
(2)y=3(x-3)2.
(3)y=3(x+1)2-4.【解析】(1)y=3x2向下平移2个单位,得y=3x2-2.
(2)y=3x2向右平移3个单位,得y=3(x-3)2.
(3)y=3x2向左平移1个单位,再向下平移4个单位,得y=3(x+1)2-4.【方法一点通】
由y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的“八字法”
左负:h<0?向左平移
右正:h>0?向右平移
上正:k>0?向上平移
下负:k<0?向下平移课件18张PPT。2 二次函数的图象与性质
第4课时1.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标：
二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______,对称轴是直线
x=_____,顶点坐标是_____________.抛物线2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质：
(1)当a>0时，①开口向___；②对称轴为直线x=_____；③顶点
坐标为_____________；④增减性：当x< 时，y随着x的增
大而_____.
当x> 时，y随着x的增大而_____；⑤最值：当x= 时，
y有最小值为________.上减小增大(2)当a<0时,①开口向___；②对称轴为直线x=_____；③顶点
坐标为______________；④增减性：当x< 时，y随着x的增
大而_____.
当x> 时，y随着x的增大而_____；
⑤最值：当x= 时，y有最大值为________.下增大减小【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴与c的值无关.( )
2.当a<0时,二次函数y=ax2+bx+c有最小值.( )
3.二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是(0,c).( )
4.二次函数y=2(x-2)2+3的最小值是2.( )√×√×知识点一 y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标及其性质
【示范题1】(2013·湖州中考)已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0),B(-1,0).
(1)求抛物线的表达式.
(2)求抛物线的顶点坐标.【思路点拨】用待定系数法求出b,c的值,确定其表达式,配方求顶点坐标.
【自主解答】(1)∵把点A(3,0),B(-1,0)代入y=-x2+bx+c得
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(1,4).【想一想】
如果用公式法确定该抛物线的顶点坐标，过程是怎样的？
提示：∵a=-1，b=2，c=3，
∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．【微点拨】
(1)求抛物线的顶点坐标时,既可以用配方法求解,也可以用公式法求解.
(2)利用公式法求抛物线的顶点纵坐标时,既可以直接代入公式求解,也可以先求顶点的横坐标,然后将横坐标代入表达式求出函数值,此时的函数值就是顶点的纵坐标.【方法一点通】确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标的“两种方法”
1.利用配方法把y=ax2+bx+c化成y=a(x－h)2+k的形式.
2.直接代入公式 求解.知识点二 抛物线y=ax2+bx+c与a,b,c的关系
【示范题2】(2013·义乌中考)如图,抛物线
y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标
为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间
(包含端点),则下列结论:①当x>3时,y<0;
②3a+b>0;③-1≤a≤- ;④3≤n≤4中,正确的是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.①③【思路点拨】确定抛物线与x轴另一个交点的坐标,利用图象对
①作出判断;根据b与a的关系及a的符号,对②作出判断;根据抛
物线与x轴的两个交点,确定a与c的关系,再由c的取值范围对③
作出判断;把顶点坐标代入函数表达式得到n=a+b+c= c,利用c
的取值范围可以求得n的取值范围,从而对④作出判断.【自主解答】选D.∵A(-1,0)在抛物线上,∴a-b+c=0,∵顶点坐
标为(1,n),∴b=-2a,抛物线与x轴的另外一个交点坐标为
(3,0),∵开口方向向下,∴a<0,
∴x>3时,y<0,①正确;∵b=-2a,∴b+2a=0,∴b+3a=a<0,②错误;
∵a-b+c=0,b=-2a,∴c=-3a,
∵抛物线与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,∴2≤-3a≤3,∴-1≤a≤- ,③正确;
∵a+b+c=n,b=-2a,∴-a+c=n,∵c=-3a,∴n=-4a,
④错误,故选D.【想一想】
示范题2中a+b+c是正数还是负数?为什么?
提示:a+b+c是正数.
∵x=1时,y>0,
∴a+b+c>0.【方法一点通】
二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a,b,c的符号关系课件15张PPT。4 二次函数的应用
第1课时利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法:
(1)引入自变量.
(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量.
(3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用函数表示这个面积.
(4)根据函数关系式,求出最大值及取得最大值时自变量的值.【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.与最大面积有关的问题只能用二次函数解决.( )
2.用二次函数只能解决最大面积问题,而不能解决最小面积问
题.( )
3.周长一定的矩形,当其为正方形时面积最大.( )××√知识点 最大面积问题
【示范题】(2013·济南中考)如图,在△ABC
中,AB=AC=4,∠ABC=67.5°,△ABD和△ABC关
于AB所在的直线对称,点M为边AC上的一个动
点(不与点A,C重合),点M关于AB所在直线的对称点为N,△CMN的面积为S.
(1)求∠CAD的度数.
(2)设CM=x,求S与x的函数表达式,并求x为何值时S的值最大?【思路点拨】(1)根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠CAB,根据轴对称求出∠DAB即可求∠CAD.
(2)求出AN,根据三角形面积公式求出S与x的函数表达式,并利用二次函数的性质求出S取最大值时x的值.【自主解答】(1)∵AB=AC,∠ABC=67.5°, ∴∠ABC=∠ACB=67.5°,
∴∠CAB=45°,∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称,
∴∠BAD=∠CAB=45°,∴∠CAD=90°.(2)由(1)可知AN⊥AM,∵点M,N关于AB所在直线对称,∴AM=AN,
∵CM=x,∴AN=AM=4-x,∴S= CM·AN= x(4-x)=- x2+2x
=- (x2-4x)=- (x-2)2+2,∴x=2时,S有最大值.【想一想】
本题中S的最大值是多少？此时MN的值是多少？
提示：S的最大值是2，
∵此时AM=AN=2，【微点拨】
1.根据几何图形列函数表达式时,往往要用到几何图形的性质、计算公式等相关知识.
2.实际问题中自变量的取值范围一般不是全体实数.
3.所求的函数表达式有时是分段的,要注意分类讨论思想的运用.【备选例题】如图,隧道的截面是抛物线,
可以用y=- x2+4表示,该隧道内设双行道,
限高为3m,那么每条行道宽是( )
A.不大于4 m B.恰好4 m
C.不小于4 m D.大于4 m,小于8 m【解析】选A.把y=3代入y=- x2+4中得:x=±4.∴每条行道宽应不大于4m.【方法一点通】
应用二次函数解决面积最大问题的步骤
1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.
2.找出等量关系,建立函数模型.
3.结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量的取值范围,常采用配方法求出,或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.课件17张PPT。4 二次函数的应用
第2课时1.求解最大利润问题的基本步骤:
(1)引入_______.
(2)用含_______的代数式分别表示销售单价或销售收入及销售
量.
(3)用含_______的代数式表示销售的商品的单件盈利.
(4)用函数及含_______的代数式分别表示销售利润,即_______
_____.
(5)根据___________求出最大值及取得最大值时的_______的值.自变量自变量自变量自变量函数表达式函数表达式自变量2.二次函数的最大(小)值:
(1)配方法
用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,当自变量x=__
时,函数y有最大(小)值为__.
(2)公式法
直接使用配方法得到的结论,二次函数y=ax2+bx+c,当自变量
x=______时,函数y有最大(小)值为________.hk【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.在实际问题中,自变量的取值范围往往不是全体实数.( )
2.在实际问题中,二次函数的最值也是实际问题的最值.( )
3.若实际问题中的二次函数开口向上,则这个实际问题只有最
小值,没有最大值.( )
4.当3≤x≤5时,二次函数y=x2-4x-5的最小值是0.( )√×××知识点 最优化问题
【示范题】(2013·青岛中考)某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元/件.试营销阶段发现:当销售单价为25元/件时,每天的销售量是250件;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式.
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大.
(3)商场的营销部结合上述情况,提出了A,B两种营销方案:
方案A:该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元.
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.【思路点拨】(1)根据利润=(单价-进价)×销售量,列出函数表达式即可.
(2)根据(1)式列出的函数表达式,运用配方法求最大值.
(3)分别求出方案A,B中x的取值范围,然后分别求出A,B方案的最大利润,然后进行比较.【自主解答】(1)W=(x-20)[250-10(x-25)]=-10(x-20)(x-50)
=-10x2+700x-10000.
(2)∵W=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,
∴当x=35时,W取到最大值2250,
即销售单价为35元时,每天销售利润最大,最大利润为2250元.(3)∵W=-10(x-35)2+2250,∴函数图象是以x=35为对称轴且开口向下的抛物线.
∴对于方案A,需20对称轴左侧(如图),W随x的增大而增大,
∴x=30时,W取到最大值2000.
∴当采用方案A时,销售单价为30元可获得最大利润为2000元.对于方案B,则有
解得45≤x<49,此时图象位于对称轴右侧(如图),
∴W随x的增大而减小,故当x=45时,W取到最大值1250,
∴当采用方案B时,销售单价为45元可获得最大利润为1250元.
两者比较,可知方案A的最大利润更高.【想一想】
商品销售类问题中常见的等量关系有哪些？
提示：(1)商品的售价＝商品的标价×商品的销售折扣.
(2)商品的利润＝商品的售价－商品的进价.
(3)商品的利润率=【微点拨】
1.求解应用题中的最值问题时,还要满足实际意义,因此在列函数表达式时,应注意自变量的取值范围.
2.若图象不含顶点,应根据函数的增减性来确定最值.【方法一点通】
实际问题中确定最值的方法
1.当二次函数的对称轴x= 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内时,二次函数的最值就是实际问题中的最值.2.当二次函数的对称轴x= 不在自变量的取值范围x1≤x
≤x2内时:
(1)如果在此范围内,y随x的增大而增大,则当x=x2时,y有最大值为ax22+bx2+c,当x=x1时,y有最小值为ax12+bx1+c.
(2)如果在此范围内,y随x的增大而减小,则当x=x1时,y有最大值为ax12+bx1+c,当x=x2时,y有最小值为ax22+bx2+c.课件21张PPT。3 确定二次函数的表达式确定二次函数表达式的一般方法:顶点式一般式一般式【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.确定二次函数的表达式需要三个条件.( )
2.知道二次函数的顶点和另一点的坐标,只能用顶点式确定其
表达式.( )
3.在实际问题中,二次函数的图象一定不是一条完整的抛物
线.( )
4.要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上三个点的坐
标.( )√×××知识点一 由两个点的坐标确定二次函数的表达式
【示范题1】(2013·黑龙江中考)如图,抛物
线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)和B(3,0)两
点,交y轴于点E.
(1)求此抛物线的表达式.
(2)若直线y=x+1与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点F,连接DE,求△DEF的面积. 【解题探究】(1)已知抛物线的二次项系数a=1,如何求出b,c的值?
提示:把点A和点B的坐标代入二次函数的表达式,得到关于b,c的方程组,解方程组即可求出b,c的值.
(2)如果我们把EF作为底,如何作辅助线?再求出哪些条件就可以求出△DEF的面积.
提示:过点D作DM⊥y轴于点M,先求出点D,E,F的坐标,再确定EF和DM的长,即可求出△DEF的面积.【尝试解答】(1)∵抛物线经过A(-1,0),B(3,0),
∴抛物线的表达式为y=x2-2x-3.(2)过点D作DM⊥y轴于点M,
根据题意得:
解得 ∴D(4,5),∴DM=4,
对于直线y=x+1,当x=0时,y=1,∴F(0,1);对于y=x2-2x-3,
当x=0时,y=-3,∴E(0,-3),∴EF=4,∴S△DEF= EF·DM=8.【想一想】
示范题1中△ABD的面积是多少?
提示:∵AB=3-(-1)=4,
点D的坐标为(4,5),
∴S△ABD= AB·5=10.【方法一点通】
由两个点的坐标确定二次函数的表达式的两种常见形式
1.已知顶点和另一点的坐标,可用顶点式求二次函数的表达式.
2.已知二次函数各项系数中的一个和任意两点的坐标,可用一般式求二次函数的表达式.知识点二 由三个点的坐标确定二次函数的表达式
【示范题2】(2013·佛山中考)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的函数表达式.
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴.
(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x轴上,求出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分).【思路点拨】(1)把点A,B,C的坐标代入抛物线表达式y=ax2+bx+c,利用待定系数法求解即可.
(2)把抛物线表达式整理成顶点式形式,然后写出顶点坐标与对称轴即可.
(3)根据顶点坐标求出向上平移的距离,再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积,列式进行计算即可得解.【自主解答】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),
所以抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP′=1,
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积,
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2,∴S阴影=2.【想一想】
示范题2中能否用顶点式求抛物线的表达式?表达式应该怎样设?代入时要注意什么问题?
提示:能用顶点式求抛物线的表达式.
∵抛物线经过点A(0,3)和C(4,3),∴其对称轴是直线x=2,∴抛物线的表达式可设为y=a(x-2)2+k,代入时要把A,B两点或B,C两点代入,代入A,C两点无法求出a和k.【备选例题】已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两交点的
横坐标分别是-1和3,与y轴交点的纵坐标是- .
(1)确定抛物线的表达式.
(2)求出抛物线的开口方向,对称轴和顶点坐标.【解析】(1)依题意抛物线的表达式可以转化为
y=a(x+1)(x-3)，
将点 代入，得-3a=- 解得a= ,
故y= (x+1)(x-3),即y= x2-x- .
(2)因为y= x2-x- = (x-1)2-2.
所以抛物线开口向上，对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1，-2).【方法一点通】
“三式”巧定表达式
1.一般式:所给的条件能够确定抛物线上三个不同点的坐标时,可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式).
2.顶点式:所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式为y=a(x-h)2+k(顶点式).
3.交点式:所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).课件52张PPT。阶段复习课
第 二 章【答案速填】
①形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数
②抛物线
③当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下
⑥当a>0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而增大;当a<0时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小
⑦函数表达式、表格、图象
⑧有两个交点?b2-4ac>0;有一个交点?b2-4ac=0;没有交点?b2-4ac<0主题1 二次函数的图象和性质
【主题训练1】(2013·贵阳中考)已知:直线y=ax+b过抛物线y=-x2-2x+3的顶点P,如图所示.(1)顶点P的坐标是 .
(2)若直线y=ax+b经过另一点A(0,11),求出该直线的表达式.
(3)在(2)的条件下,若有一条直线y=mx+n与直线y=ax+b关于x轴成轴对称,求直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标.【自主解答】(1)∵y=-x2-2x+3=-(x2+2x)+3
=-(x+1)2+4,
∴P点坐标为(-1,4).
(2)将点P(-1,4),A(0,11)代入y=ax+b得:
∴该直线的表达式为y=7x+11.(3)∵直线y=mx+n与直线y=7x+11关于x轴成轴对称,
∴y=mx+n过点P′(-1,-4),A′(0,-11),
∴y=-7x-11,
∴-7x-11=-x2-2x+3,
解得:x1=7,x2=-2,
此时y1=-60,y2=3,
∴直线y=mx+n与抛物线y=-x2-2x+3的交点坐标为
(7,-60)和(-2,3).【主题升华】系数a,b,c与二次函数的图象的关系
(1)a决定开口方向及开口大小.
当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下;|a|越大,抛物线的
开口越小.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x= ,故:
①b=0时,对称轴为y轴;
② >0(即a,b同号)时,对称轴在y轴左侧;
③ <0(即a,b异号)时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c).即:①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与y轴交于正半轴; ③c<0,与y轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.1.(2014·新疆中考)对于二次函数y=(x－1)2+2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向下 B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(1,2) D.与x轴有两个交点【解析】选C.选项A,由a=1知抛物线图象的开口向上,所以A错误;选项B,由y=a(x-h)2+k的对称轴为x=h知该图象的对称轴是x=1,所以B错误;选项C,由y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k)知该图象的顶点坐标是(1,2),所以C正确;选项D,让y=0,即(x-1)2 +2=0,此方程无解,知该图象与x轴无交点,所以D错误.2.(2014·丽水中考)在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+ 4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( )
A.(-3,-6) B.(1,-4)
C.(1,-6) D.(-3,-4)【解析】选C.y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5,把y=2(x+1)2-5的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位,
得y=2(x+1-2)2-5-1=2(x-1)2-6,
∴平移后的图象的顶点坐标是(1,-6).【知识归纳】二次函数的平移规律
平移不改变图形的形状和大小,因此抛物线在平移的过程中,图象的形状、开口方向必相同,即a不变,所以抛物线y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到.其平移的规律用语言来表示可以归结为:“上加下减,左加右减”,平移时具体的对应关系可以用下列框图来表示:3.(2014·泰安中考)已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m如图所示,则一次函数y=mx+n与反比例函数y= 的图象可能
是( )【解析】选C.观察函数y=-(x-m)(x-n)(其中m-1,n=1,m+n<0.所以一次函数y=mx+n的图象必过第二、四象限,
且与y轴交点为(0,1),反比例函数y= 的图象过第二、四象
限.所以选C.主题2 待定系数法求二次函数表达式
【主题训练2】(2013·新疆中考)如图,
已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两
点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其
中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).
(1)求抛物线的表达式.
(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由.【自主解答】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0),点C(4,3),
所以抛物线的表达式为y=x2-4x+3.
(2)∵点A,B关于对称轴对称,
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小,
设直线AC的表达式为y=kx+b(k≠0),所以,直线AC的表达式为y=x-1,
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,
当x=2时,y=2-1=1,
∴抛物线对称轴上存在点D(2,1),使△BCD的周长最小.【主题升华】选择不同表达形式求二次函数表达式的技巧
(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+ bx+c(a≠0)的形式,然后组成三元一次方程组来求解.
(2)当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.
(3)当已知抛物线与x轴的交点(或交点横坐标)或已知抛物线与x轴一个交点和对称轴时,通常设为交点式y=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0)的形式.1.(2013·宁波中考)已知抛物线y=ax2+bx+c
与x轴交于点A(1,0),B(3,0)且过点C(0,-3).
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标.
(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的表达式.【解析】(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),
可设抛物线表达式为y=a(x-1)(x-3)(a≠0),
把C(0,-3)代入得:3a=-3,
解得:a=-1,
故抛物线表达式为y=-(x-1)(x-3),
即y=-x2+4x-3,
∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,
∴顶点坐标为(2,1).(2)先向左平移2个单位,再向下平移1个单位(也可先向下平移1个单位,再向左平移2个单位),得到的抛物线的表达式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=-x上(答案不唯一).2.(2013·营口中考)如图,抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的表达式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.【解析】(1)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).
由抛物线与y轴交于点C(0,3),可知c=3.即抛物线的表达式为y=ax2+bx+3.
把点A(1,0),点B(-3,0)代入,得
解得a=-1,b=-2.
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.
∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
∴顶点D的坐标为(-1,4).(2)△BCD是直角三角形.
理由如下:过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E,F.
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18.
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2.
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20,∴BC2+CD2=BD2,
∴△BCD为直角三角形.【一题多解】本题中的第(2)问还可以这样求解:
过点D作DF⊥y轴于点F.
在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3,
∴OB=OC,∴∠OCB=45°.
∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,
∴DF=CF,
∴∠DCF=45°,
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°,
∴△BCD为直角三角形.主题3 二次函数的实际应用
【主题训练3】(2013·盐城中考)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售,经过还价,实际价格每千克比原来少2元,发现原来买这种水果80kg的钱,现在可买88kg.(1)现在实际购进这种水果每千克多少元?
(2)王阿姨准备购进这种水果销售,若这种水果的销售量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足如图所示的一次函数关系.
①求y与x之间的函数表达式.
②请你帮王阿姨拿个主意,将这种水果的销售单价定为多少时,能获得最大利润?最大利润是多少?(利润=销售收入-进货金额)【自主解答】(1)设现在实际购进这种水果每千克a元,根据题意,得:80(a+2)=88a,解得:a=20,
答:现在实际购进这种水果每千克20元.
(2)①∵y是x的一次函数,设函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将(25,165),(35,55)分别代入y=kx+b,得:
解得:k=-11,b=440,
∴y=-11x+440.②设利润为W元,则
W=(x-20)(-11x+440)=-11(x-30)2+1100.
∴当x=30时,W最大值=1100.
答:将这种水果的销售单价定为每千克30元时,能获得最大利润,最大利润是1100元.【主题升华】二次函数应用的类型及解题策略
(1)最值问题
①利润最大问题的解题策略:先运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件商品利润×销售数量”建立利润与价格之间的二次函数表达式,再求出函数的最值.
②几何图形中最值问题的解题策略:先结合面积公式、相似等知识,把要讨论的量表示成另一变量的二次函数的形式,再求出函数的最值.(2)抛物线型问题
解决此类实际问题的关键是进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.1.(2014·绍兴中考)如图的一座拱桥,
当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面
4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角
坐标系.若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y=- (x-
6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是 .【解析】以点B为坐标原点时,抛物线的顶点坐标是(-6,4),
所以抛物线的表达式为y=- (x+6)2+4
答案:y=- (x+6)2+42.(2013·南充中考)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销时发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系:(1)求出y与x之间的函数表达式.
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数表达式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?【解析】(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
由所给函数图象得
∴函数表达式为y=-x+180.
(2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)
=-x2+280x-18000
=-(x-140)2+1600.
当x=140时,W最大=1600.
∴售价定为140元/件时,每天最大利润W=1600元.3.(2013·安徽中考)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营,了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示.(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件.
(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数表达式.
(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少?【解析】(1)①对于q=30+ x，当q=35时，30+ x=35，解得
x=10，在1≤x≤20范围内；②对于q=20+ 当q=35时，
20+ =35，解得x=35，在21≤x≤40范围内．综上所述，
第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件.
(2)①当1≤x≤20时，y=(30+ x－20)(50－x)
=－ x2+15x+500；
②当21≤x≤40时，y=(20+ －20)(50－x)
= －525.(3)①y=－ x2+15x+500=－ (x－15)2+612.5，
由于－ ＜0，抛物线开口向下，且1≤x≤20，所以当x=
15时，y最大=612.5(元)；
②y= －525， 越大(即x越小)y的值越大，由于
21≤x≤40，所以当x=21天时，y最大=1 250－525=725(元)，
综上所述，这40天中该网店第21天获得的利润最大，最大利
润是725元．4.(2013·孝感中考)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发现,若每件按24元的价格销售时,每天能卖出36件;若每件按29元的价格销售时,每天能卖出21件.假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数.(1)求y与x满足的函数表达式(不要求写出x的取值范围).
(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润P最大?【解析】(1)设y与x满足的函数表达式为:y=kx+b(k≠0).
由题意可得:
∴y与x的函数表达式为:y=-3x+108.
(2)每天获得的利润为:
P=(-3x+108)(x-20)=-3x2+168x-2160
=-3(x-28)2+192.
∴当销售价格定为28元时,才能使每天获得的利润P最大.【知识归纳】应用二次函数解决实际问题的基本思路
(1)理解问题.
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系.
(3)用函数表达式表示它们之间的关系.
(4)计算或求解,并应用函数的性质作出判断.
(5)检验结果的合理性.
